2022年中考數(shù)學(xué)：相交線與平行線（一）

2022年中考數(shù)學(xué)專題：相交線與平行線（一）

1.某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）

如圖，已知直

線%，，3，%*若41=42,

則Z3=Z4.

請完成下面的說理過程.

解：已知Nl=Z2,

根據(jù)（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），得Z1///2.

再根據(jù)（:※），得23=/4.

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

2.如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)尸在AC上，其中乙4cB=90。，

AABC=60°,乙EFD=90°,ADEF=45°,AB//DE,則AAFD的度數(shù)是

（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置,

如果ZCDE=40°,那么ABAF的大小為（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

4.如圖，直線DE//BF,RPABC的頂點(diǎn)B在BF上，若NCBF=20。，則

A.70°B.60°C.75°D.80°

5.兩個直角三角板如圖擺放，其中N84C=NEDF=90。，ZE=45°,4c=30。，

AB與DF交于點(diǎn)M.若BC//EF,則4BMD的大小為（）

6.小星在〃趣味數(shù)學(xué)〃社團(tuán)活動中探究了直線交點(diǎn)個數(shù)的問題.現(xiàn)有7條不同的

直線y=knx+bn（n=1,2,3,4,5,6,7）,其中自=心，b3=b4=b5,

則他探究這7條直線的交點(diǎn)個數(shù)最多是（）

A.17個B.18個C.19個D.21個

7.如圖，AB//CD//EF,若4ABe=130。，NBCE=55。，貝“EF的度數(shù)為

（）

8.如圖，a"b,ACA.b,垂足為C,〃=40。，則zl等于（)

A

Bb

A.40°B.45°C.50°D.60°

若a〃b,Z1=55。，貝42=(

C.50°D.45°

CB平分乙DCE,則^ABC的度數(shù)

C.30°D.40°

11.已知ZMBC的三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，41BC的平分線與線段AC

交于點(diǎn)D.若2MBe的一條邊長為6,則點(diǎn)。到直線4B的距離為一.

12.如圖，在AABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，=40。，ZC=60°,

若DE//AB,則Z.AED=°.

13.如圖，已知AB//CD,BC是乙48。的平分線，若42=64。，則43=

14.如圖，正方形ABCD中，AB=1,連接AC,乙4CD的平分線交AC于點(diǎn)E,

在4B上截取AF=DE,連接DF,分別交CE,C4于點(diǎn)G,H,點(diǎn)P是線

段GC上的動點(diǎn)，PQ14c于點(diǎn)Q,連接PH.下列結(jié)論：①CE1DF；②。E+

DC=AC；③EA=V3AH;④PH+PQ的最小值是爭其中正確結(jié)論的序號

是

15.如圖，AB//CD,乙B=LD,直線EF與AD,BC的延長線分別交于點(diǎn)E,

16.如圖，點(diǎn)4、B、D、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,

BC//EF.求證：AABC三ADEF.

c

17.如圖，BE是AABC的角平分線，在AB上取點(diǎn)。，使DB=DE.

(1)求證：DE//BC；

(2)若乙4=65。，/.AED=45°,求乙EBC的度數(shù).

18.如圖，B、F、C、E是直線I上的四點(diǎn)，AB//DE,AB=DE,BF=CE.

(1)求證：AABC=ADEF；

(2)將AABC沿直線I翻折得到^A'BC.

①用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A'BC(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

②連接A'D,則直線A'D與I的位置關(guān)系是—.

19.如圖，在四邊形4BCD中，AB//CD,AB*CD,&BC=90。，點(diǎn)E、F分

別在線段BC、4D上，且EF〃CD,AB=AF,CD=DF.

(1)求證：CF1FB；

(2)求證：以4。為直徑的圓與BC相切；

(3)若EF=2,Z.DFE=120°,求ZMDE的面積.

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參考答案

1.C

[※解析※]

先判定再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解：已知41=42,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得

再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得43=44.

2.A

[※解析※]

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得乙4,4。的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出41=

4。=45。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)果.

解：如圖，

vZ.ACB=90°,/.ABC=60°,

AA=180°-乙ACB-乙ABC=180°-90°-60°=30°,

?:4EFD=90°,Z.DEF=45°,

???4D=180°-乙EFD-ADEF=180°-90°-45°=45°,

vAB//DE,

Zl=Z.D=45°,

/.AFD=41-44=45°-30°=15°,

3.A

[※解析※]

由DE〃AF得^AFD=/.CDE=40°,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得答案.

解：由題意知DE//AF,

：.Z.AFD=Z.CDE=40°,

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???=30°,

???乙BAF=Z.AFD一乙B=40°-30°=10°,

4.A

[※解析※]

根據(jù)角的和差得到乙4BF=70。,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可求出

Z.ADE.

v^ABC=90°,Z-CBF=20°,

:.Z.ABF=Z.ABC一乙CBF=70°,

???DE//BF,

：?^ADE=Z.ABF=70°,

5.C

[※解析※]

根據(jù)BC//EF,可得/_FDB=ZF=45%再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案.

由圖可得Z-B=60°,ZF=45°,

BC//EF,

Z.FDB=CF=45°,

/.乙BMD=180°一乙FDB一4B=180°—45°-60°=75。,

6.B

7.B

[※解析※]

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙8"=55。，易得乙CEF.

解：-AB//CD//EF,^LABC=130°,

???乙BCD=乙ABC=130°,

v乙BCE=55°,

???乙DCE=乙BCD-乙BCE=130°-55°=75°,

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Z.CEF=180°-Z.DCE=180°-75°=105°,

8.C

[※解析※]

根據(jù)余角的意義乙1BC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

解：-ACLb,垂足為C,乙4=40。，

???/.ABC=50°,

???a//b,

???Z.1=/.ABC=50°,

9.B

[※解析※]

根據(jù)對頂角相等可得43=21,根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得，N2=43.

解：如圖，

???41=55。，41和43是對頂角,

???Z3=Z1=55°,

???a//b,

Z.2=Z.3=55°.

10.8

[※解析※]

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出NECD,的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得

到NBCD=20。，最后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可得解.

解：???AB//CD,^AEC=40°,

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Z.ECD=Z.AEC=40°,

???CB平分乙DCE,

.?/BCD="CE=20。,

2

-AB//CD,

???Z,ABC=乙BCD=20°,

11.苧或3或6或-6或6-3V2

[※解析※]

分兩種情況：①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時，②當(dāng)B不是直角頂點(diǎn)時，分別進(jìn)行計(jì)算

即可.

解：①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時，過。作DH1AB于H,如圖：

??YABC的三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，UBC的平分線與線段"交于

點(diǎn)D,

???ZL4BC是等腰直角三角形，Z.ABD=/.ADH=45°,AD=CD=\AC,

???44”。和是等腰直角三角形，

AH=DH=BH,

：.DH=^BC,

若AC=6,則BC=AC-cos45°=372,此時DH=喙即點(diǎn)。到直線4B的

距離為當(dāng);

若AB=BC=6,則DW=|BC=3,即點(diǎn)。到直線A8的距離為3;

②當(dāng)B不是直角頂點(diǎn)時，過。作DH1BC于H,如圖：

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???44"的三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，4aBe的平分線與線段“交于

點(diǎn)D,

是等腰直角三角，AD=DH=CH,

在ZL4BD和中，

AABD=乙HBD

Z.A=乙DHB,

BD=BD

：.AABD三AHBD(AAS),

.-.AB=BH,

若AB=AC=6時，BH=6,BC=y/AB2+AC2=6A/2,

■.CH==6^2-6,

.-.AD=6V2-6,即此時點(diǎn)0到直線的距離為6夜-6;

若BC=6,則AB=BC-cos45°=3V2,

???BH=3仿

:.CH=6-3仿

AD=6-3^2,即此時點(diǎn)0到直線的距離為6-372;

綜上所述，點(diǎn)。到直線4B的距離為苧或3或6或-6或6-3V2.

12.100

[※解析※]

根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可.

解：在44BC中,々BAC+4B+NC=180。,

vZ-B=40°,"=60。,

???Z-BAC=180°-ZF-ZC=180°-40°-60°=80°,

???DE//AB,

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乙4+Z.AED=180°,

???/.AED=180°-80°=100°.

13.58°

[※解析※]

根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可解決問題.

解：如圖，

44=42=64°,

???Z3+Zl+Z4=180°,

???43+41=180°-Z4=116°,

???BC是NABD的平分線，

A43=Z1=1x116°=58°,

14.①②④

[※解析※]

根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件對每一個結(jié)論進(jìn)行分析判斷即可找出其中的正

確結(jié)論.

解：???正方形ABCD,

：.CD=AD,乙CDE=4DAF=90°,

^ADF+ACDF=90°,

在4COE和4O4F中，

■CD=AD

△COE=ADAF,

,DE=AF

■■ACDE=ADAF(ASA),

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???乙DCE=Z.ADF,

AZDCF4-Z.CDF=90°,

/.ZDGC=9O°,

?-CE1DF,故①正確；

???CE平分乙ACD,

???Z.DCE=乙HCG,

在AGCD和/GCH中,

Z.DCE=Z.HCG

CG=CG,

(DGC=ZHGC=90°

AAGCD三4GCH(4SA),

/.CD=CHfZ.CDH=乙CHD,

???正方形ABCD,

???CD//AB,

???乙CDF=Z.AFD,

：?MHD=》FD,

vZ.CHD=乙AHF,

???Z.AFD=Z.AHF,

.\AF=AH,

/.AC=AHCH=AF+CD=DECD,故②正確,

設(shè)DE=AF=AH=a,

???Z.AHF=乙DHC,匕CDF=AAFH,

^ADHC-AFHA,

AF__AH

,?布—HC，

a_a

y=右，

:.a=>[2—1,

DE=AF=AH=y[2-l,

???AE=1-OE=2-VL

:?EA豐WAR,故③錯誤；

vAGCD=AGCH9

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DG=GH,

???CE1DF,

CG垂直平分DH,

???DP=PH,

當(dāng)OQJ.HC時，PH+PQ=OP+PQ有最小值,

過點(diǎn)。作DMJLHC,

則DM的長度為PH+PQ的最小值，

11

■■S6ADC=-AD-DC=-AC-DM,

DM=y,故④正確.

15.見解析

[※解析※]

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙DCF=LB,進(jìn)而推出乙DCF=￡D,再根據(jù)平行線的

判定得到AD//BC,由平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

證明：-.-AB//CD,

???Z,DCF=乙B,

vZ-B=Z-D,

:.乙DCF=Z.D,

:,AD〃BC,

???乙DEF=乙F.

16.見解析

[※解析※]

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根據(jù)AC//DF.BC//EF,可以得到乙4=4/DE,乙4BC=4EF,然后根據(jù)題目中

的條件，利用證明△/比必即可.

證明："AC//DF,

^CAB=AFDE（兩直線平行，同位角相等），

又vBC//EF,

：ZCBA=4FED（兩直線平行，同位角相等），

在44BC和/DEF中，

Z.CAB=乙FDE

AB=DE,

Z.CBA=乙FED

???ZL4BC

17.(1)見解析；

(2)/.EBC=35°

[※解析※]

(1)根據(jù)角平分線的定義可得乙DBE=LEBC,從而求出NDEB=4EBC,再

根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明即可；

(2)由(1)中OE〃BC可得至ljZC=^AED=45°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等

于180。求出乙1BC,最后用角平分線求出乙DBE=KEBC,即可得解.

解：(1);8E是2MBe的角平分線，

???乙DBE=Z-EBC,

???DB=DE,

???乙DEB=乙DBE,

???乙DEB=Z-EBC,

:.DE//BC；

(2)vDE//BC,

???ZC=2LAED=45°,

在4aBe中，NA+N4BC+NC=180。，

???AABC=180°-Z/4-zc=180°-65°-45°=70°.

???BE是ZL4BC的角平分線,

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??/DBE=￡EBC=^ABC=35。.

18.(1)見詳解;

(2)①見詳解；②平行

[※解析※]

(1)根據(jù)等式的性質(zhì)得出BC=EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙ABC=4DEF,

進(jìn)而根據(jù)S4S證明44BCW4DEF即可；

(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形，進(jìn)而解答即可.

證明：(1)???BF=CE,

BF+FC=CE+FC,

即BC=EF,

-?AB//DE,

:.Z-ABC=乙DEF,

在448C與4DEF中，

AB=DE

乙ABC=乙DEF,

、BC=EF

???ZL4BCMADE尸(S4S)；

(2)①如圖所示，△48c即為所求：

②直線AD與I的位置關(guān)系是平行,

故答案為：平行.

19.(1)見解析；(2)見解析；(3)|V3

[※解析※]

(1)證明：■.-CD=DF,

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:.Z-DCF=Z.DFC,

vEF//CD,

???Z.DCF=Z-EFC,

???乙DFC=乙EFC,

???Z.DFE=2Z.EFC,

vAB=AF,

:.Z.ABF=Z-AFB,

vCD//EF,CD//AB,

???AB//EF,

???(EFB=乙AFB,

:.^AFE=2乙BFE,

v/LAFE+Z.DFE=180°,

?,.2(BFE+2ZEFC=180°,

???乙BFE4-乙EFC=90°,

:.Z-BFC=90°,

???CF1BF；