2019秋季西南大學(xué)0772《中學(xué)代數(shù)》參

西南大學(xué)

網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院課程代碼：

0772

學(xué)年學(xué)季：20192單項選擇題1、有理數(shù)集可以與自然數(shù)集建立一一對應(yīng)的關(guān)系，這說明有理數(shù)集具有（

）

稠密性

可數(shù)性

完備性2、高中代數(shù)課程的基本主線是（

）

方程

不等式

函數(shù)

數(shù)列3、下列哪一個數(shù)，用尺規(guī)是可以做出的（

）

根號2

圓周率

歐拉數(shù)e4、對有理數(shù)運算中的“負負得正”，可以用（

）給予解釋

復(fù)數(shù)坐標表達式的乘法運算

復(fù)數(shù)向量表達式的乘法運算

復(fù)數(shù)三角函數(shù)表達式的乘法運算

5、冪數(shù)列屬于（

）

E.等比數(shù)列

高階等差數(shù)列

等差數(shù)列6、下列說法，哪一個是正確的（

）

函數(shù)的“變量說”定義比較抽象

函數(shù)的“關(guān)系說”定義比較形式

函數(shù)的“對應(yīng)說”定義比較直觀7、

用復(fù)數(shù)的棣莫弗公式，可以推導(dǎo)

三角函數(shù)的n倍角公式

一元二次方程的求根公式

點到直線的距離公式8、

不定方程求解的算理依據(jù)是：

B.孫子定理

輾轉(zhuǎn)相除法

單因子構(gòu)件法

拉格朗日插值法9、

下列說法，哪一個是錯誤的：

戴德金分割中對有理數(shù)集的分割滿足“不空”、“不漏”、“不亂”三個條件；

戴德金分割和有理數(shù)區(qū)間套定義是等價的；

戴德金分割的下集存在最大數(shù)時，上集存在最小數(shù)。

10、

高中代數(shù)課程的基本主線是：

函數(shù)

數(shù)列

方程11、

在中學(xué)代數(shù)教學(xué)中，應(yīng)提倡的一個基本原則是：在注意形式化的同時，加強代數(shù)知識的-----------------.

形式推導(dǎo)

直觀理解

恒等變換12、

點到直線的距離公式，可以用--------推出：

柯西不等式

排序不等式

均值不等式13、

有理數(shù)集可以與自然數(shù)集建立一一對應(yīng)的關(guān)系，這說明有理數(shù)集具有：

連續(xù)性

完備性

稠密性

可數(shù)性

14、

加權(quán)平均不等式和下列哪種不等式有內(nèi)在聯(lián)系：

均值不等式

排序不等式

柯西不等式15、

代數(shù)學(xué)是研究數(shù)學(xué)對象的運算的理論和方法的一門學(xué)科，根據(jù)數(shù)學(xué)對象的不同表現(xiàn)代數(shù)學(xué)可分為：

方程和函數(shù)；

古典代數(shù)和近代代數(shù)；

數(shù)列和算法

抽象代數(shù)和近世代16、

下列說法，哪個是正確的；

復(fù)數(shù)集是一個有序域；

復(fù)數(shù)可以比較大?。?/p>

復(fù)數(shù)可以排序；

17、

下列哪個說法是錯誤的:

用尺規(guī)作圖可以三等分角

用尺規(guī)作圖可以二等分角

用尺規(guī)作圖可以畫直線外一點到該直線的垂直線

用尺規(guī)作圖可以畫出根號5的數(shù)18、

任意兩個有理數(shù)之間，均存在一個有理數(shù)，這說明有理數(shù)具有：

完備性

稠密性

可數(shù)性；

連續(xù)性；19、

高中教材“函數(shù)”的定義采用的是：

函數(shù)“對應(yīng)說”；

函數(shù)“變量說”；

函數(shù)“關(guān)系說”20、“等價關(guān)系”和“順序關(guān)系”的區(qū)別在于，后者不具有（

）

反身性

對稱性

傳遞性21、

復(fù)數(shù)集按照“字典排序”關(guān)系，是一個

復(fù)數(shù)域

全序集

有序域22、

兩個集合A和B的笛卡爾積的子集，被稱為

結(jié)構(gòu)

序偶

關(guān)系

對偶23、下列說法，哪個是正確的（

）

A.復(fù)數(shù)可以排序

復(fù)數(shù)集是一個有序域

復(fù)數(shù)可以比較大小24、下列那個定理所體現(xiàn)出來的方法是單因子構(gòu)件法（

）

韋達定理

代數(shù)基本定理

正弦定理

孫子定理

25、

一個收斂的有理數(shù)列，其極限可以不是有理數(shù)，這說明有理數(shù)不具有：

連續(xù)性

稠密性

可數(shù)性判斷題26、有理數(shù)對極限運算是封閉的。A.√B.×

27、不定方程求解的算理依據(jù)是輾轉(zhuǎn)相除法。A.√

B.×28、函數(shù)的“關(guān)系說”定義比“對應(yīng)說”定義更形式化。A.√

B.×29、我們可以把復(fù)數(shù)看成是滿足相應(yīng)運算法則的二元實數(shù)(a,b)。A.√

B.×30、中學(xué)代數(shù)應(yīng)當“以方程為綱”。A.√B.×

31、一元5次及其以上次代數(shù)方程有根式解。A.√B.×

32、“三等分角”是可解的。A.√B.×

33、在不等式教學(xué)中，應(yīng)當強調(diào)不等式的幾何意義和背景。A.√

B.×34、1、

形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一。A.√

B.×35、自然數(shù)的基數(shù)理論反映了事物記數(shù)的順序性。A.√B.×

36、冪數(shù)列不是高階等差數(shù)列。A.√B.×

37、1、

在數(shù)學(xué)運算中，善于進行恒等變形是一項基本數(shù)學(xué)能力。A.√

B.×38、對于有限數(shù)列來說，并不一定存在一個多項式函數(shù)，來表示它的通項。A.√B.×

39、

在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大數(shù)，上集中有最小數(shù)。A.√B.×

40、

均值不等式和加權(quán)平均不等式是兩個不同的不等式，二者并沒有什么關(guān)系。A.√B.×

41、自然數(shù)的序數(shù)理論回答了一個集合含“多少個元”的問題。A.√B.×

42、

代數(shù)學(xué)一般有古典代數(shù)與近代代數(shù)之分。A.√

B.×43、

有理數(shù)集和自然數(shù)集具有相同的“勢”。A.√

B.×44、0.999……=1A.√

B.×45、

戴德金分割中對有理數(shù)集的分割滿足“不空”、“不漏”、“不亂”三個條件。A.√

B.×46、“中學(xué)代數(shù)教學(xué)”的一個基本原則是：在注意形式化的同時，加強代數(shù)知識的直觀理解。

A.√

B.×47、

代數(shù)基本定理所表現(xiàn)出的思想方法原則是“單因子構(gòu)件法。A.√B.×

48、

對于數(shù)軸上的有理數(shù)，我們有兩個相鄰的有理數(shù)的說法。A.√B.×

49、

冪數(shù)列不是高階等差數(shù)列。A.√B.×

50、

數(shù)學(xué)歸納法具有兩個缺一不可的性質(zhì)：即歸納性、演繹性。A.√

B.×51、我國傳統(tǒng)的“中學(xué)代數(shù)”體系，主要內(nèi)容有：數(shù)和數(shù)系；方程；函數(shù)；不等式；排列組合。A.√B.×

52、群是古典代數(shù)研究的對象。A.√B.×

53、有理數(shù)對極限運算是封閉的。A.√B.×

54、0與空集的基數(shù)相對應(yīng)，所以從集合論的角度看，0應(yīng)當是自然數(shù)。A.√

B.×55、用尺規(guī)不能把900和1800

那樣的角進行三等分。A.√B.×

56、1、

每一個重大的數(shù)學(xué)進展都和數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)造性運用是分不開的。A.√

B.×57、“孫子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。A.√

B.×58、自然數(shù)系公理系統(tǒng)直接地保證了數(shù)學(xué)歸納法的合理性，所以，也可以把數(shù)學(xué)歸納法當作公理來看待。A.√

B.×59、實數(shù)集是可數(shù)的無窮集合。A.√B.×

60、對于任一有限項的數(shù)列，都可以給出通項表達式。A.√

B.×主觀題61、\o"在三角形ABC中排序不等式證明.docx"在三角形ABC中排序不等式證明.docx

參考答案：

在三角形ABC中，a,b,c為角A,B,C所對的邊，求證：證：不妨設(shè)a≤b≤c，則aA+bB+cC≥bA+cB+aC,aA+bB+cC≥cA+aB+bC,又

aA+bB+cC=aA+bB+cC,三式相加得，3aA+bB+cC即62、試證歐拉數(shù)e不是一個有理數(shù)參考答案：

證明歐拉數(shù)e不是有理數(shù)。證明（反證法）：假設(shè)e=當n>m,=S<S<S=S即，Sm<S在上式兩段乘以m!,得但是，m!sm是一個整數(shù)，因此整數(shù)63、

證明自然數(shù)的加法滿足交換律，即對于任意自然數(shù)a和b,有a+b=b+a.參考答案：

答案要點：我們要證交換律a+b=b+a.可以分以下兩步證明。①

.我們先證明等式a+1=1+a,因此對a用歸納法。

設(shè)M是使等式成立的所有a的集合，顯然，1∈M，

如果a

∈M,那么a+1=1+a,于是

aˊ+1=(a+1)+1

=(1+a)+1

=(1+a)ˊ=1+aˊ,所以aˊ∈M,由歸納公理，

a+1=1+a

②

.我們對b用歸納法，證明a+b=b+a,

設(shè)M是對于給定a使得等式成立的所有b的集合，由①已證知，1

∈M，

如果b

∈M,那么a+b=b+a,利用已證過的結(jié)合律，得到

a+bˊ

=(a+b)ˊ

=(b+a)ˊ

=b+aˊ

=b+(a+1)

=b+(1+a)

=(b+1)+a

=bˊ+a.

所以bˊ∈M,由歸納公理，故加法的交換律被證明。64、

為什么有理數(shù)一定可以寫成循環(huán)小數(shù)的形式，反之，任何一個循環(huán)小數(shù)也可寫成有理數(shù)的形式？參考答案：

參考答案：有理數(shù)與循環(huán)小數(shù)的關(guān)系如果有理數(shù)p/q不是有限十進位小數(shù)，那么通過不斷地作除法能表示為一個無限的十進位小數(shù)。在這一過程中，每次必然有一個非零的余數(shù)，否則這十進位小數(shù)是有限的。在除的過程中出現(xiàn)的所有不同余數(shù)將是1和q-1之間的整數(shù)，所以最多只能有q-1個不同的余數(shù)值，這意味著，最多除q次，某個余數(shù)k將第二次出現(xiàn)。但由此隨后而來的所有余數(shù)，將按照余數(shù)k第一次出現(xiàn)后它們出現(xiàn)的同樣次序重復(fù)。這說明任何有理數(shù)的十進位小數(shù)表示式是循環(huán)的；開始出現(xiàn)有限個數(shù)碼，隨后同樣的一個數(shù)碼或一組數(shù)碼將無限次地出現(xiàn)。例如，1/6=0.16666666…；1/7=0.142857142857…；1/11=0.09090909…等等。那些能表示為有限小數(shù)的有理數(shù)，也可以認為是一個循環(huán)小數(shù)，它在有限個數(shù)碼之后，只是無限次地重復(fù)著數(shù)0。反之，所有循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。例如，取無限循環(huán)小數(shù)P=0.3322222…，我們有p=331001+因此p=對一般情形的證明在實質(zhì)上是一樣的。所以，我們說，任何有理數(shù)的十進位小數(shù)表示式都是循環(huán)的；反之，所有循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。65、

試述“中學(xué)代數(shù)研究”的研究方法？

參考答案：

長期以來，對中學(xué)代數(shù)的研究存在一種單一的“嚴格化”傾向，即對中學(xué)代數(shù)知識用成熟的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)，邏輯地建立起來，中學(xué)代數(shù)研究的一個主要目的就是將中學(xué)里“不嚴格的內(nèi)容”加以嚴格化。我們并不反對要將中學(xué)代數(shù)知識嚴格化、系統(tǒng)化，畢竟這有助于對數(shù)學(xué)知識有更深入地認識和了解，但是單純地為嚴格化而嚴格化，就失去了中學(xué)代數(shù)研究的重要目的。正如F.克萊因指出的，我們當然要用較高的觀點處理初等數(shù)學(xué)知識，只有觀點越高，事物越顯得簡單；另外，還要為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，數(shù)學(xué)知識的講授應(yīng)當顧及到學(xué)生的心理，不應(yīng)只講究系統(tǒng)。為此，我們認為中學(xué)代數(shù)研究的基本方法應(yīng)從如下三方面入手：(一).從較高的數(shù)學(xué)觀點來研究中學(xué)代數(shù)知識，加深對相關(guān)內(nèi)容的本質(zhì)理解；例：為什么復(fù)數(shù)不能比較大小在中學(xué)里，我們知道兩復(fù)數(shù)相等時當且僅當它們的實部等于實部，虛部等于虛部。如果問：兩復(fù)數(shù)不等時，它們有沒有大小關(guān)系？其實，復(fù)數(shù)之間能建立一種順序關(guān)系，即前后關(guān)系，但不能建立大小關(guān)系。我們可以將平面上的點“排隊”，即按照字典方法將復(fù)數(shù)排隊，兩個復(fù)數(shù)，先比較實部，實部較小的復(fù)數(shù)排在前面，如果實部相等，再比較虛部，以虛部小的復(fù)數(shù)排在前面。通過這種方式能將復(fù)平面上的點進行排序，由此可知復(fù)平面上的點是可以有順序的。那么為什么復(fù)數(shù)不能比較大小呢？要弄清這個問題，必須要弄清什么是大小關(guān)系？什么是有序域？在以后的學(xué)習(xí)中，我們會知道大小關(guān)系必須滿足兩種性質(zhì)，即加法保序性和乘法保序性，復(fù)數(shù)集是不能同時滿足這兩種性質(zhì)的，從而復(fù)數(shù)不能比較大小。在中學(xué)代數(shù)中，類似以上的例子還有很多，我們只有通過從較高的數(shù)學(xué)觀點出發(fā)，才能清楚地理解或回答類似的問題。(二).用有機聯(lián)系的觀點來研究，豐富對中學(xué)代數(shù)知識的理解；數(shù)學(xué)各知識間具有有機聯(lián)系性，這不僅表現(xiàn)在“高等數(shù)學(xué)”與“初等數(shù)學(xué)”之間，而且在數(shù)學(xué)知識的各分支中，尤其是“數(shù)”與“形”的聯(lián)系。在以后有關(guān)不等式的學(xué)習(xí)中，我們會突出這一點，即抽象的代數(shù)形式一般具有直觀的幾何圖形給予說明和解釋。

我們從幾何的角度去處理代數(shù)知識或反過來，當把這種方法用于教學(xué)中時，學(xué)生就不會感到代數(shù)只是一些抽象而枯燥的符號、公式、命題。這體現(xiàn)了“中學(xué)代數(shù)教學(xué)”的一個基本原則：形式化與直觀理解相結(jié)合。(三).適當注意對解題的研究，強化對中學(xué)代數(shù)知識理解的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)離不開解題，因此中學(xué)代數(shù)研究還要注意對解題方法的研究。當然，我們不主張“題海戰(zhàn)術(shù)”，只是適當注意對數(shù)學(xué)解題方法的研究而已。66、

試述函數(shù)概念的歷史發(fā)展，以及說明高中以函數(shù)為課程主線的具體體現(xiàn)及要求，并簡要闡述函數(shù)概念引入的教學(xué)策略。參考答案：

答：函數(shù)概念的歷史發(fā)展先后經(jīng)歷了函數(shù)的“變量說”、“對應(yīng)說”、“關(guān)系說”等逐步精確化、形式化的過程；高中以函數(shù)為課程主線的具體體現(xiàn)和要求表現(xiàn)在以下幾個方面：（1）在函數(shù)一般定義的基礎(chǔ)上結(jié)合具體的函數(shù)模型，加深對函數(shù)的認識；（2）在研究函數(shù)的變化特征中刻畫函數(shù)的幾種性質(zhì)，豐富對函數(shù)的理解；（3）將函數(shù)與其他內(nèi)容相聯(lián)系，突出函數(shù)思想的應(yīng)用

。在進行高中函數(shù)概念的教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，可采用以下的教學(xué)策略：（1）在函數(shù)概念建構(gòu)之前，通過引發(fā)學(xué)生的認知沖突，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的“順應(yīng)”；（2）在建構(gòu)函數(shù)概念時，需要選擇適宜的數(shù)學(xué)原型，利用數(shù)學(xué)原型歸納概括概念；（3）在剖析函數(shù)概念時，將需要關(guān)注的問題和關(guān)鍵點融入到具體的問題中，請學(xué)生思考；（4）在鞏固函數(shù)概念時，提供類型豐富的題目（如表格對應(yīng)、圖形表示對應(yīng)以及其它集合對應(yīng)等），根據(jù)學(xué)生程度，設(shè)計有梯度的練習(xí)。67、

什么是數(shù)學(xué)表達能力？請在算法的教學(xué)中舉一例說明如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力？參考答案：

參考答案：所謂數(shù)學(xué)表達能力，是指將自己解決數(shù)學(xué)問題的觀點、思想、方法、過程等，用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言（包括自然語言、數(shù)學(xué)圖形語言、數(shù)學(xué)符號語言等）準確流暢地表達出來的能力。數(shù)學(xué)語言根據(jù)其表達形式的不同，可分為自然語言、圖形語言和符號語言。這三種形式的數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，扮演著各自不同的作用。自然語言易表達，圖形語言直觀形象，而符號語言抽象、嚴謹、準確。讓學(xué)生掌握好這三種語言各自的特點，使培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)表達能力的基本條件。根據(jù)這三種語言的各自特點，使學(xué)生由易而難，依次掌握不同的數(shù)學(xué)語言是培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達能力的基本途