贛馬高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：函數(shù)模型及其應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精贛馬高級(jí)中學(xué)2010級(jí)高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案函數(shù)模型及其應(yīng)用(1)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型得出數(shù)學(xué)結(jié)果解決實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解解實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟；2．初步學(xué)會(huì)根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式的方法；3．滲透建模思想，初步具有建模的能力.【新課導(dǎo)學(xué)】1．?dāng)?shù)學(xué)模型就是把用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題，得出關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述．2。數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問(wèn)題加以建立相應(yīng)的的過(guò)程，是數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式后一般都要考察．【互動(dòng)探究】例1．寫出等腰三角形頂角（單位:度）與底角的函數(shù)關(guān)系．例2．某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為萬(wàn)元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為元,每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為元。分別寫出總成本（萬(wàn)元)、單位成本（萬(wàn)元)、銷售收入(萬(wàn)元）以及利潤(rùn)(萬(wàn)元）關(guān)于總產(chǎn)量(臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式.分析：銷售利潤(rùn)銷售收入成本，其中成本(固定成本可變成本）。例3．大氣溫度隨著離開(kāi)地面的高度增大而降低，到上空為止，大約每上升,氣溫降低，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒(méi)變（設(shè)地面溫度為）．【遷移應(yīng)用】追蹤訓(xùn)練一1．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品時(shí)的全部支出稱為生產(chǎn)成本，可表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知道一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為件時(shí)的成本函數(shù)是（元），若每售出一件這種商品的收入是元,那么生產(chǎn)并銷售這種商品的數(shù)量是件時(shí)，該企業(yè)所得的利潤(rùn)可達(dá)到多少？2．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量（微克)與時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線.（為線段，為某二次函數(shù)圖象的一部分，為原點(diǎn)）.（1）寫出服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí)，對(duì)治療有效，求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間.1．?dāng)?shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題，得出關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述．2.數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程,是數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式后一般都要考察定義域．【精典范例】例1．寫出等腰三角形頂角（單位：度）與底角的函數(shù)關(guān)系．【解】點(diǎn)評(píng):函數(shù)的定義域是函數(shù)關(guān)系的重要組成部分．實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域,不僅要使函數(shù)表達(dá)式有意義，而且要使實(shí)際問(wèn)題有意義．例2．某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為萬(wàn)元,生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為元,每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為元。分別寫出總成本（萬(wàn)元）、單位成本（萬(wàn)元）、銷售收入（萬(wàn)元)以及利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于總產(chǎn)量(臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式。分析:銷售利潤(rùn)銷售收入成本,其中成本（固定成本可變成本).【解】總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為。單位成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為。銷售收入與總產(chǎn)量的關(guān)系為。利潤(rùn)與總產(chǎn)量的關(guān)系為．例3．大氣溫度隨著離開(kāi)地面的高度增大而降低,到上空為止,大約每上升，氣溫降低，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒(méi)變（設(shè)地面溫度為）．【解】（1）由題意,當(dāng)時(shí),，∴當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，．綜上，所求函數(shù)關(guān)系為;（2）由(1）知，處的氣溫為,處的氣溫為．點(diǎn)評(píng):由于自變量在不同的范圍中函數(shù)的表達(dá)式不同，因此本例第1小題得到的是關(guān)于自變量的分段函數(shù);第2小題是已知自變量的值，求函數(shù)值的問(wèn)題．1．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品時(shí)的全部支出稱為生產(chǎn)成本，可表示為商品數(shù)量的函數(shù),現(xiàn)知道一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為件時(shí)的成本函數(shù)是（元）,若每售出一件這種商品的收入是元,那么生產(chǎn)并銷售這種商品的數(shù)量是件時(shí)，該企業(yè)所得的利潤(rùn)可達(dá)到.2．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè),服藥后每毫升血液中的含藥量(微克)與時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線。（為線段，為某二次函數(shù)圖象的一部分,為原點(diǎn)）。(1）寫出服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí),對(duì)治療有效，求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間。解：（1)由已知得(2）當(dāng)時(shí)，,得；當(dāng)時(shí),，得，∴∴，∴，因此服藥一次治療疾病有效的時(shí)間約為小時(shí)。一般地，家庭用電量（千瓦時(shí))與氣溫(℃)有一定的關(guān)系，如圖所示，圖(1）表示某年個(gè)月中每月的平均氣溫.圖(2)表示某家庭在這年個(gè)月中每個(gè)月的用電量。根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與其氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是（）A。氣溫最高時(shí)，用電量最多B。氣溫最低時(shí)，用電量最少C。當(dāng)氣溫大于某一值時(shí)，用電量隨氣溫增高而增加D。當(dāng)氣溫小于某一值時(shí)，用電量隨氣溫漸低而增加答案：C分析：該題考查對(duì)圖表的識(shí)別和理解能力?！窘狻拷?jīng)比較可發(fā)現(xiàn)，月份用電量最多，而月份氣溫明顯不是最高。因此項(xiàng)錯(cuò)誤。同理可判斷出項(xiàng)錯(cuò)誤.由、、三個(gè)月的氣溫和用電量可得出項(xiàng)正確.思維點(diǎn)拔:（1)審題：弄清題目意，分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系;（2）建模：將題目條件的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）結(jié)論：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義，并根據(jù)題意下結(jié)論．1.有一塊半徑為的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形的形狀，它的下底是⊙O的直徑，上底的端