拋物線講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

10拋物線【知識(shí)梳理】一、拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（其中定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離圖形范圍，，，，對(duì)稱(chēng)軸軸軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程焦半徑（其中）頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑長(zhǎng)三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法在學(xué)習(xí)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，如何利用已知的拋物線方程研究其性質(zhì)，以及已知某些性質(zhì)求拋物線的方程是考查的重點(diǎn).主要方法有定義法、待定系數(shù)法等.（1）定義法根據(jù)拋物線的定義，確定的值(系數(shù)是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程.（拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇.）（2）待定系數(shù)法①對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，若開(kāi)口方向不確定需分為和兩種情況求解.②焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可設(shè)成，若m>0，開(kāi)口向右；若m<0，開(kāi)口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的方程可以設(shè)成.如果不確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，應(yīng)考慮x軸、y軸兩種情況分別設(shè)方程,四、直線與拋物線的位置關(guān)系1.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立組成方程組，消去一個(gè)未知數(shù).直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)直線與拋物線相離；直線與拋物線有1個(gè)交點(diǎn)直線與拋物線相切；直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)直線與拋物線相交.直線與拋物線交于兩點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)2.拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)①焦點(diǎn)弦：當(dāng)直線通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)所得弦稱(chēng)為焦點(diǎn)弦.②通徑：當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直時(shí)所得的弦稱(chēng)為通徑，其長(zhǎng)度為.③；④⑤⑥以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.【題型精講】題型一、拋物線的定義與方程例1.若點(diǎn)到點(diǎn)F（4,0）的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A.B.C.D.例2.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則（）A.2B.C.4D.例3.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.題型二、拋物線的焦半徑公式例4.已知拋物線的焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)度為m，n的兩段，求證：.例5.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，若，則題型三、拋物線的焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)三角形例6.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則，例7.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，且，則（）.A.8B.2C.6D.4例8.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn)（A在第一象限），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則（）.A.B.C.D.例9.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn)（A在第一象限），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）.A.B.C.D.例10．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，且經(jīng)過(guò)．(1)求的方程；(2)若直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，，求的方程．題型四、直線與拋物線綜合問(wèn)題例11點(diǎn)P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則以P為圓心，以線段PF的長(zhǎng)為半徑的圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相切B.相交C.相離D.隨點(diǎn)P的位置變化而變化例12.已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，記直