電子工程數(shù)學(xué)方法-復(fù)變函數(shù)論第3章

電子工程數(shù)學(xué)方法任課教師：陳其科聯(lián)系方式：

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辦公電話：618303111函數(shù)有精確表示和近似表示。精確表示（解析表示）：表示為初等函數(shù)通過四則運(yùn)算近似表示：通過逼近，近似表示為初等函數(shù)通過四則運(yùn)算級(jí)數(shù)表示：近似表示的一種，表示為一個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)第三章冪級(jí)數(shù)展開2第三章冪級(jí)數(shù)展開3.2冪級(jí)數(shù)3.3泰勒級(jí)數(shù)展開3.5洛朗級(jí)數(shù)展開§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§3.6孤立奇點(diǎn)的分類3復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)之和若：則稱級(jí)數(shù)收斂于F，此時(shí)實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)的兩個(gè)級(jí)數(shù)也是收斂的?！?.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與柯西判據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)性質(zhì)可移用于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂的定義4§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與柯西判據(jù)2、柯西收斂判據(jù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：對(duì)于任意小的正數(shù)，必存在N

使得n>N

時(shí)有式中p

為任意正整數(shù)?！挛魇諗颗袚?jù)5§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與柯西判據(jù)3、絕對(duì)收斂若復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。1）絕對(duì)收斂的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必然收斂。注：2）兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的和或積仍絕對(duì)收斂。6復(fù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是復(fù)數(shù)的函數(shù)，即為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（二）復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)由柯西判據(jù)，知復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域B中收斂的充要條件：對(duì)于任意小的正數(shù)，必存在N(z)

使得n>N(z)

時(shí)有式中p

為任意正整數(shù)。若N與z無關(guān)，則稱該復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂。注：7§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（二）復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相關(guān)性質(zhì)：

1、若復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域B（或路徑l)上一致收斂，且每一項(xiàng)都在區(qū)域B(或路徑l）上連續(xù)，則級(jí)數(shù)和也是區(qū)域B(路徑l）內(nèi)連續(xù)函數(shù)。

2、在區(qū)域B內(nèi)，若復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的模

而常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱在區(qū)域B上絕對(duì)且一致收斂。8§3.2冪級(jí)數(shù)（一）冪級(jí)數(shù)定義

冪級(jí)數(shù)是指各項(xiàng)都是冪函數(shù)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。稱為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)。其中，各系數(shù)項(xiàng)均為復(fù)常數(shù)。9§3.2冪級(jí)數(shù)（二）冪級(jí)數(shù)的收斂性判別——達(dá)朗貝爾判別法1、達(dá)朗貝爾收斂判據(jù)（比值判別法）由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判定法可知，若模級(jí)數(shù)考察冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模組成的級(jí)數(shù)則模級(jí)數(shù)收斂。由絕對(duì)收斂定義，知冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。10§3.2冪級(jí)數(shù)2、收斂圓由前可知，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件為：引入，則冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件變?yōu)椋菏諗繄A：以z0圓心，半徑為R的圓。R稱為收斂半徑。冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂，而在圓上和圓外可能發(fā)散。圓外仍可能有區(qū)域是收斂的。（二）冪級(jí)數(shù)的達(dá)朗貝爾收斂性判據(jù)11若，則冪級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則模級(jí)數(shù)收斂，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；§3.2冪級(jí)數(shù)3、根值判別法：（三）冪級(jí)數(shù)的收斂性判別——根值判別法由此可得收斂半徑的另外一種定義：12例：求冪級(jí)數(shù)的收斂圓（t為復(fù)變量）。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以t=0為圓心，半徑為1的圓。§3.2冪級(jí)數(shù)13例：求冪級(jí)數(shù)的收斂圓。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以z=0為圓心，半徑為1的圓。§3.2冪級(jí)數(shù)另解：則收斂半徑:14例：求冪級(jí)數(shù)的收斂圓。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以z=0為圓心，半徑為2的圓?！?.2冪級(jí)數(shù)15§3.2冪級(jí)數(shù)（四）冪級(jí)數(shù)的積分表示將上式沿收斂圓取路徑積分，并利用柯西公式，可得：在收斂圓內(nèi)，冪級(jí)數(shù)的和可表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分——在收斂圓內(nèi)冪級(jí)數(shù)和為解析函數(shù)。16§3.3泰勒級(jí)數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)都存在的實(shí)變函數(shù)可以展開為泰勒級(jí)數(shù)。問題：解析函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)都存在，是否可將解析函數(shù)展開為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)呢？可以！17§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)展開定理：設(shè)在以為圓心的圓內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意點(diǎn)，可展開為其中即：泰勒級(jí)數(shù)18§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開證明：設(shè)在收斂圓內(nèi)解析，則由柯西積分公式而由于ζ為積分路徑上點(diǎn)，而z為積分路徑內(nèi)點(diǎn)，故有等比數(shù)列19§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開證明(續(xù))：20§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開例（重要）：在z0=0的鄰域上將展開為泰勒級(jí)數(shù)。解：（展開時(shí)能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)）21§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開例（重要）：在z0=0的鄰域上將展開。解：22bB§3.4解析延拓（一）解析延拓概念考察如下兩個(gè)函數(shù)在區(qū)域等同對(duì)于某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z)，如果能找到另一個(gè)函數(shù)F(z)，它在含有區(qū)域b的一個(gè)較大的區(qū)域B上解析，且在區(qū)域b上等同于f(z)

，則這個(gè)過程就叫解析延拓。解析延拓：解析延拓就是解析函數(shù)定義域擴(kuò)大后的結(jié)果。23§3.4解析延拓（二）解析延拓唯一性可以證明：函數(shù)F1(z)和F2(z)在區(qū)域B上解析，若在B的某子區(qū)域b上有

F1(z)≡F2(z)，則在整個(gè)區(qū)域B上必有

F1(z)≡F2(z)

。同一解析函數(shù)的解析延拓是唯一的。24§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開（一）雙邊冪級(jí)數(shù)當(dāng)所研究的圓域上存在函數(shù)的奇點(diǎn)時(shí)，就不再能將函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)，而需考慮在除去奇點(diǎn)的環(huán)域上的展開

洛朗級(jí)數(shù)展開?？疾祀p邊冪級(jí)數(shù)：收斂半徑為R1，在圓

z-z0=R1內(nèi)收斂令收斂半徑記為1/R2，即在圓

z-z0=R2外收斂。25§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開若R2<R1，則雙邊冪級(jí)數(shù)在環(huán)域R2<

z-z0<R1內(nèi)絕對(duì)且一致收斂，其和為一解析函數(shù)，級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)。環(huán)域R2<

z-z0<R1稱為該雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂環(huán)。（一）雙邊冪級(jí)數(shù)（續(xù)）26§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開（二）洛朗級(jí)數(shù)洛朗展開定理：

設(shè)f(z)在環(huán)域R2<|z-z0|<R1的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可展為冪級(jí)數(shù)

其中積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。z0R1CR1R2C'R2C

R1CR2C洛朗級(jí)數(shù)展開27證明：為避免討論圓周上函數(shù)的解析性和級(jí)數(shù)的收斂問題，將外圓稍微縮小為C

R1、內(nèi)圓稍微擴(kuò)大為C

R2，利用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式：§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開z0R1CR1R2C'R2C

R1CR2C28§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開注：因?yàn)椴粷M足柯西公式條件。29例：在以z=0為中心的0<|z|<+

的圓環(huán)域內(nèi)把展開。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開解:（直接法）30例：在以z=0為中心的0<|z|<+

的圓環(huán)域內(nèi)把展開。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開解:（間接法）31例：在z=1的鄰域上將函數(shù)展開為洛朗級(jí)數(shù)。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開解:先將函數(shù)分解為奇點(diǎn)分別為z=1和z=-1，因此在環(huán)域內(nèi)解析，故有32例：在

環(huán)域上將函數(shù)展開為洛朗級(jí)數(shù)。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開解:先將函數(shù)分解為33例：在

環(huán)域上將函數(shù)展開為洛朗級(jí)數(shù)。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開解:34例：以z=0為中心將函數(shù)展開為洛朗級(jí)數(shù)。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開解:先將函數(shù)分解為奇點(diǎn)分別為z=1和z=2，因此在z=0的鄰域上可在三個(gè)環(huán)狀區(qū)域內(nèi)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開。35§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開36§3.6孤立奇點(diǎn)的分類（一）孤立奇點(diǎn)與非孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在某z0點(diǎn)處不可導(dǎo)，而在其任意小鄰域內(nèi)除z0外處處可導(dǎo)，則稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。非孤立奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在某z0點(diǎn)處不可導(dǎo)，且在的任意小鄰域內(nèi)還可找到除z0外的不可導(dǎo)點(diǎn)，則稱z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/[sin(1/z)]在z0=0點(diǎn)的情況奇點(diǎn)：若函數(shù)在某z0點(diǎn)處不解析，則稱該點(diǎn)為f(z)

的奇點(diǎn)。37§3.6孤立奇點(diǎn)的分類（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)

洛朗級(jí)數(shù)的正冪項(xiàng)(含常數(shù)項(xiàng))部分被稱作解析部分(或正則部分)；負(fù)冪項(xiàng)部分被稱為主要部分(或無限部分)。a-1具有特別重要的地位，特稱其為函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0的留數(shù)。38§3.6孤立奇點(diǎn)的分類（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)例:z0=0為

sinz/z可去奇點(diǎn)

1、可去奇點(diǎn)若函數(shù)f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級(jí)數(shù)中不含有(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)。可去奇點(diǎn)的主要特征（1）f(z)在奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中無主要部分；（2）即f(z)在z0點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有界。39§3.6孤立奇點(diǎn)的分類（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)

2、極點(diǎn)若函數(shù)f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級(jí)數(shù)中含有有限個(gè)(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的極點(diǎn)。其中a-m0，m為有限數(shù)，則稱z0為f(z)的m階極點(diǎn)。特殊地，一階極點(diǎn)稱為單極點(diǎn)。極點(diǎn)的主要特征：1.f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的主要部分為有限多項(xiàng)；2.。例:f(z)=(z-2)/[(z2+1)(z-1)3],討論z=1,z=i40§3.6孤立奇點(diǎn)的分類（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)

3、本性奇點(diǎn)若函數(shù)f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級(jí)數(shù)中含有無限多(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的本性奇點(diǎn)。對(duì)于本性奇點(diǎn)z0，當(dāng)z

z0時(shí)，f(z)的值并不固定，而是與z趨于z0的方式有關(guān)。本性奇點(diǎn)的特征1.f(