【一題三變系列】數(shù)學(xué)九年級下冊重要考點精練（人教版）06 相似三角形（熱考題型）-解析版

專題05相似三角形判定、性質(zhì)及其模型

【思維導(dǎo)圖】

◎考點題型1相似三角形的判定-定義法

三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.

例.（2022.全國.九年級課時練習(xí)）在二AfiC與中，有下列條件，如果從中任取兩個條件組成一

組，那么能判斷一A8C口的共有（）組.

①k記；②記=府；③ZA=ZA、④"=NC.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定進行解答即可.

【詳解】解：能判斷△A8CSZ^4,8，C的有①②或②④或③④，共3組，

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.①兩角分別

相等的兩個三角形相似；②兩邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；③三邊成比例的兩個三角形相

似.

變式1.（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，點尸在二的邊AC上，若要判定,則下列

添加的條件不正確的是（）

A.ZABP=NCB.ZAPB=ZABC

C.AP:AB=AB:ACD.AB:BP=ACiAB

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：ZA=ZA,

A、若NABP=NC,可利用AA證得故本選項不符合題意；

B、若ZAPB=ZABC,可利用AA證得,ABPs,4CB,故本選項不符合題意；

C、若":43=48:47,可利用$人$證得_他/38_4。5,故本選項不符合題意；

D、若=無法證得“ABPSoACB,故本選項符合題意；

故選：D

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?河北石家莊?九年級期末）將兩個完全相同的等腰直角AA8C與AAFG按圖所示的方式放

置，那么圖中一定相似（不含全等）的三角形是（）

A.aAEC與△ADBB.AABE與4DAEC.AABC與AADED.AAEC-^AADC

【答案】B

【分析】根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可.

【詳解】解：A.根據(jù)已知條件無法證明AAEC與AADB,故選項不符合題意；

B.「△Me與都為等腰直角三角形，

:.ZDAE=ZB=45°,

'：NAEB=NDEA,

：./\ABE^/\DAE；

故選項符合題意；

C.根據(jù)已知條件無法證明AABC與AA/）E,故選項不符合題意；

D.根據(jù)已知條件無法證明AAEC與△AOC,故選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識，熟練掌握相似三角形的判定定理是

解題的關(guān)鍵.

變式3.（2023?河北?九年級專題練習(xí)）如圖，在“ABC中，P、Q分別為AB、4c邊上的點，且滿足

4^=4?-根據(jù)以上信息，嘉嘉和淇淇給出了下列結(jié)論：

ACAB

嘉嘉說：連接P。，則PQ//8C.

淇淇說：&AQPsA3C.

對于嘉嘉和淇淇的結(jié)論，下列判斷正確的是（）

A

A.嘉嘉正確，淇淇錯誤B.嘉嘉錯誤，淇淇正確C.兩人都正確D.兩人都錯

誤

【答案】B

【分析】根據(jù)鑒=黑，/出。=/。48可以判定34。尸6,4欣7,空與笑不一定相等，不能判定

ACABABAC

PQIIBC.

【詳解】解：*：倏=哭，NPAQ=NCA3,

ACAB

：.^AQP^ABC,即淇淇的結(jié)論正確；

ZAQP=ZABC,ZAPQ=AACB,

不能得出NAQP=NACB或AAPQ=ZABC,

.??不能得出PQ//2C,即嘉嘉的結(jié)論不正確.

故選B.

【點睛】本題考查相似三角形和平行線的判定，熟練掌握相似三角形和平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型2相似三角形的判定-平行法

平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角

形與原三角形相似.

例.（2021?河北保定?九年級期末）如圖，點F是矩形ABC。的邊CQ上一點，射線BF交AO的延長線于點

E,則下列結(jié)論錯誤的是（）

【答案】C

r）pEF

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得A3//BCCW/AB,由OE//8C得到△￡>￡1/從而得到^，

DCJTD

些=竺，則可對8、C進行判斷；由DF//AB得△EDFE4氏從而得到空=勺，則可對A進行判

DEDFAEAB

斷；由于處=生，利用8C=A。，則可對。進行判斷.

BEAE

【詳解】解：:四邊形A8CO為矩形,

AD//BC,CD//AB

■:DE//BC

:.ZDEF=ZCBF

又：4DFE=/CFB

：?&DEF~..CBF

,段=鋁，空=建，所以8選項結(jié)論正確，C選項錯誤;

BCBFEDDF

■:DF//AB

:?ZDFE=ZABE

又?：ZDEF=ZAEB

:,/\EDFAE4B

.DE_DFADBF

*-AEAB*AEBE

所以A選項的結(jié)論正確；

、：BC=AD

.BFBC

*'BE-

所以。選項的結(jié)論正確.

故選：C

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，根據(jù)圖形找見相似的條件是解題的切入點.

變式1.（2021?上海市奉賢區(qū)實驗中學(xué)九年級期中）在AABC中，點力、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結(jié)

DE,那么下列條件中不能判斷AADE和AA8C相似的是（)

ArAn-AEAC

A.DE//BCB./AED=NBC.-D.-----=-----

ADACDEBC

【答案】D

【分析】畫出圖形，由已知及三角形相似的判定方法，對每個選項分別分析、判斷解答出即可；

【詳解】解：由題意得，NA=NA,

A、當(dāng)。石〃8C時，AADE^^ABC；故本選項不符合題意；

B、當(dāng)時，MADEsX\BC,,故本選項不符合題意；

C、當(dāng)F=F時，△ADES/V1C8；故本選項不符合題意；

ADAC

ApAT

D、當(dāng)；U=三時，不能推斷與5c相似；故本選項符合題意；

DEBC

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形相似的判定，解題關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定方法，準(zhǔn)確進行推理證明.

變式2.（2021.四川宜賓?九年級期中）如圖，AB//CD,AE//FD,AE.FD分別交3c于點G、H,則

圖中的相似三角形共有（）

B.4對C.5對D.6對

【答案】D

【分析】根據(jù)平行于三角形的一邊與另兩邊相交形成的三角形與原三角形相似，則圖中△8FH、XBAG、

△CEG.△C。，任意兩個三角形都相似.

【詳解】解：VAB//CD,AE//FD,

△BAGsACEG,

△BFHs^CEG,

△BFHsMDH,

△CEGs/\CDH,

△CDH^/XBAG.

.??相似三角形共有6對.

故選C.

【點睛】本題主要考查平行于三角形的一邊與另兩邊相交形成的三角形與原三角形相似，以及〃個圖形任

意兩個都相似，共有幾對相似的計算方法.

變式3.（2021.北京大興?九年級期中）下列條件中，不能判斷△ABC與ADE尸相似的是（）

B?箏=2且小”

A.ZA=Z￡),NB=NF

、ABBCACcABAC口/c

-=---=---D.—=——且

DEEFDFDEDF

【答案】B

【分析】直接根據(jù)三角形相似的判定方法分別判斷得出答案.

【詳解】解：A、ZA=ZD,NB=NF,根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可以得出

△ABCS&DFE,故此選項不合題意;

B、—且NB=ND，不是兩邊成比例且夾角相等，故此選項符合題意；

EFDF

ARnrAr

C、笑=2=篝，根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似，可以得出△ABCSZX3EF,故此選項

DEEFDF

不合題意；

。、受=蕓且/4="，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可以得出

DEDF

AABCs^DEF,故此選項不合題意；

故選：B.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于

三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相

等的兩個三角形相似：（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

◎考點題型3判定定理1

如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩角對應(yīng)

相等，兩三角形相似.

例.（2019.安徽?安慶市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列條件中能判斷△ABCSAA，B，C的是（）

A.ZA-ZB,NA，=NB

B.ZA=ZA',NB=NC

八人，，，ABBC

C.NA=NA，--~~-=—■~~-

A'B'B'C

D.NA=NA-AB=AC,A'B'=A'C'

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、從NA=/B,只有一個角對應(yīng)相等，找不出第二組對應(yīng)相等的角，所以不能

判斷△ABCs故本選項錯誤；

B、VZA=ZA',NB=NC,

只能找到一組對應(yīng)角所以不能判斷△ABCs/waC,故本選項錯誤；

AD

C、有多=會7兩邊對應(yīng)成比例，相等的角不是邊AB、BC,A'B\的夾角，所以不能

判斷△ABC^^A'B'C,故本選項錯誤；

。、AB=AC,NA=N4,A'B'=A'C,可以利用兩邊對應(yīng)成比例當(dāng)7=,夾角=相等，根據(jù)

兩三角形相似判定定理可判斷448cs△40C,故本選項正確.

故選：D.

【點睛】本題考查三角形相似判定，掌握三角形相似判定定理是解題關(guān)鍵.

變式L（2022?廣西?靖西市教學(xué)研究室九年級期中）如圖，在43c中，點。、E分別在A3、AC邊上，

OE與3C不平行，那么下列條件中，不能判斷一ADESND的是（）.

AEDEADAE

A.ZADE=ZCB.ZAED=ZB~AC~~AB

【答案】c

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理依次判斷即可得到答案.

【詳解】解：是公共角，

若NAZ）E=NC,可根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明故A選項不符合題意；

若"ED=ZB,可根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明一ADEs“CB,故8選項不符合題意；

Arnp

若M蕓，則不能判定.ADESA4C8,故C選項符號題意；

ABBC

AnAp

著F=則可依據(jù)兩邊成比例夾用相等判定故。選項不符合題總：

ACAB

故選：c.

【點睛】此題考查相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?河北?石家莊市欒城區(qū)教育局教研室九年級期末）如圖，AABC中，CE1AB,垂足為E,

BDVAC,垂足為點。，CE與8。交于點F,則圖中相似三角形有幾對（）

A.6對B.5對C.4對D.3對

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的判定一一證明即可.

【詳解】解：'：BDLAC,CEYAB,

二/AEC=/4OB=90°,NBEF=NCDF=90°,

VZ4=ZA,NEFB=NDFC,

：.△AECsAADB,△BEFsACDF,

■:NEBF=NABD,ZBEF=ZADB=90°,

：./\BEFsABDAsACEAs4CDF,

，共有6對相似三角形，

故選：A.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}

型.

變式3.（2021?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在"CB中，ZAC8=90。,AF是㈤C的平分線，過點尸作

FE±AF,交A3于點E,交AC的延長線于點￡）,則下列說法正確的是（）

A.CDFs.EBFB.ADF^.ABFC.ADF^,.CFDD.ACF^,AFE

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法AA解題.

【詳解】解：EFLAF

:.ZAFE=90°

ZACB=ZAFE=90°

AF是NR4c的平分線，

:.ACAF=^FAE

ACFAFE（AA）

故選項D符合題意，選項A、B、C均不符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查相似三角形的判定方法，角平分線的性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)

鍵.

◎考點題型4判定定理2

如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾

角相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.

例.（2022?河北保定?九年級期末）如圖,ZDAB=ZCAE,請你再添加一個條件，使得AADEsA43c.則

下列選項不成立的是（)

一ADDE

B.NE=NCC必=空D.———

?ABACABBC

【答案】D

【分析1先根據(jù)ND4B=NC4E,可得NDAE=/R4C,然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐一解答即可.

【詳解】NDAB=NCAE,

:.^DAB+ZBAE=ZCAE+ABAE,

"DAE=/LBAC,

A、當(dāng)添加條件NO=ZB時，則AADESA/WC,故選項A不符合題意；

B、當(dāng)添加條件NE=NC時，則AADESAABC,故選項B不符合題意；

C、當(dāng)添加條件M=x時，則AADESAABC,故選項C不符合題意；

ABAC

nr

D、當(dāng)添加條件A寫D=能時，則AADE和AABC不一定相似，故選項。符合題意：

AEBC

故選：D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理.

變式1.（2021?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCO的兩條不等長對角線AC,8。相交于點0,且

將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個三角形.若。4:OC=Q5:8=1:2,則（）

A.甲、丙相似，乙、丁相似B.甲、丙相似，乙、丁不相似

C.甲、丙不相似，乙、丁相似D.甲、丙不相似，乙、丁不相似

【答案】B

【分析】根據(jù)已知及相似三角形判定定理，對四個三角形的關(guān)系進行分析，從而得到最后答案.

【詳解】在_。鉆和&OCD中，OA:OC=OB:OD,又ZAOB=NCOD,：./\OAB^>/\OCD,即甲丙相

似：無法證明AQ4DSOBC,即乙丁不相似.

故選:B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?河北承德?九年級期末）如圖，在“ABC中，。為A3上一點，^AC2=ADAB,貝U

()

A.ADC?CBDB.BDC?VBCAC.ADC?2ACBD.無法判斷

【答案】C

【分析】首先根據(jù)AC2=ADAB得出等=笠，然后根據(jù)Z4=Z4即可判定二ADC?△ACB,從而可得

ABAC

出答案.

【詳解】,AC2=ADAB,

.ACAD

"AB"AC'

,ZA=ZA,

二一ADC?/\ACB,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2020?廣西賀州?九年級階段練習(xí)）如圖，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,CDVAB,垂足為。，

A￡>=8,DB=2,則C8的長為（）

A.26B.4C.12D.16

【答案】A

【分析】先證明：MCDsMAC,再利用相似三角形的性質(zhì)可得：器隼,再計算即可得到答案.

ABBC

【詳解】解：NAC8=90。，CD1AB,

/.ZACB=NCDB=90。,

ZB=ZB,

1BCDS_BAC,

.BCBD

'~AB~~BCy

:.BC2=AB.BD=(AD+DB).BD,

AD=8,DB=2,

BC2=10x2=20,

BC=2小或BC=-245，

經(jīng)檢驗：BC=-2后不符合題意，舍去，

.-.BC=2亞.

故選：A

【點睛】本題考查的是三角形相似的判定與性質(zhì)，利用平方根的含義解方程，掌握相似三角形的判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型5判定定理3

如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這

兩個三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

例.（2020?安徽?九年級階段練習(xí)）如圖，已知與BZ犯都是等邊三角形，點。在邊AC上（不與點

A、C重合），DE與A8相交于點F,下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.八RFFS/\DAFB./XBCD^/XDAFC.^ADF^ABDD.Z^BDF^ABAD

【答案】C

【分析】結(jié)合題意，運用相似三角形的判定定理逐項分析即可

【詳解】??-ABC與A都是等邊三角形，

二ZA=ZE=60°,

又?:ZEFB=ZAFD,

，NFBE=/FDA,

ABEFs^DAF,A選項正確;

VZEBD=ZABC=60°,

/.ZEBD-ZFBD=ZABC-ZFBD,

ZDBC=ZFBE,

二ZDBC=ZFDA,

又;ZA=ZC=60°,

；.ABCDs^DAF,B選項正確；

對于c選項，條件不明確，無法證明一定相似，故錯誤;

VZDBF=ZABD,ZFDB=ZA=60°,

:.ABDFs八BAD,D選項正確.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

變式1.（2020?浙江?濱蘭實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABG”，四邊形3CFG,四邊形8E尸

都是正方形，圖中與ADFG相似的三角形為（)

C./XDEGD./XDEH

【答案】A

【分析】設(shè)正方形A8G4的邊長為1,先運用勾股定理分別求出FD、10G的長，將其三邊按照從大到小的

順序求出比值，再分別求出四個選項中每一個三角形三邊的比值，根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形

相似求解即可.

（詳解］解：設(shè)正方形ABGH的邊長為1,

.,.0F=^/i7717=^/2,OG=7?7F3

：.GF：DF,DG=l：&：#>,

A、DF=y/2-DH=M,HF=2,DF：HF：DH=GF：DF：DG,

則△。FGS/XHFZ）,符合題意;

B、HG=1,DG=y/5,DH=M,HG：DG-.DH^GF：DF：DG,

則^。尸6和4OG”不相似，不符合題意;

C、ADEG是直角三角形，△/）尸G是鈍角三角形，故不相似，不符合題意;

D、是直角三角形，△QfG是鈍角三角形，故不相似，不符合題意;

故選A.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，判定兩個三角形相似的一般方法有：（1）平行線法；（2）三邊

法；（3）兩邊及其夾角法；（4）兩角法；本題還可以利用方法（3）進行判定.

變式2.（2021?江蘇?九年級專題練習(xí)）在AABC中，點。、E分別為邊AB、AC的中點，則AAOE與

△ABC的周長之比為（）

A1cD

-2B-i-1-i

【答案】A

【分析】由點。、E分別為邊A8、AC的中點，可得出OE為AA8c的中位線，進而可得出。E〃8c及

△ACEs△ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出△ADE與△ABC的周長之比.

【詳解】如圖，

?點。，E分別為△ABC的邊43,AC上的中點，

：.AD=BD,AE-EC,

...OE是△ABC的中位線，

J.DE//BC,SLDE=^BC,

：./\ADE^/\ABC,

,:DE：BC=1：2,

與△A8C的周長比為1：2,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?浙江杭州?九年級階段練習(xí)）如圖，在正三角形ABC中，點。、E分別在AC、ABt,且

AHi

罷=；,AE=BE,則有（）

AC3

A.AAEDS/\BEDB.AAEDS/\CBD

C.xAEDsXABDD.ABADS/\BCD

【答案】B

【分析】本題可以采用排除法，即根據(jù)已知中正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB±,倏=巳

AE=BE,我們可以分別得到：ZAED、△BCD為銳角三角形，&BED、△48。為鈍角三角形，然后根據(jù)銳角

三角形不可能與鈍角三角形相似排除錯誤答案，得到正確答案.

【詳解】解：由己知中正三角形ABC中，D、E分別在AC、A8上，黑，AE=BE,

/iCJ

易判斷出：△AED為一個銳角三角形，ABE。為一個鈍角三角形，故A錯誤；

△ABQ也是一個鈍角三角形，故C也錯誤；

但ABC。為一個銳角三角形，故。也錯誤；

故選:B.

【點睛】此題考查相似三角形的判定，解題關(guān)鍵在于可以直接根據(jù)相似三角形的定義，大小不同，形狀相

同，排除錯誤答案，得到正確結(jié)論.

◎考點題型6相似三角形基本圖形一8字型

有一組隱含的等角（對頂角），此時需從已知條件或圖中隱含條件通過證明得另一對角相等

C

（AB、5不平行，N4=N0{AB//CD)

例.（2021?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，E為平行四邊形A8CO的邊C￡＞延長線上的一點，連接BE.交

AC于。，交AO于尸.

求證：BO'=OE.OF.

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)AO〃8C,AOF^^COB,由48〃DC,MAAOB^/XCOE,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)變

成比例即可.

【詳解】證明：:ABaOC,

.../XAOB^^COE

.OE_OC

'~OB~~OA

,JAD//BC,

：.AAOFsMOB

.OBPC

*OF-OA

.OEOB,

WanBO-=OE.OF.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定，找到兩組對應(yīng)邊的比

例相等是解決本題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?重慶?九年級期末）如圖40與CE交于B,且黑=笑.

BDBE

（1）求證：一ABCs.QBE.

（2）若AC=8,BC=6,CE=9,求DE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【分析】（D根據(jù)相似三角形的判定解答即可；

DFRF

（2）因為根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知會=會，代入數(shù)據(jù)解答即可.

ACoC

【詳解】證明：（1）NDBE=ZABC,—,

BDBE

?.一ABCs,QBE：

（2）ABCSJDBE,

.DEBE

??=，

ACBC

AC=8,BC=6,CE=9,

BE=CE—BC=3,

?DE3

??=—，

86

???DE=4.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在4ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上,

DE〃BC,點F在邊AB上，BC2=BF?BA,CF與DE相交于點G.

（1）求證：DF?AB=BC?DG；

（2）當(dāng)點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）由BC2=BF?BA,/ABC=NCBF可判斷ABACSABCF,再由DE〃BC可判斷

BCFs_DGF,所以_ZX/S_84C,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)作AH〃BC交CF的延長線于H,如圖，易得AH〃DE,由點E為AC的中點得AH=2EG,再利用

Al-Idp

AH〃DG可判定.A//Fs時，則根據(jù)相似涌形的性質(zhì)得寸==，然后利用等線段代換即嘰

DCJDr

【詳解】證明：(1)VBC2=BF-BA,

ABC：BF=BA：BC,

而NABC=NCBF,

工&BACS..BCF,

VDE//BC,

：?，BCFS^DGF,

：?QDGFs、BAC,

ADF：BC=DG：BA,

??.DF?AB=BC?DG；

(2)作AH〃BC交CF的延長線于H,如圖,

*/DE〃BC,

???AH〃DE,

???點E為AC的中點，

「.EG為..C4H的中位線，

AAH=2EG,

VAH/7DG,

A:...AHF^DGF,

.AHAF

'a~DG~~DFJ

.2EGAF

…DG一幣'

即2DF?EG=AF?DG.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相

似三角形；在運用相似三角形的性質(zhì)時，主要通過相似比得到線段之間的關(guān)系.

變式3.（2013.云南德宏?中考真題）如圖，是一個照相機成像的示意圖.

（1）如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點離景物有多遠？

（2）如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m,像高不變，則相機的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

【答案】（l）7m

（2）70mm

【分析】（1）利用相似三角形對應(yīng)邊上的高等于相似比即可列出比例式求解.

（2）和（1）一樣，利用物體的高和拍攝點距離物體的距離及像高表示求相機的焦距即可.

（1）

解：?..像高A/N是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度A8是4.9m,

..MN_CL

,萬一IB，

.3550

??=，

4.9LD

解得：LD=1.

.?.拍攝點距離景物7m.

⑵

解：；拍攝高度48是2m的景物，拍攝點離景物￡C=4m,像高MN不變，是35mm,

.35LC

??=>

24

解得：￡C=70.

，相機的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm.

MNCI

【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用,正確理解題意得到方=而是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型7相似三角形基本圖形一A字型

有一個公共角(圖①、圖②)或角有公共部分(圖③，NDAF+ZBAD=NDAF+NEAP),此時需要找另一對角

相等或相等角的兩邊對應(yīng)成比例

DE//BCDE、BC不平行旋轉(zhuǎn)型:由A字

型旋轉(zhuǎn)得到

圖①圖②圖③

例.(2021?遼寧丹東?九年級期中)如圖，△ABZ)中，ZA=90°,AB=6cm,AQ=12cm.某一時刻，動點

〃從點A出發(fā)沿A8方向以lcm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點。出發(fā)沿D4方向以2cm/s

的速度向點A勻速運動，運動的時間為fs.

(1)求，為何值時，△AMN的面積是△ABO面積的］；

(2)當(dāng)以點A,M,N為頂點的三角形與△A3。相似時，求f值.

【答案】(1)4=4,J2；(2)，=3或彳

【分析】(D由題意得。N=2f(cm),AN=(12-2r)cm,AM=fcm,根據(jù)三角形的面積公式列出方程可

求出答案；

(2)分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出,的值.

【詳解】解：(1)由題意得3N=2r(cm),AN—(12-2/)cm,AM=tcm,

△AMN的面積=gx(12-2t)xr=67-t2,

ZA—90°,AB=6cm,AD—12cm

/\ABD的面積為:；x6x12=36,

,2

*'/\AMN的面積是^ABD面積的g,

2

/.6t-t2——x36,

9

?"-6f+8=0,

解得勿=4,,2=2,

2

答：經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△A3。面積的§；

(2)由題意得ON=2f(cm),AN=(12-2，)cm,AM=tcm,

若^AMN^/\ABDt

則有些="即J22

ABAD612

解得1=3,

若^AMNs^ADB,

_AMAN?tl2-2t

則nil有——=—，即n一=-----,

ADAB126

24

解得r=y,

24

答：當(dāng)f=3或彳時，以4、M、N為頂點的三角形與△A3。相似.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，正確進行分類討論是

解題的關(guān)鍵.

變式1.(2021?江蘇?九年級)在ABC中，AB=m(m>0),。為AB上一點，過。作。E〃8c交AC于點

E,連接CO.設(shè)SAEC=S|，求2的取值范圍.

S1

【答案】0<^-<-

【分析】作AGLBCT尸點，交。E于G點，設(shè)4O=x,首先結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)推出D會E和

DC

其的值，然后結(jié)合面積公式進行列式，得出二次函數(shù)解析式，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取

AF

值范圍進行判斷即可.

【詳解】解：如圖所示，作AG,8c于F點，交OE于G點，設(shè)

VDE/7BC,

:,dADEs〉A(chǔ)BC,

.DEADAGAEx

^~BC~~AB~~AF~~AC~~iny

.GFm-x

?.---=-----,

AFm

./DE'GF￡>E：：G尸一X：：m_x

5.1ABCAFtntnm2

'ZjC?/Rlr

2

整理得：^=-A^+-=-4p-^y+i

S[m~mm~\2)4

???點。在A3上，帆>0,

?*.0<x<n?,--^7<0，

nr

.??拋物線率的開口向下，且當(dāng)X=：時，率取得最大值為!，

，2sl4

當(dāng)x=0和x=，〃時，均有1=0,

綜上分析，今的取值范圍是。<當(dāng)4.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)運用等，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)推出

相關(guān)線段的比例，以及熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵.

變式2.(2021?山東?嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí))

RJABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動

點。從點C出發(fā)，沿線段CB也向點8方向運動，如果點P的速度是4cm/s,點。的速度是2cm/s,它們

同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設(shè)運動時間為f秒.

(1)求運動時間為多少秒時，P、。兩點之間的距離為10cm?

(2)若二CPQ的面積為S,求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)「為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與_45C相似？

Q

A--------------------B

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20r-4r)cm2；(3)f=3或f=#

【分析】(1)根據(jù)題意得至llAP=4心m,C0=2fcm,AC=20cm,CP-(20-4/)cm,根據(jù)三角形的面積公式列

方程即可得答案：

(2)若運動的時間為fs,貝UCP=(204)cm,CQ=2fcm,利用三角形的面積計算公式，即可得出S=20h

4戶，再結(jié)合各線段長度非負，即可得出I的取值范圍；

(3)分①R2CPQsRtaCAB和②Rt^CPQsRf^CBA,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解:由運動知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

,.,4C=20cm,

/.CP-(20-4/)cm,

在放△CP。中，

CP2+CQ2=PQ2,

即(20-4"+(2。2=1()2：

f=3秒或f=5秒

(2)由題意得AP=4f,CQ=2t,則CP=20-4f,

因此Rt.CPQ的面積為5=^x(20-4z)x2/=(20r-4r)cm2；

(3)分兩種情況：

①當(dāng)以△CPQSR△CAB時，會=穿，即空/=§，解得工=3；

sto2015

②當(dāng)放△CPQsR"8A時，苗CP=詈CO，即20徐-4r"喘2r，解得”4予0

40

因此f=3或■時，以點C、尸、。為頂點的三角形與二ABC相似.

【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

變式3.(2021?上海市金山初級中學(xué)九年級期中)如圖，在△ABC中，點。在邊AB上，點E、點尸在邊

ApAP

AC上，且DE〃BC,=.

(1)求證：DF//BE；

(2)如且AF=2,EF=4,AB=6后.求證

【答案】（D見詳解；（2）見詳解

ADATAJ7AF）

【分析】（1）由題意易得黑=蕓，則有警=黑，進而問題可求證；

BDECFEBD

（2）由（1）及題意可知當(dāng)=空=!，然后可得AD=2G，進而可證絲=歿=立，最后問題可求

BDEF2ABAE3

證.

【詳解】解：（1）,:DE〃BC,

.ADAE

BD-EC，

..AFAE

?~FE~~EC'

.AFAD

^~FE~~BD'

：.DF//BE；

（2）VAF=2,EF=4,

二由（1）可知，絲=絲」，AE=6,

'：AB=6+,

：.AD=-AB=2j3,

3

?AE-6AD_2上

■'布一南一丁'瓦一丁一號’

上

?.?-A-E=-A-D-=---,

ABAE3

<?*ZA=ZAf

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型8相似三角形基本圖形一母子型

有一個公共角及一個直角（圖①為母子型的特殊形式4/=初?四仍成立，另切=四?曲

圖②

AHAC

例.（2022?江蘇南京?九年級期末）如圖，在RQABC中，NACB=90。，點。在A8上，且下

ACAF

(1)求證△ACOS/VIBC；

(2)若AO=3,30=2,求CD的長.

【答案】（1）見解析；（2）限

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個：.角形相似，即可.得出..ACQ?..A5C

（2）由々AC。?43c得NM）C=/4C3=90。，ZACD=ZB,推出/CDCBD,山相似三角形的性質(zhì)得

*=券，即可求出CD的長.

U（,xX-Z

【詳解】⑴?嘿奇,

ZA=ZA,

A^ACD^ABC；

(2)9：^ACD-ABC,

：.ZADC=ZACB=90。，ZACD=NB,

???ZCDB=180o-90°=90°=ZACD，

:.^ACD_CBD，

.CDBD口？

.即CD?=AO3Z)=3x2=6,

i\LJCU

???CD=y[6.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?廣東?江門市第二中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，AB是。0的直徑，點C在。0上，過點C的

直線與AB的延長線交于點P,NC0B=2/PCB.

（1）求證：CP是。。的切線；

（2）若M是弧AB的中點，CM交AB于點、N,若AB=6,求MGMN的值.

【答案】（1）見解析；（2）18

【分析】（1）已知C在圓上，故只需證明。C與PC垂直即可，根據(jù)圓周角定理，易得

ZPCB+ZOCB=90°,即OC_LCP即可；

（2）連接MA,MB,由圓周角定理可得NA8M=/8CM,進而可得故BM?=MN*MC,

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出8例，代入數(shù)據(jù)可得MN?MC=8M2=18.

【詳解】（1）證明：???04=0C,

...NCAO=/ACO.

又'：NC0B=2NCA0,NC0B=2/PCB,

：.ZCAO=ZACO=ZPCB.

又YAB是。。的直徑，

二ZACO+ZOCB=90°.

ZPCB+ZOCB=90°.

即OC_LCP,

,；0C是。。的半徑.

；.PC是。。的切線；

（2）解：連接MA,MB,

?.?點M是弧A8的中點，

??,

,ZACM^ZBCM.

,：ZACM^ZABM,

：.ZBCM^ZABM.

,:NBMN=NBMC,

：.AMBNsAMCB.

.BMMN

??近一麗’

:.BM2=MN?MC.

〈AB是。。的直徑，的二麻/,

AZAMB=90°fAM=BM.

：.ZABM=ZBAM=45°,

VAB=6,

BM=ABsin45°=6x=3^/2,

：.MN>MC=BM2=\S.

【點睛】本題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，等腰直角

三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問

題.

變式2.（2021.安徽合肥?九年級期中）ABC中，ZABC=9Q°,3O_LAC,點E為BO的中點，連接AE

并延長交8c于點F,且有AF=CF,過/點作F"_LAC于點從

(1)求證：ADEs.CDB；

(2)求證：AE=2EF；

(3)若FH=6,求8c的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4.

【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得N4OE=NCOB=90。，再根據(jù)等腰：.角形的性質(zhì)可得

NDAE=/DCB,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證;

AnDF1

（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得嘗=株=再根據(jù)等腰三角形的三線合?可得AW=CH,從而可

CDDD2

An

得令7=2,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證;

Dri

r）rAr

（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得由=而,從而可得OE,80的長,再根據(jù)相似三角形的判定

可得ABOBCD、然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出CO的長，最后在RJ8C0中，利用勾股定理即可

得.

【詳解】證明：（1）BDLAQFH

/ADE=NCDB=90。,BDFH,

,AF=CF,

:"AE=ZDCB,

4ADE=/CDB

在4ADE和△CD8中,

4DAE=4DCB

ADE..CDB；

（2）.?點E為BO的中點，

；.DE=BE=LBD,

2

由（1）已證：ADE..CDB,

ADDE1

..-——，

CDDB2

設(shè)AZ）=a（a>0）,則C￡）=2a,AC=AD+CD=3a,

FH±ACyAF=CF,

13

AH=CH=-AC=-a（等腰三角形的三線合一）,

：.DH=AH-AD=-a,

2

又,BDFH,

AEADac

--=---=--=2

，

EFDH一1CI