重慶市縉云教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月月度質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1重慶市縉云教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月月度質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4．全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由直線得其斜率為，所以，因?yàn)?，所以，故選：B2.三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)所求圓方程為,因?yàn)?，，三點(diǎn)都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.3.如圖，在正方體中，為棱上的動點(diǎn)，則直線與平面所成角（過點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)垂足為．連接，直線與直線相交所形成不大于的角）的正弦值的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，則為直線PB與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為a，，∴，∴，又∵，∴，∴，則，即直線與平面所成角的正弦值的范圍是.故選：A.4.圓與直線相切，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓，點(diǎn)到直線的距離為即化簡得：故.故選：B5.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別在線段和上．給出下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的個數(shù)有（）個①的最小值為1②四面體的體積為③存在無數(shù)條直線與垂直④點(diǎn)為所在邊中點(diǎn)時，四面體的外接球半徑為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對于①:因?yàn)槭钦襟w，所以平面,平面,又因?yàn)槠矫?平面,所以，即是與的公垂線段，因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時，最短為1，故①正確;對于②,因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，且平面所以平面，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，點(diǎn)到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，到的距離不變，所以的面積不變，所以所以②錯誤;對于③,連接，因?yàn)槠矫?，平面，?所以，又平面，所以平面，當(dāng)不在線段端點(diǎn)時，過作交于，過作交于，平面交線段于,因?yàn)槠矫妫矫?故平面，同理平面,又平面，所以平面平面，故平面，又平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以存在無數(shù)條直線，故③正確;對于④,如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,則的外接圓的半徑為所以可得等腰的外接圓圓心為,設(shè)四面體的外接球球心為，則平面，所以可設(shè)四面體的外接球球心為，由，可得,解得，所以四面體的外接球的半徑為故④錯誤.故選:B.6.過點(diǎn)作圓的切線，所得切線方程為（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】由題意得：由圓，得到圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)過的切線斜率不存在時，直線滿足題意；當(dāng)過的切線斜率存在時，設(shè)為斜率為k，可得切線方程，即，∴圓心到切線的距離，即，解得：，此時切線的方程為，即，綜上，圓的切線方程為和．故選：C7.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是等腰直角三角形，平面平面，當(dāng)棱上一動點(diǎn)到直線的距離最小時，過作截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切吻遥?，，，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫嫫矫嫠云矫嫠砸詾樵c(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，軸的建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，，因?yàn)閯狱c(diǎn)在棱上，所以設(shè)，則所以，，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)時，點(diǎn)到直線的最小距離為，此時點(diǎn)是的中點(diǎn)即．因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以梯形的面積為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以，則點(diǎn)到平面的距離，所以四棱錐的體積為．故選：B8.四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點(diǎn)O為四棱錐外接球的球心，E為上的動點(diǎn)，則直線與所成的最小角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，球心在平面的投影坐標(biāo)為，則設(shè)球心，則，即，解得，則.設(shè)，，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時，有最大值為，此時直線與所成的角最小，對應(yīng)的正弦值為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分．9.以下關(guān)于向量的說法正確的有（）A.若＝，則＝B.若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個圓C.若＝－且＝－，則=D.若與共線，與共線，則與共線【答案】AC【解析】若＝，則和的大小相等，方向相同，故A正確；將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個球，故B錯誤；若＝－，＝－，則＝－=，故C正確；若與共線，與共線，則當(dāng)時，無法判斷與的關(guān)系，故D錯誤.故選：AC.10.若圓上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于，則的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】圓心到直線的距離，

因?yàn)閳A上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于，

所以，即，

解得，

結(jié)合選項(xiàng)可知，BC正確，

故選：BC．11.已知圓和圓，則（）A. B.圓半徑是4 C.兩圓相交 D.兩圓外離【答案】AC【解析】對于B，因?yàn)閳A，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，故B錯誤；對于A，因?yàn)閳A，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，故A正確；對于CD，因?yàn)?，所以兩圓相交，故C正確，D錯誤.故選：AC.12.已知向量滿足.設(shè)，則（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最大值為D.無最大值【答案】BD【解析】因?yàn)?，所?又，所以，解得，因?yàn)?，所?建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)椋?，整理得，即點(diǎn)軌跡是：圓心為，半徑為的圓，設(shè)，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則，令點(diǎn)到直線的距離為，則，無最大值.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.點(diǎn)到直線的距離為________.【答案】【解析】利用點(diǎn)到直線的距離可得：故答案為:．14.已知直線，，若，則__________.【答案】【解析】若，則，解得.故答案為：.15.已知圓C的方程為，過直線l：（）上任意一點(diǎn)作圓C的切線，若切線長的最小值為，則直線l的斜率為__________．【答案】【解析】設(shè)切線長最小時直線上對應(yīng)的點(diǎn)為，則又，因?yàn)榍芯€長的最小值為故，解得，故直線的斜率為.故答案為：.16.如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動，對于下列三個結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得；②的面積越來越小；③四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號是_____________.【答案】①②③【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，，設(shè)（），則，，令，解得：，存在點(diǎn)P，使得，①正確；，，，，設(shè)點(diǎn)P到直線距離為，則所以，因?yàn)椋瑒狱c(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動，即從0逐漸變到2，隨著的變大，變小，的面積越來越小，②正確；以為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，因?yàn)椤蔚酌?，所以h不變，所以四面體的體積不變，③正確.故答案為：①②③四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.過點(diǎn)作直線l，使之與點(diǎn)之間的距離等于2，求直線l的方程．解：當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l的方程為，點(diǎn)到它的距離為2，滿足題意．當(dāng)直線l與x軸不垂直時，由題意可設(shè)直線l的方程為，即，由點(diǎn)A到它的距離為2，可得，解得，所以直線方程為．綜上所述，直線l的方程為或．18.設(shè)m為實(shí)數(shù)，已知兩直線分別求下列條件下的m的值（范圍）（1）平行（2）垂直（3）相交解：（1）因?yàn)?，所以，解得?（舍去），所以.（2）因?yàn)椋?，解?（3）和相交，即兩直線既不平行也不重合，由（1）可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，兩直線重合，所以和相交時，且.19.如圖，正方形和所在的平面互相垂直，且邊長都是分別為線段，，上的動點(diǎn)，且，平面．（1）證明：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．解：（1）∵面面，且，面面，面，∴面，又∵面，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵面，面，∴面．（2）依題意得，，∴，∴當(dāng)時，三棱錐體積最大，即M，N，G為線段中點(diǎn)．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．設(shè)面的法向量為，所以，取，得．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，取，得．所以，又二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為20.在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.解：（1）因?yàn)槭堑闹形痪€，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，，則.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，得，取，得，則，所以，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.21.如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的多面體中，四邊形是矩形，，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.解：（1）由題意，四邊形是矩形，可得，又由平面，平面，所以，因?yàn)?，所以，又由，且平面，所以平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.由平面的一個法向量為，因?yàn)?，即，即，所以平?（2）由題意，得，，，，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量，可得，，由，可得，即，取，得，，所以.設(shè)二面角的大小為，則.所以二面角的余弦值為.22.如圖，在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，．分別是的中點(diǎn)，且，平面平面．（1）證明：平面；（2）