2022年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)理科高考真題答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素第將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填

寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名,考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)

定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小胭答案后，用鉛箱把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

照.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱蔷蛽耦}時(shí)，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一'選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若z=-l+75i,則二^—=

zz-1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.D.-1-^i

3333

2.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取

10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位

社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

居民編號(hào)

則

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

理科數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共5頁(yè)）

3.設(shè)全集1,2.3}.集合4=1-1.21-8={x|/-4x+3=0},則&：(/U8)

A.{1,3}B-{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格詆上繪制的是一個(gè)名面侍的.視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多

面體的體積為

A.8

B.12

C.16

D.20

5.函數(shù)y=（3，-3r）cosx在區(qū)間卜卦]的圖像大致為

6.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/（乃=。111工+2取得最大道_2,則/'⑵=

X

A.-1B.—C.—D.1

22

7.在長(zhǎng)方體43CD-44G4中，已知綜0與平面,42?CD和平面4443所成的角均

為30。，則

A.AB=2ADB.48與平面48笈。所成的角為30。

C.AC=CB]D.與平面5BgC所成的角為45。

理科數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共5頁(yè)）

8.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的

“會(huì)圓術(shù)”.如圖，凝是以。為圓心，04為半徑的圓口

弧，C是月8的中點(diǎn)，。在港上，CD1AB."會(huì)圓IB

術(shù)”給出蔻的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：\C/

$=48+若.當(dāng)。/=2，N/O8=60°時(shí)，s=\/

*11-3>/3n11-4A^\/

A?---B.---V

z10

「9-373n9-W3

22

9.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2加，側(cè)面積分別為冬

和名,體積分別為％和%.若$=2,則”=

S乙V乙

A.y/5B.2A/2C.V10D.

4

工2v2

10.橢圓C:A+A=l（a>b>0）的左頂點(diǎn)為H,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y軸尚稱.

ab

若直線4P,40的斜率之積為彳，則。的離心率為

A.3B.#C.1

D.-

2223

11.設(shè)函數(shù)/（x）=sin（3十三）在區(qū)間（0,九）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值是

3

圍是

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)向量*4的夾角的余弦值為g,且|a|=1,|切=3,貝!J（2?+b）/=.

14.若雙曲線爐一j=1（加>0）的漸近線與圓/一4y+3=0相切，則m=?

m

理科數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共5頁(yè)）

15.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

16.已知△4BC中，點(diǎn)。在邊8c上，ZJD8=120。，4D=2,CD=2BD.當(dāng)必取

AB

得最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

2S

記g為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知一^+”=24+1.

(D證明：｛4｝是等差數(shù)列：

(2)若a4,%,生成等比數(shù)列，求S”的最小值.

18.(12分)

在四棱錐P-4BCD中，PDJ.底面45CC,

CDHAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=B

(1)證明：BDIPAi

(2)求RD與平面R48所成的角的正弦值.

19.(12分)

甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得

0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.己知甲學(xué)校在三個(gè)

項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率：

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

20.(12分)

設(shè)拋物線。:/=20/3>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。3,0),過(guò)尸的直線交C于M,N兩

點(diǎn).當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，］〃尸|=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線她，即與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4,B,記直線MN,"的傾斜

角分別為a,尸.當(dāng)a一夕取得最大值時(shí)，求直線都的方程.

理科數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共5頁(yè))

21.（12分）

已知函數(shù)/(x)=-----lnx+x-a.

X

(1)若/。)云0,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個(gè)明點(diǎn)口,x2,則—<1.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做

的第一題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

,2+1

在直角坐標(biāo)系X。中，曲線G的參數(shù)方程為16'(，為參數(shù))，曲線G的參

y=j

數(shù)方程為「=―一二'(S為參數(shù)).

y=-4s

(I)寫出C1的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，4軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程

為2cos8-sine=0,求G與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及。3與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

23.［選修4一5：不等式選講〕(10分)

已知a,b,。均為正數(shù)，且，+/+4。2=3,證明，

(1)a+b+2cW3；

(2)若6=2。，貝—K1>3.

ac

理科數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)(共5頁(yè))

答案:

1、A

2、B

3、D

4、B

5、C

6、C

7、D

8、B

9、C

10、A

11、C

12、B

13、11

V3

14、7

6

15、行

16、V3—1

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