全世界最牛的話

PAGEPAGE1曲線過定點問題的探究羅定中學莫森岳摘要：高中數(shù)學中的恒過定點問題，特別是確定帶參數(shù)的曲線恒過定點問題中參數(shù)的范圍為任意值時曲線方程過定點的問題，錯綜復雜。曲線過定點問題涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的性質(zhì)、圖象，滲透著數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，許多考生對解決此類問題往往感到很難，得分率低．本文對此類問題的在代數(shù)與幾何方面的求解策略作一些探討。關(guān)鍵詞：特殊值分離參數(shù)數(shù)形結(jié)合平移對稱反函數(shù)方程的曲線過定點問題是高中數(shù)學中常見的問題。平面解析幾何圖形中的定值問題是指按照一定條件構(gòu)建幾何圖形或數(shù)量關(guān)系,根據(jù)題意可得某些元素在在一定的范圍內(nèi)變化時，與它有關(guān)的某個量保持恒定關(guān)系的一類問題。此類問題錯綜復雜，針對不同的題型有不同的的解決方法。數(shù)學在解題過程其中包括有兩大方面，一些題型運用代數(shù)知識來解可能會比較方便，另一些用幾何知識來解決可能會方便一點。根據(jù)不同的題目我們選用不同的解題方式，這樣達到我們舍取得當?shù)男Ч鉀Q問題起來也就方便多了。以下分別從代數(shù)和幾何兩方面對曲線過定點問題的解題策略進行了一些探討.一、代數(shù)方面解題策略（一）、特殊值法曲線恒過定點問題,實際上是對于參變量k在所有給定范圍內(nèi)取值,方程的曲線都通過定點。此時在參變量k的給定范圍內(nèi)的個別特殊值.,所得到的方程的曲線也應(yīng)通過同一定點。因而只要設(shè)出參變量的幾個特殊值,所得到關(guān)于X,Y方程組,解之驗證得.無論K取任何實數(shù)時,直線(2k-1)x+-(k-3)y-(k-11)=0恒過一定點,求這個定點.分析:因方程對于任意的k,所表示曲線都過定點,該定點即為通過它的兩曲線的交點,該交點只需設(shè)k的兩個不同的值(可根據(jù)題意而設(shè))得到關(guān)于x,y的方程聯(lián)立解得.解:分別令k=0,1得:把x=2y=3代入原方程得(2k-1)×2+(-K-3)×3-(K-11)=0對于所有k∈R恒成立,則有直線方程恒過定點(2,3)說明:因為直線系所過的定點,就是直線系中任意兩條直線的交點,故可以任取參數(shù)的兩個不同的值代入直線系(或曲線系),聯(lián)立求解,得出兩特定直線(或曲線)的交點坐標,但還需將求得的交點人坐標代入原直線(或曲線)的方程進行檢驗,則該點坐使得方程恒等于0，則該點坐標就是直線(或曲線)恒過的定點.(二)、分離參數(shù)法1、含一個參變量的曲線系過定點的問題若曲線系方程可整理成關(guān)于的n次多項式，，則欲使曲線系過定點，只要使關(guān)于參數(shù)λ的n次多項式的各項系數(shù)為0，即(x,y)=0(i=0,1,2……n)解此方程，有解——則可知曲線系所過的定點，若無解——則可知曲線系不過定點。例2、求證：直線（2+8m+3）x-(3+m-4)y+4-6m-11=0無論m取什么實數(shù)時必過定點，并求這個定點坐標。分析：此題的解題思路與例2直線系過定點問題有點相似。首先參數(shù)分離，參數(shù)所有系數(shù)都為0。在這個方程里的方程分離法要注意，將這里的參數(shù)m按照降冪的順序排列，然后再分別找出這此參數(shù)之間的系數(shù)，再可以討論其系數(shù)滿足的條件。即找出、m的系數(shù)與不含m的項，它們都為0時，無論m取何值時，方程都成立。解：將原方程按m的降冪整理得（2x-3y+4）+m(8x-y-6)+(3x+4y-11)=0x=1,y=2所以直線過定點（1，2）說明：分離能數(shù)將所有參數(shù)系數(shù)組成方程組，若方程組有解則可知直線（或曲線）過定點，若方程組無解，則曲線運動不過定點2、含兩個參變量的曲線系過定點的問題若曲線系是含兩個參數(shù)、的方程，f(x,y)+g(x,y)=h(x,y)（1）其中、滿足某一線性條件A+B=C（A、B、C為常數(shù)），則此類問題可按以下的步驟解之：第一步、設(shè)曲線系過定點（，）代入上述（1），有(2)此時，可視上面兩式對應(yīng)著關(guān)于，的兩條直線方程。第二步、既然曲線系過定點（，），哪么上述關(guān)于，的方程組有無窮個解或重合，所以有：（3）當其中一個分母為0時,就認為相應(yīng)的分子也為0,如C=0,AB0,則(3)可以寫成(4)若A=B=0,則可認為(3)式為(5)第三步、解(3)【或(4)或(5)】,若無解,則曲線系不過定點；若有一解,則曲線系過一定點；若有n個解,則曲線系過n個定點。例3、證明:若a,b滿足2a-3b=1,那么直線ax+by=5必過定點,并求這個定點.分析:根據(jù)已知條件，設(shè)定點（，），則a,b同時滿足的直線方程，直線方程與關(guān)系式重合，再由a,b的系數(shù)的比相等，可求出定點。解：設(shè)定點為（，），則已知條件表明關(guān)于（a,b）的兩直線重合，故=10，=-15即直線必定過定點（10，-15）說明：（1）把直線方程化為：與2a-3b=1相比較，亦可得交點（10，-15）。（2）也可以將將兩個參數(shù)中的一個消去，化為只含一個參變量的問題解之以上討論曲線恒過定點時在代數(shù)方面的一些常見的解決方法——利用方程的理論求定點的問題，將一些復雜抽象的問題轉(zhuǎn)化為顯然常見的問題來解決，達到事半功倍的效果。二、幾何方面的策略（一）、圖象平移法函數(shù)y=f(x-a)+b的圖象可由y=f(x)的圖象向左（或向右）平移|a|個單位，再向上（或向下）平移|b|個單位得到，因此可可以將所給的函數(shù)y=f(x-a)+b看成某個初等函數(shù)y=f(x)（已知通過某一個定點）經(jīng)過圖象平移而得，在圖象移動的過程中，函數(shù)通過的定點也隨之移動，如果y=f(x)通過的定點為（m,n）,則y=f(x-a)+b通過的定點為（m+a,n+b）例4、求函數(shù)y=通過的定點分析：已知這個函數(shù)，無論a取什么值時，只要函數(shù)有意義，則也都會通過定點（1，0），而y=的函數(shù)是由向右平移1個單位，再向上平移3個單位而得到的，則定點也都會隨之移動了，則此題定點與a的取值無關(guān)，只須將定點平移就可以解決解：因過定點（1，0），函數(shù)y=由向右平移1個單位，再向上平移3個單位而得到，則定點（1，0）隨之平移，且為定點,則可知通過的定點為（1+1，0+3）=（2，3）說明：這題是關(guān)于對數(shù)函數(shù)的幾何問題，只要掌握函數(shù)的基本性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的性質(zhì)就可以解決。因圖象過定點這個問題就是在原來函數(shù)的基礎(chǔ)上平移，平移的過程中沒有改變圖象的大小，相對應(yīng)的定點平移后都還是一個定點。所以這個問題用幾何是平移解決比較方便。（二）、反函數(shù)法函數(shù)與其反函數(shù)的定義域與值域互換，通過這一特點可以直接用原函數(shù)求反函數(shù)的定義域、值域，求反函數(shù)在某一點的值（如：求），反函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與其通過定點都可以用這種方法來求。例5、已知函數(shù)y=f(x)通過定點（1，2），求y=f(x+1)的反函數(shù)通過的定點.分析：互為反函數(shù)的兩函數(shù)的定義域與值域交換，通過的點的橫縱坐標亦交換，因此，問題就轉(zhuǎn)化為求y=f(x+1)通過的定點解：因為y=f(x)通過的定點為（1，2），則y=f(x+1)的反函數(shù)通過的定點為（0，2）.又因為y=f(x+1)的反函數(shù)通過的定點為（2，0）.說明：本題根據(jù)y=f(x)與反函數(shù)的關(guān)于y=x對稱的性質(zhì)來解決，定點也就顯然啦（三）、對稱法圖象關(guān)于點、線對稱的兩函數(shù)可利用對稱性找出它們之間的關(guān)系，利用其中一個求出另一個的函數(shù)關(guān)系及其性質(zhì)，當然也可根據(jù)一個函數(shù)通過的定點求出另一個函數(shù)通過定點。常用的幾個對稱關(guān)系：設(shè)點P的坐標是（a,b）,則點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標是（a,-b）;點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標是（-a,b）;點P關(guān)于y=x軸的對稱點的坐標是（b,a）;點P關(guān)于原點的對稱點的坐標是（-a,-b）;點P關(guān)于y=-x軸的對稱點的坐標是（-b,a）。例6、先作與函數(shù)（a>0且a1）的圖象關(guān)于原點對稱的圖象，再將向右平移1個單位得到的圖象，又函數(shù)y=f(x)的圖象與關(guān)于直線y=x對稱，求出y=f(x)的圖象通過定點。分析:函數(shù)通過定點隨函數(shù)圖象的對稱（或平移）而對稱（或平移）。該題中，要求出的圖象通過的定點，再根據(jù)平移、對稱來求。解：因為（a>0且a1）的圖象通過定點（3，0），其關(guān)于原點對稱的圖象通過定點（-3，0）。又因為將向右平移一個單位得到，所以通過定點（-2，0），而y=f(x)與關(guān)于y=x對稱。所以y=f(x)的圖象通過的定點為（0，-2）。說明：這道題是有關(guān)幾何的問題，引用我們常用的點點對稱，點線對稱的基礎(chǔ)知識，再尋找出對數(shù)函數(shù)基本形式時過定點，再把這個定點找出他變化后的位置，這個點也就是我們要求的一個定點。這道題我們要掌握的知識點就是關(guān)于對稱的問題，熟知關(guān)于點對稱或關(guān)于線對稱時的基本性質(zhì)。三、總結(jié)定值問題是解析幾何中頗有難度的問題，由于它在解題之前不知道定值的結(jié)果，因而更增添了題目的神秘色彩。解決這類問題時，要運用辯證的觀點去思考分析，在“變”中尋求“不變”，用特殊探索法（即用特殊