新教材2024版高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用一課件新人教A版必修第一冊

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具數(shù)學(xué)建模2．在實(shí)際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律數(shù)學(xué)建模|自學(xué)導(dǎo)引|

常見的函數(shù)模型y＝kx＋b

y＝ax2＋bx＋c

【預(yù)習(xí)自測】一個(gè)矩形的周長是40，矩形的長y關(guān)于寬x的函數(shù)解析式為 (

)A．y＝20－x(0＜x＜10) B．y＝20－2x(0＜x＜20)C．y＝40－x(0＜x＜10) D．y＝40－2x(0＜x＜20)【答案】A

【解析】由題意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x．又因?yàn)?0－x＞x，所以0＜x＜10．故選A．

解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(一)審題；(二)建模；(三)解模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：【答案】2500

|課堂互動(dòng)|題型1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購買人數(shù)越少．把購買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無效價(jià)格，已知無效價(jià)格為每件300元．現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售．問：(1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？解：(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤為y元，則x∈(100，300]，n＝kx＋b(k＜0)．因?yàn)?＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)，所以利潤y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])．因?yàn)閗＜0，所以x＝200時(shí)，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元．(2)由題意，得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以商場要獲取最大利潤的75%，每件標(biāo)價(jià)為250元或150元．一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法．(2)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)．1．如圖，小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是2.5m，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1m的小明距較近的那棵樹0.5m時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為_____m．【答案】0.5

【解析】若以左邊的樹根為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的對稱軸為直線x＝1．設(shè)拋物線方程為y＝ax2－2ax＋2.5，當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2．∴y＝2(x－1)2＋0.5．∴繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為0.5m．(2)由(1)知，①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線t＝5，該函數(shù)在t∈[0，5]單調(diào)遞增，在t∈(5，10]單調(diào)遞減，所以ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝1200(當(dāng)t＝0或10時(shí)取得)．②當(dāng)10＜t≤20時(shí)，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為直線t＝45，該函數(shù)在t∈(10，20]單調(diào)遞減，所以ymax＜1200(當(dāng)t＝10時(shí)取得1200)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)．由①②知ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)．應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏(關(guān)鍵詞：“段”)．(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集(關(guān)鍵詞：定義域)．(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后再下結(jié)論(關(guān)鍵詞：值域)．2．某數(shù)學(xué)練習(xí)冊，定價(jià)為40元．若一次性購買超過9本，則每本優(yōu)惠5元，并且贈(zèng)送10元代金券；若一次性購買超過19本，則每本優(yōu)惠8元，并且贈(zèng)送10元代金券．某班購買x(x∈N*，x≤40)本，則總費(fèi)用f(x)與x的函數(shù)關(guān)系式為____________(代金券相當(dāng)于等價(jià)金額)．題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式．(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式．(2)利用函數(shù)關(guān)系式解決相關(guān)問題．(3)回歸到應(yīng)用問題中去，給出答案．3．在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下，當(dāng)氣體通過圓形管道時(shí)，其流量R與管道半徑r的四次方成正比．(1)寫出函數(shù)解析式；(2)假設(shè)氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm3/s，求該氣體通過半徑為rcm的管道時(shí)，其流量R的函數(shù)解析式；(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm，計(jì)算該氣體的流量．|素養(yǎng)達(dá)成|1．函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例主要包括三個(gè)方面：(1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題．2．在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求．3．在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母、列表、畫圖等使實(shí)際問題數(shù)學(xué)符號化(體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng))．4．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題的基本過程，如右圖所示．1．(題型1)一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)解析式是 (

)A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)【答案】D

【解析】90min＝1.5h，所以汽車的速度為180÷1.5＝120(km/h)，則路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)解析式是y＝120t(t≥0)．【答案】D

【解析】顯然出發(fā)、停留、返回三個(gè)過程中行車速度是不同的，故應(yīng)分三段表示函數(shù)．3．(題型3)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(單位：萬元)與藥品利潤y(單位：萬元)存在的關(guān)系為y＝xα(α為常數(shù))，其中x不超過5萬元．已知去年投入廣告費(fèi)用為3萬元時(shí)，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費(fèi)用5萬元，預(yù)計(jì)今年藥品利潤為________萬元．【答案】125