2024屆重慶市烏江新高考協(xié)作體高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆重慶市烏江新高考協(xié)作體高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，．則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后求得.【詳解】.故選：A2．設(shè)全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件根據(jù)集合的運(yùn)算的定義，判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，A錯(cuò)，，，，B錯(cuò)，，，C對(duì)，，D錯(cuò)，故選：C.3．已知等差數(shù)列中，，則（）A．7 B．11 C．9 D．18【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接計(jì)算求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，所以.故選：C.4．如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被過棱、的中點(diǎn)、，頂點(diǎn)和過點(diǎn)頂點(diǎn)、的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】將正方體還原，利用割補(bǔ)法計(jì)算可得.【詳解】解：如圖將正方體還原可得如下圖形：則，，，所以該幾何體的體積.故選：C5．已知平面直角坐標(biāo)系中的3點(diǎn)，則中最大角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)夾角公式算出每個(gè)內(nèi)角的余弦值，然后分析可得結(jié)果.【詳解】，根據(jù)夾角公式，；，根據(jù)夾角公式，；，根據(jù)夾角公式，.由，，，于是是鈍角，是銳角，最大角是，余弦值為.故選：C6．已知，為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件，結(jié)合同角關(guān)系求，再由特殊角三角函數(shù)值求，再利用兩角差的余弦公式求.【詳解】因?yàn)椋?，又，為銳角，所以，，且．因?yàn)椋瑸殇J角，，所以，又，所以，故．故選：D.7．已知函數(shù)在定義域上的值不全為零，若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)條件可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱，從而得到為偶函數(shù)且為周期函數(shù)，從而可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，令，∴，即，∴…⑴令，∵其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴，即，∴…⑵由⑴⑵得，，∴…⑶∴，由⑵得,∴；∴A對(duì)；由⑶，得，即，∴B對(duì)；由⑴得，，又，∴，∴C對(duì)；若，則，∴，由⑶得，又，∴，即，與題意矛盾，∴D錯(cuò).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性、奇偶性、周期性，注意圖象的對(duì)稱性與函數(shù)解析式滿足的等式關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)性，本題屬于中檔題.8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且截面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】取CD的中點(diǎn)為N,的中點(diǎn)為R,的中點(diǎn)為H,證明平面MNRH//平面,平面,線段MP掃過的圖形為,通過證明,說明為直角,得線段長(zhǎng)度的取值范圍為即可得解.【詳解】取CD的中點(diǎn)為N,的中點(diǎn)為R,的中點(diǎn)為H,作圖如下:由圖可知,,所以四邊形為平行四邊形,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?故平面MNRH//平面,因?yàn)榻孛?所以平面,線段MP掃過的圖形為,由知,,在中,,即,所以，所以,即為直角,故線段長(zhǎng)度的取值范圍為,即,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定定理與性質(zhì)定理及空間兩點(diǎn)間的距離;重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想;屬于難度大、抽象型試題.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，則（

）A．P在第二象限 B．P在第四象限C． D．z的虛部為【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的基本概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以A正確，B錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的虛部為，所以D錯(cuò)誤；又由共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，所以C正確.故選：AC10．已知圓：，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．圓的半徑為1C．圓關(guān)于對(duì)稱 D．直線與圓相切【答案】BCD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，求點(diǎn)到圓心的距離與半徑比；對(duì)于B項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出圓心和半徑.對(duì)于C項(xiàng)，驗(yàn)證圓心是否在直線上；對(duì)于D項(xiàng)，驗(yàn)證圓心到直線的距離與半徑比.【詳解】已知圓：，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，B選項(xiàng)正確；圓心，將點(diǎn)到圓心的距離，所以，點(diǎn)在圓外，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；將圓心代入直線，得成立，所以直線過圓心，則圓關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相切，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝6，則S4＝（

）A．－10 B．－8 C．8 D．10【答案】AC【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，解方程求出的值即得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，，則，或，所以或，故選：AC.12．如圖，已知三個(gè)兩兩互相垂直的半平面，，交于點(diǎn)，矩形的邊在半平面內(nèi)，頂點(diǎn)，分別在半平面，內(nèi)，，，與平面所成角為，二面角的余弦值為，則同時(shí)與半平面，，和平面都相切的球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】如圖，補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，然后以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O–xyz，由線面角和二面角的定義可求得，的坐標(biāo)，求得平面ABCD的法向量，設(shè)平面ABCD與軸的交點(diǎn)分別為：，將原問題進(jìn)一步等價(jià)于求三棱錐O-P1P2P3的內(nèi)切球半徑，運(yùn)用等體積法可求得答案．【詳解】解：如圖所示，將矩形ABCD所在的平面，補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，然后以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O–xyz，由，與平面所成角為，得，作底面于點(diǎn)P，則平面APB，從而，所以即為二面角的平面角，即的余弦值為，則，故，，，，所以，，設(shè)平面ABCD的法向量，則，令，得，從而，設(shè)平面ABCD與軸的交點(diǎn)分別為：，則，所以，，所以，，所以原問題進(jìn)一步等價(jià)于求三棱錐O-P1P2P3的內(nèi)切球半徑，由于，故是等腰三角形，其面積為，三棱錐的表面積為，其體積為，設(shè)外接球半徑為R，利用等體積法有，即，同理，當(dāng)球在三棱錐外面與四個(gè)面都相切時(shí)，球的半徑為，故選：AC．三、填空題13．函數(shù)的圖象在處的切線方程是．【答案】（或）【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，【詳解】由題意可得，則，，故所求切線方程為，即（或）．故答案為：14．若等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為30，前20項(xiàng)和為100，則前30項(xiàng)和為【答案】【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，需熟記性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15．若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意作圖，由函數(shù)與方程的關(guān)系，可得，進(jìn)而得到答案.【詳解】作出，與的大致圖象，如圖所示．由圖象，可知，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：.16．已知數(shù)列滿足，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿足；②數(shù)列的前項(xiàng)和；③數(shù)列每一項(xiàng)都滿足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿足.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③④【分析】通過遞推公式，判斷出數(shù)列單調(diào)性，由此得到數(shù)列的取值范圍，根據(jù)取值范圍對(duì)①③④進(jìn)行判斷，算出即可判斷②.【詳解】由，，得，，，，②錯(cuò)誤；，又因?yàn)椋?，所以，①正確；由可得，即，又，兩邊同時(shí)除以，可得：，，…，，累加可得，又因，所以，即有，當(dāng)時(shí)，，所以，③正確；由，得，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列中出現(xiàn)大小比較時(shí)，若通過原數(shù)列或者構(gòu)造新數(shù)列不能找到大小關(guān)系，常見思路為對(duì)數(shù)列進(jìn)行放縮，通過將數(shù)列放縮為一個(gè)簡(jiǎn)單的通項(xiàng)公式再進(jìn)行大小比較.四、解答題17．已知，則求：（1）集合A的子集的個(gè)數(shù)，并判斷與集合A的關(guān)系（2）請(qǐng)寫出集合A的所有非空真子集【答案】（1）8，（2），，，，，【分析】（1）根據(jù)子集的概念，利用列舉法可得集合A的所有子集，從而可得子集個(gè)數(shù)以及與集合A的關(guān)系；（2）根據(jù)非空真子集的概念，利用列舉法可得答案.【詳解】（1）的子集有，，，，，，，共8個(gè)，其中.（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.18．已知命題p:x2+2x-15≤0，命題q:︱x-1︱≤m(m>0)，若?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】【分析】利用不等式的解法求解出命題p，q中的不等式范圍問題，結(jié)合二者的關(guān)系得出關(guān)于字母m的不等式，從而求解出m的取值范圍．【詳解】解：x2+2x﹣15≤0的解集為[﹣5，3]，故命題p成立有x∈[﹣5，3]，由︱x-1︱≤m(m>0)，，得x∈[1﹣m，m+1]，若?p是?q的必要不充分條件，即p是q的充分不必要條件，因此有[﹣5，3]為[1﹣m，m+1]真子集，即，（兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到）解得：19．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)與點(diǎn)分別在的兩側(cè)，對(duì)角線與交于點(diǎn)，.

(1)若中三個(gè)內(nèi)角、、分別對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為、、，的面積，，求和；(2)若，且，設(shè)，求對(duì)角線的最大值和此時(shí)的值.【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)角線長(zhǎng)的最大值為【分析】（1）利用三角形的面積公式以及余弦定理可求出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，設(shè)，則，利用正弦定理可求得的值；（2）利用余弦定理求得，結(jié)合余弦定理分析可知，為等腰直角三角形，再利用余弦定理結(jié)合三角函數(shù)看可求出的長(zhǎng)的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】（1）解：因?yàn)榈拿娣e，即，整理可得，所以，，又因?yàn)椋瑒t，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，則，所以，，解得，即.（2）解：因?yàn)?，則，其中，則，由余弦定理可得，則，在中，，，由余弦定理可得，所以，，故，故為等腰直角三角形，則，所以，，易知，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.20．如圖，在三棱臺(tái)中，，平面，，，，且D為中點(diǎn).求證：平面；【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論.【詳解】由題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，,分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，故，，即，又平面，故平面.21．過點(diǎn)的直線分別與軸、軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積取得最小值時(shí)的直線方程．【答案】.【分析】由題意設(shè)直線的方程為，然后求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而可表示出的面積，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出直線方程.【詳解】由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，即，在直線的方程中，令，可得；令，可得.所以點(diǎn)，由已知條件可得，得，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以直線的方程為.22．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)（），若在上為增函