圓錐曲線大題處理策略：非對稱韋達定理 （原卷版）

專題3圓錐曲線大題處理策略：非對稱韋達定理在圓錐曲線解答題中我們通常利用直線與二次曲線聯(lián)立得到一元二次方程的韋達定理來處理類似等結(jié)構(gòu)，這些形式通過合理的變形均可以用整體帶入的方法達到避開解交點坐標(biāo)的目的。（這是圓錐曲線大題中普遍使用韋達定理的初衷）。但我們在做題中也經(jīng)常會遇到類似于這種系數(shù)不對稱的結(jié)構(gòu)，稱之為“非對稱韋達定理”。顯然按照先前的方法就很難順利的處理掉，本專題就此類問題給出幾個常見的處理策略。例題講解：例題講解：例題：已知橢圓過點，且離心率為。求橢圓方程（2）分別為橢圓的上下頂點，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，求證：直線的交點在定直線上知識點講解：知識點講解：韋達化處理由引例1可知，核心條件坐標(biāo)化后，并不全是直接韋達化的形式．對于坐標(biāo)化后的表達式不是韋達形式的，還需進行韋達化處理．韋達化處理主要有以下幾種處理方法：代換（直線代換或曲線代換）、和積消元法、配湊、解方程組．韋達化處理一：代換——即消去x或y中的一個由于我們聯(lián)立后的方程式關(guān)于x或y的二次方程，韋達定理中的兩根之和與兩根之積只式單獨的x或y的形式，而此時坐標(biāo)表達式并非是直接的韋達形式，因此需進行代換：方向一：直線代換：）又，即方向二：曲線代換：若兩個點均在直線和曲線上，那么形如的式子，如果用直線替換顯然麻煩，注意到，替換掉原式中含有的，可以得到。韋達化處理二：和積消元法和積轉(zhuǎn)換——找出韋達定理中的兩根之和與兩根之積的關(guān)系由韋達定理可得，所以，代入中，整理，即可得，為定值，得證．若看不出兩根之和與兩根之積的關(guān)系怎么辦呢？我們不妨用待定一下系數(shù)，設(shè)，∴韋達化處理三：配湊配湊法進行韋達化處理，一個經(jīng)典案例就是弦長中的．對于前述坐標(biāo)化后的部分式子，也需要作配湊處理：（1），即，其中k為直線AB斜率，再用直線代換，即，得．此處需注意兩點，一是，幾何意義即為直線斜率，二是通過平方差公式因式分解轉(zhuǎn)化，對于含平方形式是有力手段．（2）．（3），此處考慮直線代換，，再代入上式即可得．（4），而，整理得．（5）此形式可以配湊倒數(shù)關(guān)系，，故，配湊可得．高考講解：高考講解：1.（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.類型題講解：類型題講解：例1．已知點F為橢圓的右焦點，A，B分別為其左、右頂點，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為證明為定值．例2．已知橢圓的左?右焦點分別為點在上，的周長為，面積為（1）求的方程．（2）設(shè)的左?右頂點分別為，過點的直線與交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，則求直線和交點的軌跡方程。練習(xí)題：練習(xí)題：1.已知橢圓的離心率為，長軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．2.點是橢圓的左右頂點，若過定點且斜率不為0的直線與橢圓交于M，N兩點，求證：直線AM與直線的交點在一條定直線上．3.已知、分別是橢圓的左右項點，離心率，P是橢圓E的上頂點，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點.4.已知橢圓：（）過