概率知識(shí)點(diǎn)及概率統(tǒng)計(jì)常見(jiàn)題型及方法總結(jié)

概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)十一、概率１．隨機(jī)事件的概率，其中當(dāng)時(shí)稱為必然事件；當(dāng)時(shí)稱為不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）：P(A)=。理解這里m、ｎ的意義。如（1）將數(shù)字1、2、3、4填入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格中，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的概率是______（答：）；（2）設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①?gòu)闹腥稳?件都是次品；②從中任取5件恰有2件次品；③從中有放回地任取3件至少有2件次品；④從中依次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④）3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生）。計(jì)算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。如（1）有A、B兩個(gè)口袋，A袋中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球，B袋中有3個(gè)白球和4個(gè)黑球，從A、B袋中各取兩個(gè)球交換后，求A袋中仍裝有4個(gè)白球的概率。（答：）；（2）甲、乙兩個(gè)人輪流射擊，先命中者為勝，最多各打5發(fā)，已知他們的命中率分別為0.3和0.4，甲先射，則甲獲勝的概率是（0.425=0.013，結(jié)果保留兩位小數(shù)）______（答：0.51）；（3）有一個(gè)公用電話亭，在觀察使用這個(gè)電話的人的流量時(shí)，設(shè)在某一時(shí)刻，有n個(gè)人正在使用電話或等待使用的概率為P（n），且P（n）與時(shí)刻t無(wú)關(guān)，統(tǒng)計(jì)得到，那么在某一時(shí)刻，這個(gè)公用電話亭里一個(gè)人也沒(méi)有的概率P（0）的值是 （答：）4、對(duì)立事件：（A、B對(duì)立，即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生，但A、B中必然有一個(gè)發(fā)生）。計(jì)算公式是：P（A）+P(B)＝１；P()=1－P(A)；5、獨(dú)立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨(dú)立，互不影響）P(A?B)＝P(A)?P(B)。提醒：（1）如果事件A、B獨(dú)立，那么事件A與、與及事件與也都是獨(dú)立事件；（2）如果事件A、B相互獨(dú)立，那么事件A、B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互獨(dú)立，那么事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率是1－P（）＝1－P()P()。如（1）設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率P(A)是______（答：）；（2）某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得0分，假設(shè)這位同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響，則這名同學(xué)得300分的概率為_____________;這名同學(xué)至少得300分的概率為_____________（答：0.228；0.564）；（3）袋中有紅、黃、綠色球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是________（答：）；（4）一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)，那么，連過(guò)前二關(guān)的概率是________（答：）；（5）有甲、乙兩口袋，甲袋中有六張卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；乙袋中有七張卡片，四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，從甲袋中取一張卡片，乙袋中取兩張卡片。設(shè)取出的三張卡片的數(shù)字乘積的可能值為且，其相應(yīng)的概率記為，則的值為_____________（答：）；（6）平面上有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B分別位于（0，0）、（2，2）點(diǎn)，在某一時(shí)刻同時(shí)開始每隔1秒鐘向上下左右四個(gè)方向中的任何一個(gè)方向移動(dòng)1個(gè)單位，已知質(zhì)點(diǎn)A向左、右移動(dòng)的概率都是，向上、下移動(dòng)的概率分別是和p，質(zhì)點(diǎn)B向四個(gè)方向中的任何一個(gè)方向移動(dòng)的概率都是q。①求p和q的值；②試判斷最少需要幾秒鐘，A、B能同時(shí)到達(dá)D（1，2）點(diǎn)？并求出在最短時(shí)間內(nèi)同時(shí)到達(dá)的概率.（答：①；②3秒；）6、獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)：事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生了次的概率(是二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng))，其中為在一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率。如（1）小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過(guò)的概率是_______（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時(shí)從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等，則甲種飲料飲用完畢時(shí)乙種飲料還剩下3瓶的概率為__________（答：）提醒：（1）探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì)。在求解過(guò)程中常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識(shí))；轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率；利用對(duì)立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件。（2）事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對(duì)立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問(wèn)題的解題規(guī)范：①先設(shè)事件A=“…”，B=“…”；②列式計(jì)算；③作答。常見(jiàn)大題：全概率公式和貝葉斯公式問(wèn)題B看做“結(jié)果”，有多個(gè)“原因或者條件”可以導(dǎo)致B這個(gè)“結(jié)果”發(fā)生，考慮結(jié)果B發(fā)生的概率，或者求在B發(fā)生的條件下，源于某個(gè)原因的概率問(wèn)題全概率公式：貝葉斯公式：一（12分）今有四個(gè)口袋，它們是甲、乙、丙、丁，每個(gè)口袋中都裝有只紅球和只白球。先從甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再?gòu)囊铱诖腥稳∫恢磺蚍湃氡诖缓笤購(gòu)谋诖腥稳∫恢磺蚍湃攵】诖?，最后從丁口袋中任取一球，?wèn)取到紅球的概率為多少？解表示從第個(gè)口袋放入第個(gè)口袋紅球，表示從第個(gè)口袋中任取一個(gè)球?yàn)榧t球，2分則，2分2分依次類推2分二（10分）袋中裝有只正品硬幣，只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽），在袋中任取一只，將它投擲次，已知每次都出現(xiàn)國(guó)徽，問(wèn)這只硬幣是次品的概率為多少？、解記={取到次品}，={取到正品}，={將硬幣投擲次每次都出現(xiàn)國(guó)徽}則，，―—５分三、（10分）一批產(chǎn)品共100件，其中有4件次品，其余皆為正品。現(xiàn)在每次從中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后放回，連續(xù)檢驗(yàn)3次，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。在檢驗(yàn)時(shí)，一件正品被誤判為次品的概率為0.05，而一件次品被誤判為正品的概率為0.01。（1）求任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品的概率；（2）求這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率。解設(shè)表示“任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品”，表示“任取一件產(chǎn)品是正品”，則，，，（1）由全概率公式得（2）這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率為四、在電報(bào)通訊中不斷發(fā)出信號(hào)‘0’和‘1’，統(tǒng)計(jì)資料表明，發(fā)出‘0’和‘1’的概率分別為0.6和0.4，由于存在干擾，發(fā)出‘0’時(shí)，分別以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收為模糊信號(hào)‘’；發(fā)出‘1’時(shí)，分別以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信號(hào)‘’。（1）求收到模糊信號(hào)‘’的概率；（2）當(dāng)收到模糊信號(hào)‘’時(shí)，以譯成哪個(gè)信號(hào)為好？為什么？解設(shè)=“發(fā)出信號(hào)”，=“收到信號(hào)”。由題意知，，，。（1）由全概率公式得4分。2分（2）由貝葉斯公式得，3分3分隨機(jī)變量函數(shù)的分布及其邊緣密度及其獨(dú)立性的判斷記住如下知識(shí)點(diǎn)：常見(jiàn)分布律和概率密度：一般正態(tài)分布的計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去做：連續(xù)隨機(jī)變量X:二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：聯(lián)合密度：掌握如下解決隨機(jī)變量函數(shù)分布的解題方法：對(duì)于二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，注意：除了求隨機(jī)變量Z=X+Y的密度函數(shù)用公式：注意：先寫出聯(lián)合密度:，根據(jù)聯(lián)合密度寫出

或者，在平面x0z或者y0z上畫出被積函數(shù)不為零的區(qū)域，然后穿線通過(guò)區(qū)域確定x的上下限。他的函數(shù)Z=g(X,Y)的概率密度，只能使用分布函數(shù)法其步驟如下：第一步求聯(lián)合密度:，根據(jù)聯(lián)合密度寫出或者第二步求z的分布函數(shù)：難點(diǎn)是畫出二重積分的積分區(qū)域，然后把二重積分化為二次積分定上下限，畫圖：先畫出被積函數(shù)也就是聯(lián)合密度非零的區(qū)域，再確定區(qū)域與密度非零區(qū)域的重合區(qū)域就是二重積分的積分區(qū)域，穿線定積分限：然后左右穿或者上下穿個(gè)積分區(qū)域定內(nèi)限，求出分布函數(shù)第三步求密度函數(shù)：分析：一、設(shè)總體服從上的均勻分布，是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，最大順序統(tǒng)計(jì)量，1．求隨機(jī)變量的概率密度；解：，其分布函數(shù)為而的分布函數(shù)為，二、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為（1）求常數(shù)的值；（2）求與的協(xié)方差。解（1）由，得（2）三（16分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求邊緣密度函數(shù)，；求邊緣分布函數(shù)，；判斷與是否相互獨(dú)立；求。(1)，當(dāng)≤0時(shí)，=0,于是=0當(dāng)＞0時(shí)，=，所以的邊緣概率密度為=的邊緣概率密度當(dāng)≤0時(shí)，=0當(dāng)＞0時(shí)=4分（2）4分（3）獨(dú)立4分（3）4分四（１０分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的分布函數(shù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的分布函數(shù)為中心極限定理的問(wèn)題：用正態(tài)分布近似計(jì)算共兩類：一類是二項(xiàng)分布的近似計(jì)算問(wèn)題，即,這個(gè)公式給出了n較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。另一類是除二項(xiàng)分布之外的其他分布的獨(dú)立變量連加和的計(jì)算問(wèn)題，設(shè)獨(dú)立同分布，近似有連加和服從正態(tài)分布：一、(14分)設(shè)糧倉(cāng)內(nèi)老鼠的數(shù)目是一個(gè)服從泊松分布的隨機(jī)變量，且倉(cāng)內(nèi)無(wú)鼠的概率為。（1）寫出隨機(jī)變量的分布律；（2）試用中心極限定理計(jì)算，在200個(gè)同類糧倉(cāng)內(nèi)老鼠總數(shù)超過(guò)350只的概率。解（1）；5分（2）表示任意老鼠個(gè)數(shù)，由中心極限定理3分3分3分二、（１０分）某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜而向保險(xiǎn)公司索賠的數(shù)。（1）寫出的概率分布；（2）求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。[解]（1），，（2），根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理三（10分）某銀行的柜臺(tái)替每一位顧客的服務(wù)時(shí)間（單位：分鐘）服從參數(shù)的指數(shù)分布，且各位顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的，試用中心極限定理計(jì)算，對(duì)100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不超過(guò)240分鐘的概率。解設(shè)分別表示每一位顧客的服務(wù)時(shí)間，則它們相互獨(dú)立相同分布，且-------------------------------5分點(diǎn)估計(jì)的問(wèn)題：矩估計(jì)和似然估計(jì)似然函數(shù)的構(gòu)造：例題分析：一、設(shè)總體的概率密度為是未知參數(shù),是來(lái)自的樣本，1．求的矩估計(jì)量；矩估計(jì)法:，令,=>求的最大似然估計(jì)量；判斷，是否為無(wú)偏估計(jì)解：最大似然估計(jì)法：設(shè)為樣本的觀察值，則似然函數(shù)為，按似然估計(jì)的思想，當(dāng)似然函數(shù)關(guān)于是增函數(shù)，故。的最大似然估計(jì)量為。二（10分）設(shè)為樣本，總體的概率密度為求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；問(wèn)它是否為的無(wú)偏估計(jì)量解設(shè)是相應(yīng)的樣本值，則似然函數(shù)為=令為無(wú)偏估計(jì)量三、設(shè)是總體的樣本,的概率密度為其中.求和的最大似然估計(jì)量。設(shè)是的樣本值,則似然函數(shù),當(dāng)（）時(shí),,令顯然,第二個(gè)等式是矛盾等式,所以由上述似然方程求不出和.由于,這表明是的嚴(yán)格遞增函數(shù),注意到（）,因此當(dāng)時(shí)最大.于是和的最大似然估計(jì)值,,于是和的最大似然估計(jì)量為,.四、（10分）設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù)。設(shè)為總體的樣本。（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；（2）判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量。解（1）設(shè)是的觀測(cè)值,則似然函數(shù)為，。令，得，解得的最大似然估計(jì)量為（2）由于，是的無(wú)偏估計(jì)量。五（10分）設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布，其概率密度為其中為未知參數(shù)，今隨機(jī)抽取5只，測(cè)得壽命如下：1150，1190，1310，1380，1420求電池的平均壽命的最大似然估計(jì)值。解似然函數(shù)，3分3分令得2分2分六、設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù).設(shè)為總體的樣本.求參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.解矩估計(jì)且，令，則從而的矩估計(jì)量最大似然估計(jì)設(shè)是的樣本觀測(cè)值,則似然函數(shù)為.取對(duì)數(shù)得，令，得，解得,所以,的最大似然估計(jì)量為.七、．設(shè)總體的分布律為，，其中為未知參數(shù)?，F(xiàn)抽得一個(gè)樣本：，，，求參數(shù)的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。解，由，即，得參數(shù)的矩估計(jì)值為統(tǒng)計(jì)量的分布判斷問(wèn)題：主要利用性質(zhì)：獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合還是正態(tài)分布三大分布的定義：例題分析：一、設(shè)是正態(tài)總體的樣本，1．試問(wèn)服從什么分布（指明自由度）？且獨(dú)立，2．假定，求的分布。,,,又和相互獨(dú)立，故＝二．設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，分別記為的樣本均值和樣本方差，求的分布。解，，且與相互獨(dú)立，所以，由于，且與相互獨(dú)立，因此由分布的定義得三、，.(1)證明都是的無(wú)偏估計(jì)量；（2）判斷中哪一個(gè)估計(jì)量更有效.利用卡方分布：四設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，記，，，求統(tǒng)計(jì)量的分布？設(shè)為X的樣本，求統(tǒng)計(jì)量的分布.六、．設(shè)總體，是X的樣本，統(tǒng)計(jì)量，（）服從分布，求參數(shù)的值和的分布的自由度。解由，得且相互獨(dú)立，即，且相互獨(dú)立。于是且相互獨(dú)立。所以當(dāng)時(shí)，該分布的自由度為2。假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)的題目類型：記住正態(tài)總體的抽樣分布定理，弄懂上分位數(shù)的含義，在密度曲線圖上用分位數(shù)給出各個(gè)分布的大概率區(qū)域和小概率區(qū)域能夠從圖上用分位數(shù)標(biāo)出各種分布的雙側(cè)小概率區(qū)域和單側(cè)小概率區(qū)域，，。1（10分）某工廠生產(chǎn)銅線，根據(jù)長(zhǎng)期積累的數(shù)據(jù)知，銅線的折斷力服從正態(tài)分布，方差為。今從某天生產(chǎn)的銅線中隨機(jī)抽取根，測(cè)得折斷力如下：，問(wèn)該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較，其波動(dòng)性有無(wú)顯著變化？檢驗(yàn)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)量，則當(dāng)為真時(shí)，，拒絕域?yàn)榛颉，F(xiàn)在，，由于，即該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較，其波動(dòng)性無(wú)顯著變化。2（8分）在某磚廠生產(chǎn)的一批磚中,隨機(jī)地抽取6塊,測(cè)量其抗斷強(qiáng)度(單位MPa)分別為3.3663.1063.2643.2873.1223.205設(shè)磚的抗斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布,問(wèn)能否認(rèn)為這批磚的平均抗斷強(qiáng)度是3.250MPa？（顯著性水平）、解3分檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域3分算得2分接受3（10分）某化工廠一天中生產(chǎn)的化學(xué)制品產(chǎn)量（單位：噸）服從正態(tài)分布，今測(cè)得5天的產(chǎn)量分別為785，805，790，790，802。問(wèn)是否可以認(rèn)為日產(chǎn)量的均值顯著小于800？（?。┙饧僭O(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量-----------------------5分拒絕域，接受--4.是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，其中參數(shù)和均未知，對(duì)于參