江蘇省南京市協(xié)同體九校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省南京市協(xié)同體九校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】原命題全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定為:，.故選：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】，解得，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由解得且，所以的定義域?yàn)?故選：D.5.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得：，得：，所以：，故A項(xiàng)正確.故選：A.6.若命題“對(duì)任意的，恒成立”為假命題，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得：存在，成立為真命題，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即：取等號(hào)，所以：，故B項(xiàng)正確.故選：B.7.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，根據(jù)一次函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得，解得.故選：C.8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足．若當(dāng)時(shí)，總有，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，總有，即，即，當(dāng)時(shí)，總有，所以在上遞增，又因?yàn)?，所以，，所以在上是偶函?shù)，又因?yàn)?，所以，即，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，漏選得2分，錯(cuò)選得0分.）9.下列各組函數(shù)不是相同函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋圆皇窍嗤瘮?shù)；B選項(xiàng)，，所以兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以不是相同函?shù)；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以不是相同函?shù).故選：ACD.10.以下運(yùn)算中正確的是（）A.若，，則B.若，則C.D.【答案】ACD【解析】A項(xiàng)：由，，，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)：由，得，所以：，得：，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)：，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為或【答案】BC【解析】依題意，關(guān)于的不等式的解集為或，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，即，所以，所以不等式的解集為，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，即，解得，所以不等式的解集為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知定義在上函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，且滿足以下條件：①，都有；②，且時(shí)，都有；③，則下列成立的是（）A.B.若，C.若，則D.，R，使得【答案】BD【解析】由①知函數(shù)是偶函數(shù)；由②知函數(shù)在上是減函數(shù)；由③知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)；綜合①②③知，該函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在軸右側(cè)減函數(shù)，又經(jīng)過點(diǎn)和，故可作出函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖：對(duì)于選項(xiàng)A，顯然，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由可得：或，由（Ⅰ）可得：由（Ⅱ）可得：綜合得，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，故由可得，故有，解得：或，即：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，函數(shù)又是定義在上的，故而圖像必與軸相交，即函數(shù)有最大值，故D項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為________.【答案】3【解析】，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為3.故答案為：3.14.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，.故答案為：.15.已知不等式的解集為，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由于不等式的解集為，所以，解得.故答案為：.16.若定義在上的函數(shù)，則稱為狄迪克雷函數(shù).對(duì)于狄迪克雷函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是______（填序號(hào)即可）．①函數(shù)為偶函數(shù)②對(duì)于任意，都有③對(duì)于任意兩數(shù)，都有④對(duì)于任意，都有【答案】①④【解析】①，若，則，則；若，則，則；所以為偶函數(shù)，所以①正確；②，由于，所以，所以②錯(cuò)誤；③，不妨設(shè)，所以，，此時(shí)，所以③錯(cuò)誤；④，若，則，則；若，則，則，所以對(duì)于任意，都有，④正確.故答案為：①④.四、解答題（本大題共6小題，共70分.）17.（1）求值：；（2）.解：（1）.（2）.18.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的圖象，并寫出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求出的解析式.解：（1）依題意可知，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.19.在①；②“”是“”的充分條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，并求解.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，.（2）若選①，由可得，，由已知可得，所以有，解得；若選②“”是“”的充分條件，由已知可得，由已知可得，所以有，解得；若選③，由已知可得，所以有或，解得或.20.已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）依題意，是二次函數(shù)，且，故可設(shè)，則，所以，解得，所以.（2）不等式，即，，所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.21.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為15元，年銷售10萬(wàn)件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).解：（1）設(shè)定價(jià)為元，則銷售量為萬(wàn)件，由已知可得，，整理可得，，解得，所以，該商品每件定價(jià)最多為50元.（2）由已知可得，，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，所以，當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，商品的每件定價(jià)為2