廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)

廣東省東莞市三校20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題組組長：聶檢華考試范圍：第五章，第六章，第七章前三節(jié)；考試時間：120分鐘；注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.2.若，則（）A.2 B.3 C.2或4 D.3或43.隨機變量的分布列如表：則（）A. B. C. D.4.的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A. B.5 C.15 D.355.若函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.46.有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有A.34種 B.48種C.96種 D.144種7.已知某地市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場上買到一個合格燈泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.218.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A B.C. D.10.有3臺車床加工同一型號的零件．第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項正確的有（）A.任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.015B.任取一個零件是次品概率為0.0525C.如果取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品，則是第3臺車床加工的概率為11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.是的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù)，使得成立D.對兩個不相等正實數(shù)，，若，則.第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.的展開式中的系數(shù)是__________.13.如圖所示，在A，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導(dǎo)致斷路.則電路不通，則因為焊接點脫落而導(dǎo)致電路不通情況有___________種.14.若函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為______________四、解答題（本題5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15（1）計算；（2）已知，求的值．16.某學(xué)校的高二年級有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人.（1）如果任選3人參加校級技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為，求的分布列；（2）如果依次抽取2人參加市級技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率.17.已知函數(shù)（、為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)、的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．18.甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單獎勵1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前45單無獎勵，超過45單的部分每單獎勵6元．（1）設(shè)甲、乙兩家快遞公司的“快遞小哥”日工資分別為，（單位：元）與送貨單數(shù)（單位：單，）的函數(shù)關(guān)系式分別為，，求，的解析式．（2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”的日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名“快遞小哥”，并記錄其100天的送貨單數(shù)，得到如下條形圖：若將頻率視為概率，回答下列問題：①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小趙打算到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計知識為他進行選擇，并說明理由．19設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的取值范圍；（3）已知不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．廣東省東莞市三校20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題組組長：聶檢華考試范圍：第五章，第六章，第七章前三節(jié)；考試時間：120分鐘；注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：A.2.若，則（）A.2 B.3 C.2或4 D.3或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)求解即可【詳解】因為，所以或，故選：C3.隨機變量的分布列如表：則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分布列中的概率和為可直接求得結(jié)果.【詳解】由分布列性質(zhì)知：，解得：.故選：A.4.的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A. B.5 C.15 D.35【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項式定理求解.【詳解】由二項式定理：，令，得，所以項的系數(shù)為；故選：C.5.若函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再賦值計算即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當時，，所以.故選：A6.有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有A34種 B.48種C.96種 D.144種【答案】C【解析】【詳解】試題分析：,故選C.考點：排列組合.7.已知某地市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場上買到一個合格燈泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21【答案】C【解析】【分析】根據(jù)獨立事件和互斥事件概率計算方法計算即可．【詳解】從某地市場上購買一個燈泡，設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A，買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B，則由題可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，從甲廠產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件C，從乙廠產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件D，則由題可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，由題可知A、B、C、D互相獨立，故從該地市場上買到一個合格燈泡的概率為：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．故選：C．8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將原方程變形為或，然后分析的單調(diào)性，再對不同的進行分類討論即可得到結(jié)果.【詳解】由于，故原方程等價于或.由于當時，，故在上單調(diào)遞減.而當時，有，故此時，從而當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.從而當時，有，而在上單調(diào)遞減，，所以有唯一解.若原方程有四個不同的解，則存在四個不同的實數(shù)滿足或，而只有一個解，所以方程至少有三個解.假設(shè)，則當時，當時，所以至多有一個解，矛盾，所以假設(shè)，則當，時有，從而在上至多有一個解，由在上單調(diào)遞減知在上至多有一個解，所以至多有兩個解，矛盾，所以.綜上，有，即；另一方面，當即時，設(shè)，由于，，，且.故在，，上各有一個解，從而至少有三個解.而，（因為），所以或有四個解.綜上，的取值范圍是，即，D正確.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于恰當選取不同的情況進行分類討論，對于取值范圍問題，需要嚴格證明命題成立當且僅當參數(shù)屬于對應(yīng)范圍，而這往往意味著論證需要包含充分性和必要性兩方面.二、多選題（每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法計即可判斷．【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：令，則，故C錯誤；對于D：，故D正確．故選：ABD．10.有3臺車床加工同一型號的零件．第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項正確的有（）A.任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.015B.任取一個零件是次品的概率為0.0525C.如果取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品，則是第3臺車床加工的概率為【答案】ABC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判斷A、B正誤；應(yīng)用條件概率公式求C、D描述中對應(yīng)的概率，判斷正誤.【詳解】A：由題意任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為，正確；B：由題設(shè)，任取一個零件是次品的概率為，正確；C：由條件概率，取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為，正確；D：由條件概率，取到的零件是次品，則是第3臺車床加工的概率為，錯誤.故選：ABC11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.是的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù)，使得成立D.對兩個不相等的正實數(shù)，，若，則.【答案】BD【解析】【分析】①對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進行判斷即可；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理，可判斷出零點個數(shù)；③利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值進行判斷即可；④設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證明，再結(jié)合的單調(diào)性，可得到，即可得到，從而可得證.【詳解】A.函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，上，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的極小值點，即A錯誤；B.，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，∴函數(shù)有且只有1個零點，即B正確；C.若，可得，令，則，令，則，∴在上，函數(shù)單調(diào)遞增，上函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實數(shù)，使得恒成立，即C不正確；D.令，則，，令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，令，由，得，則，當時，顯然成立，∴對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則，所以.故D正確.故選：BD.【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，以及構(gòu)造法證明不等式，對于C，解題的關(guān)鍵是利用參變分離進行分析，對于D，解題的關(guān)鍵是判斷.綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】寫出的展開式的通項，然后對分類求得答案．【詳解】展開式的通項為，，①令，則；②令，則；綜上可得：展開式中項的系數(shù)為．故答案為：．13.如圖所示，在A，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導(dǎo)致斷路.則電路不通，則因為焊接點脫落而導(dǎo)致電路不通情況有___________種.【答案】13【解析】【分析】分類討論，列舉出脫落1個，2個，3個，4個焊接點導(dǎo)致電路不通的情況，求出答案.【詳解】若脫落1個，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況，若脫落3個，則有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4種情況.若脫落4個，則有（1，2，3，4）共1種情況，綜上共有種情況.故答案為：13.14.若函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為______________【答案】【解析】【詳解】f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)，減區(qū)間為(－1,1)．所以要使函數(shù)f(x)＝x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需，即?－2≤a＜1.四、解答題（本題5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（1）計算；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）15【解析】【分析】（1）利用排列數(shù)與組合數(shù)公式計算即可；（2）利用賦值法求解即可．【詳解】（1）；（2）令，得，令，得，所以．16.某學(xué)校的高二年級有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人.（1）如果任選3人參加校級技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為，求的分布列；（2）如果依次抽取2人參加市級技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列．（2）利用條件概率轉(zhuǎn)化求解即可．【小問1詳解】由題可知的所有可能取值為0，1，2，依題意得：，，，的分布列為：012【小問2詳解】設(shè)第1次抽到男老師為事件，第2次抽到男老師為事件，則第1次和第2次都抽到男老師為事件，根據(jù)分步計數(shù)原理，．所以．17.已知函數(shù)（、為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)、的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可得出實數(shù)、的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義可得結(jié)果.【小問1詳解】解：因為，該函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)（、為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為，則，解得.【小問2詳解】解：由（1）可得，該函數(shù)的定義域為，，由可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.18.甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單獎勵1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前45單無獎勵，超過45單的部分每單獎勵6元．（1）設(shè)甲、乙兩家快遞公司的“快遞小哥”日工資分別為，（單位：元）與送貨單數(shù)（單位：單，）的函數(shù)關(guān)系式分別為，，求，的解析式．（2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”的日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名“快遞小哥”，并記錄其100天的送貨單數(shù)，得到如下條形圖：若將頻率視為概率，回答下列問題：①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小趙打算到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計知識為他進行選擇，并說明理由．【答案】（1），；；（2）①分布列見解析；期望為；②推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘；理由見解析．【解析】【分析】（1）由已知可求得甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資和乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．（2）①由條形圖得x的取值范圍為，分別求得，，，，由此可得的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得答案.②求得甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，由①知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，比較可得結(jié)論．【詳解】解：（1）甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資中與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，．乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為．（2）①由條形圖得x的取值范圍為，，，，，所以的分布列為1001061181300.20.30.40.1故的數(shù)學(xué)期望為．②甲快遞公司的“快遞小哥”日平均送貨單數(shù)為，所以甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為（元），由①知，乙