新教材2024版高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第1課時(shí)函數(shù)的極值課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第1課時(shí)函數(shù)的極值A(chǔ)級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．函數(shù)y＝2－x2－x3的極值情況是 ()A．有極大值，沒有極小值B．有極小值，沒有極大值C．既無極大值也無極小值D．既有極大值也有極小值【答案】D【解析】令y＝f(x)，f′(x)＝－3x2－2x，令f′(x)>0，可得－eq\f(2,3)<x<0；令f′(x)<0，可得x>0或x<－eq\f(2,3).所以當(dāng)x＝0時(shí)取極大值，當(dāng)x＝－eq\f(2,3)時(shí)取極小值．2．(2022年陜西期末)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是 ()A．－1是f(x)的極小值點(diǎn)B．曲線y＝f(x)在x＝2處的切線斜率小于零C．f(x)在區(qū)間(－∞，3)上單調(diào)遞減D．－3是f(x)的極小值點(diǎn)【答案】B【解析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x<－3或x>3時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)－3<x<3時(shí)f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間(－∞，－3)，(3，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(－3，3)內(nèi)單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；所以－3是f(x)的極大值點(diǎn)，3是f(x)的極小值點(diǎn)，不存在其他極值點(diǎn)，A，D錯(cuò)誤；又因?yàn)閒′(2)<0，所以f(x)在x＝2處切線斜率小于零，B正確．故選B.3．(2022年欽州期末)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是 ()A．在區(qū)間(－∞，0)上，f(x)單調(diào)遞增B．在區(qū)間(2，4)上，f(x)單調(diào)遞減C．2為f(x)的極大值點(diǎn)D．f(x)有2個(gè)極小值【答案】D【解析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象考查所給的選項(xiàng)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；f(x)在區(qū)間(0，4)上單調(diào)遞增，所以2不是f(x)的極值點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；f(0)和f(6)為f(x)的極小值，選項(xiàng)D正確．故選D.4．已知函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，g′(x)圖象分別如圖所示，則關(guān)于函數(shù)y＝g(x)－f(x)的判斷正確的是 ()A．有3個(gè)極大值點(diǎn)B．有3個(gè)極小值點(diǎn)C．有1個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn)D．有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)【答案】D【解析】如圖，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<a時(shí)，f′(x)<g′(x)，此時(shí)y′＝g′(x)－f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a<x<0時(shí)，f′(x)>g′(x)，此時(shí)y′＝g′(x)－f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<b時(shí)，f′(x)<g′(x)，此時(shí)y′＝g′(x)－f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>b時(shí)，f′(x)>g′(x)，此時(shí)y′＝g′(x)－f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減．故函數(shù)在x＝a，x＝b處取得極大值，在x＝0處取得極小值．5．(2022年天津期末)函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx在x＝1處有極值為4，則a－b的值為 ()A．3 B．－3 C．6 D．－6【答案】B【解析】由f(x)＝x3－ax2＋bx，得f′(x)＝3x2－2ax＋b，由于f(x)在x＝1處有極值4，則f′(1)＝0，f(1)＝4，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a＋b＝0，,1－a＋b＝4，))解得a＝6，b＝9，故a－b＝－3.故選B.6．已知x＝2是函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋a的極小值點(diǎn)，則f(x)的極大值為 ()A．－3 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因?yàn)閒(x)＝ax3－3x2＋a，則f′(x)＝3ax2－6x，由題意可得f′(2)＝12a－12＝0，解得a＝1，∴f(x)＝x3－3x2＋1，f′(x)＝3x(x－2)，列表如下：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f(x)＋0－0＋f′(x)增極大值減極小值增所以函數(shù)f(x)的極大值為f(0)＝1.故選C.7．(2023年山西月考)若函數(shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1處有極值10，則a－b＝ ()A．6 B．－15C．－6或15 D．6或－15【答案】B【解析】∵f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，∴f′(x)＝3x2－2ax－b.又∵當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極值10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a－b＝0，,1－a－b＋a2＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－3.))當(dāng)a＝3，b＝－3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此時(shí)f(x)在x＝1處無極值，不符合題意．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝－4，b＝11時(shí)，滿足題意，所以a－b＝－15.故選B.8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋2x2＋x＋10在x1，x2處取得極值，則x12＋x22＝________．【答案】eq\f(10,9)【解析】f′(x)＝3x2＋4x＋1，由題意得x1，x2是f′(x)＝0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有x1＋x2＝－eq\f(4,3)，x1x2＝eq\f(1,3)，則x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(10,9).9．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值為13，則實(shí)數(shù)m＝________．【答案】－19【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4).由y′＝0，得x＝0或x＝4.當(dāng)x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)時(shí)，y′＜0；當(dāng)x∈(0，4)時(shí)，y′＞0.∴當(dāng)x＝4時(shí)取到極大值，故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.10．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值，討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值．解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，根據(jù)題意f′(1)＝f′(－1)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－3＝0，,3a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1).當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)＜0，故函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減．所以f(－1)是極大值，f(1)是極小值．B級(jí)——能力提升練11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則x12＋x22＝ ()A．eq\f(4,3) B．eq\f(7,3) C．eq\f(8,3) D．eq\f(16,3)【答案】C【解析】根據(jù)圖象，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝1＋b＋c＝0，,f(2)＝8＋4b＋2c＝0，))解得b＝－3，c＝2，∴f(x)＝x3－3x2＋2x，f′(x)＝3x2－6x＋2.顯然x1，x2是f′(x)＝0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有x1＋x2＝2，x1·x2＝eq\f(2,3)，則x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(8,3).12．(多選)(2022年舟山期末)已知函數(shù)f(x)＝ex·x3，則以下結(jié)論正確的是 ()A．函數(shù)y＝f(x)存在極大值B．f(e-2)＜f(1)＜f(lnπ)C．函數(shù)y＝f(x)存在極小值D．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程f(x)＝kx最多有4個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】BCD【解析】f′(x)＝ex·x3＋3x2ex＝x2ex(x＋3)，當(dāng)x＞－3時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜－3時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，函數(shù)在x＝－3處取得極小值，沒有極大值，A錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)x＞－3時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且－3＜e-2＜1＜lnπ，所以f(e-2)＜f(1)＜f(lnπ)，B正確；由f(x)＝kx得ex·x3＝kx有一零點(diǎn)x＝0，令h(x)＝ex·x2，則h′(x)＝exx(x＋2)，當(dāng)x＞0或x＜－2時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，h′(x)＜0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，又因?yàn)閔(－2)＝eq\f(4,e2)，h(0)＝0，當(dāng)0＜k＜eq\f(4,e2)時(shí)，h(x)與y＝k的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，此時(shí)f(x)＝kx有4個(gè)實(shí)數(shù)解，D滿足題意．故選BCD.13．函數(shù)y＝xex的圖象在其極值點(diǎn)處的切線方程為________，極值為________．【答案】y＝－eq\f(1,e)－eq\f(1,e)【解析】y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，由y′＝0，得x＝－1.當(dāng)x＝－1時(shí)，y取得極值－eq\f(1,e)，故所求切線方程為y＝－eq\f(1,e).14．(2022年大慶一模)已知函數(shù)f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，則函數(shù)f(x)的極大值為________．【答案】2ln2【解析】函數(shù)f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(2ef′(e),x)－eq\f(1,e)，令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)－eq\f(1,e)，∴f′(e)＝eq\f(1,e)，∴f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e)＝eq\f(2e－x,ex).令f′(x)＝0，得x＝2e.當(dāng)x∈(0，2e)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2e，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝2e時(shí)，函數(shù)f(x)取極大值，極大值為f(2e)＝2ln2.15．(2022年重慶質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0).(1)當(dāng)a＝1，且函數(shù)圖象過點(diǎn)(0，1)時(shí)，求函數(shù)的極小值；(2)若f(x)在R上無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．解：由題意得f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)當(dāng)函數(shù)圖象過點(diǎn)(0，1)時(shí)，有f(0)＝c＝1.當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＞0，解得x＜eq\f(1,3)或x＞1；令f′(x)<0，解得eq\f(1,3)<x<1.所以函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc