新教材2024版高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

5．2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則當(dāng)k＝3時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)為 ()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))【答案】B2．(多選)設(shè)b為實(shí)數(shù)，則直線y＝2x＋b能作為下列函數(shù)圖象的切線的有 ()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝x4C．f(x)＝ex D．f(x)＝sinx【答案】BC【解析】對(duì)于A，f′(x)＝－eq\f(1,x2)<0，故無論x取何值，f′(x)不可能等于2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f′(x)＝4x3，令f′(x)＝4x3＝2，解得x＝eq\r(3,\f(1,2))，所以直線y＝2x＋b能作為該函數(shù)圖象的切線；對(duì)于C，f′(x)＝ex，令ex＝2，解得x＝ln2，所以直線y＝2x＋b能作為該函數(shù)圖象的切線；對(duì)于D，f′(x)＝cosx∈[－1，1]，故無論x取何值，f′(x)不可能等于2，故D錯(cuò)誤．故選BC.3．若函數(shù)y＝10x，則y′|x＝1＝ ()A．eq\f(1,10) B．10 C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)【答案】C【解析】∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.故選C.4．函數(shù)f(x)＝eq\r(x\r(x))的導(dǎo)數(shù)是 ()A．xeq\f(3,2) B．xeq\f(3,4) C．eq\f(3,2)xeq\f(3,2) D．eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)【答案】D【解析】先將f(x)變形為y＝xα的形式，再求導(dǎo)，即f(x)＝eq\r(x\r(x))＝eq\r(x\s\up6(\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(3,2))))eq\s\up6(\f(1,2))＝xeq\s\up6(\f(3,4))，故f′(x)＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4).5．(2022年湘潭期末)已知函數(shù)f(x)＝x5的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′(x)，則f′(－1)＝ ()A．－1 B．1 C．5 D．－5【答案】C【解析】∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故選C.6．(多選)下列求導(dǎo)正確的是 ()A．(x8)′＝8x7 B．(4x)′＝4xln4C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))′＝sinx D．(e2)′＝2e【答案】AB【解析】C項(xiàng)中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，∴(cosx)′＝－sinx；D項(xiàng)中，(e2)′＝0.7．(2022年遼寧期末)曲線y＝lnx在點(diǎn)(1，0)處的切線方程為__________．【答案】y＝x－1【解析】y′＝eq\f(1,x)，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝1，所以曲線y＝lnx在點(diǎn)(1，0)處的切線方程為y＝x－1.8．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線f(x)＝lnx(x＞0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________.【答案】ln2－1【解析】由切線方程知切線斜率是eq\f(1,2)，即y′＝eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，解得x＝2.因?yàn)榍悬c(diǎn)在y＝lnx上，所以切點(diǎn)為(2，ln2).因?yàn)榍悬c(diǎn)也在切線上，所以將點(diǎn)(2，ln2)代入切線方程，得b＝ln2－1.9．已知函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為eq\f(1,2ln2)，求底數(shù)a的值．解：f′(x)＝(logax)′＝eq\f(1,xlna).由題得f′(2)＝eq\f(1,2lna)＝eq\f(1,2ln2)，所以lna＝ln2，得a＝2.10．求曲線y＝sinx在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線方程．解：y＝sinx的導(dǎo)函數(shù)為y′＝cosx.當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，y′＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，即y＝sinx在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率為eq\f(\r(3),2)，所以曲線y＝sinx在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即eq\r(3)x－2y＋1－eq\f(\r(3)π,6)＝0.B級(jí)——能力提升練11．曲線y＝eq\r(3,x2)在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為 ()A．3x－2y－1＝0 B．2x－3y＋1＝0C．2x＋3y－5＝0 D．x＋y－2＝0【答案】B【解析】y＝eq\r(3,x2)＝xeq\s\up6(\f(2,3))，則y′＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)，y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝eq\f(2,3)，所以所求切線方程為y－1＝eq\f(2,3)(x－1)，即2x－3y＋1＝0.12．(多選)(2022年南昌期末改編)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的是 ()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cosxC．f(x)＝lnx D．f(x)＝eq\f(1,x)【答案】ABCD【解析】對(duì)于A，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，由x2＝2x，解得x＝0或x＝2，因此此函數(shù)有“巧值點(diǎn)”；對(duì)于B，f(x)＝cosx，則f′(x)＝－sinx，令－sinx＝cosx，則sinx＋cosx＝0?eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝0?x＋eq\f(π,4)＝kπ?x＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，因此此函數(shù)有“巧值點(diǎn)”；對(duì)于C，f(x)＝lnx，f′(x)＝eq\f(1,x)，由lnx＝eq\f(1,x)，如圖，分別畫出y＝lnx，y＝eq\f(1,x)(x＞0)的圖象，由圖象可知，兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，因此此函數(shù)有“巧值點(diǎn)”；對(duì)于D，f(x)＝eq\f(1,x)，f′(x)＝－eq\f(1,x2)，由eq\f(1,x)＝－eq\f(1,x2)，解得x＝－1，因此此函數(shù)有“巧值點(diǎn)”．故選ABCD.13．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________．【答案】1【解析】因?yàn)閒(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).14．已知P為曲線y＝lnx上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為直線y＝x＋1上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)P的坐標(biāo)為__________時(shí)，PQ最小，此時(shí)最小值為________．【答案】(1，0)eq\r(2)【解析】如圖所示，當(dāng)直線l與曲線y＝lnx相切且與直線y＝x＋1平行時(shí)，切點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離即為PQ的最小值．令y′＝eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PQ|min＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2).15．已知函數(shù)f(x)＝xa(a為常數(shù)且a＞0)的圖象在x＝1處的切線為l，若l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為eq\f(1,4)，求a的值．解：由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa-1，∴f′(1)＝a.又∵f(1)＝1，∴切線l的方程為y－1＝a(x－1)，∴l(xiāng)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)，0))，(0，1－a)，∴l(xiāng)與兩坐標(biāo)軸圍成的