2023-2024學年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)胥江實驗中學校九年級上冊12月月考數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年第一學期初三數(shù)學課堂作業(yè)一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．有一組數(shù)據(jù)：11，11，12，15，16，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A．11 B．12 C．15 D．162．拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．3．若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知的圓心到直線的距離是一元二次方程的一個根，若與直線相離，的半徑可取的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．如圖，在中，，平分，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于D，交BC于E，連接AE，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．AE⊥BC B．BE=EC C．ED=EC D．∠BAC=∠EDC7．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°8．如圖，在⊙O中，弦，點C在上移動，連接，過點C作交⊙O于點D，則的最大值為（）A．5 B．2.5 C．3 D．29．如圖，拋物線與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③當時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，在等邊中，，點為的中點，動點分別在上，且，作的外接圓，交于點．當動點從點向點運動時，線段長度的變化情況為（

）A．一直不變 B．一直變大 C．先變小再變大 D．先變大再變小二、填空題（共8小題，每題3分，共24分）11．一只螞蟻在一塊黑白兩色的正六邊形地磚上任意爬行，并隨機停留在地磚上某處，則螞蟻停留在黑色區(qū)域的概率是．12．一元二次方程x2＝5x的解為．13．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，當時，x的取值范圍是．14．如圖，的三個頂點的坐標分別為，則的外接圓圓心的坐標為．15．江南水鄉(xiāng)蘇州現(xiàn)存100多座石拱橋，已知（如圖）一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯x為，橋拱半徑為，則水面寬．16．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．17．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D，E，F(xiàn)，若AD＝5，BE＝12，則△ABC的周長為．18．在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O為圓心，4為半徑作圓O，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則最小值為．三、解答題（共7題，共76分）19．解方程：①；②．20．已知關于x的方程x2-（m+3）x+m+1＝0．（1）求證：不論m為何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程一根為4，以此時方程兩根為等腰三角形兩邊長，求此三角形的周長．21．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過（－1，0），（0，2），（1，0）三點．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)當時，y的取值范圍是______．(3)將該函數(shù)的圖像沿直線x＝1翻折，直接寫出翻折后的圖像所對應的函數(shù)表達式．22．如圖，中，，以為直徑作，分別交，于點，，過點作，交于點，垂足為，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求弦的長．23．如圖，是的直徑，點F，C是上兩點，且，連接，，過點C作，交的延長線于點D，垂足為D．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長度；24．如圖，對稱軸為直線的拋物線與軸相交于兩點，其中點的坐標為．(1)求點的坐標；(2)已知，為拋物線與軸的交點．①求拋物線的解析式；②設點是線段上的動點，作軸交拋物線于點，求線段長度的最大值；③求面積的最大值．25．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點P以3cm/s的速度從點A向點B運動，點Q以4cm/s的速度從點C向點B運動．點P、Q同時出發(fā)，運動時間為t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圓．（1）當t＝1時，⊙M的半徑是cm，⊙M與直線CD的位置關系是；（2）在點P從點A向點B運動過程中．①圓心M的運動路徑長是cm；②當⊙M與直線AD相切時，求t的值．（3）連接PD，交⊙M于點N，如圖2，當∠APD＝∠NBQ時，求t的值．參考答案與解析1．B【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：把這一組數(shù)據(jù)從大到小排列后，位于正中間的數(shù)為12，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是12．故選：B【點睛】本題主要考查了求中位數(shù)，熟練掌握把這一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┡帕泻?，位于正中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)是解題的關鍵．2．A【分析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點式可以直接寫出它的頂點坐標．【詳解】解：∵，∴此函數(shù)的頂點坐標為（3，1），故選：A．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟記頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x=h．3．C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，∴，解得：故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．4．A【分析】本題考查了直線與圓的位置關系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根據(jù)直線與圓的位置關系可得出，即可得到答案，熟練掌握直線與圓的位置關系是解此題的關鍵．【詳解】解：，，或，，，的圓心到直線的距離是一元二次方程的一個根，，與直線相離，的半徑，即，故選：A．5．D【分析】由圓周角定理可得，由角平分線的性質(zhì)可得，得到答案．【詳解】解：，，平分，，故選：D．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理、角平分線的性質(zhì)，是解題的關鍵．6．D【分析】根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB為⊙O的直徑，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，∴，∴ED=EC，∴∠EDC=∠B，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．7．A【分析】利用三角形內(nèi)心性質(zhì)得到∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，則根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠A），然后利用三角形內(nèi)角和得到∠BOC＝90°+∠A，再把∠A＝70°代入計算即可．【詳解】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義：三角形的內(nèi)心是角平分線的交點和內(nèi)心的性質(zhì)：三角形內(nèi)角∠BOC＝90°+∠A.8．B【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，利用垂線段最短得到當時，最小，根據(jù)垂徑定理計算即可．【詳解】連接，如圖，∵，∴，∴，∵是圓的半徑，長度不變，∴當?shù)闹底钚r，的值最大，而時，最小，此時D、B兩點重合，∴，即的最大值為2.5，故選：B．【點睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．9．D【分析】由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐一判斷．【詳解】解：開口向上則，與y軸交點在原點下方，，故①正確；對稱軸為，與x軸一個交點是（4，0），則另一個交點為，則點在x軸下方，故②正確；時，圖象在對稱軸右側(cè)，開口向上，y隨x的增大而增大，故③正確；圖象與x軸有兩個交點，則關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像，對稱軸，增減性，與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)圖像與各系數(shù)的關系，對稱軸，增減性是解題的關鍵．10．D【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求ON=1，F(xiàn)O=OB=GO=OH=2，則點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，由勾股定理可求GH，即可求解．【詳解】如圖，連接BO，EO，F(xiàn)O，GO，HO，過點O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°∴∠EOF=120，∵OE=OF，ON⊥EF，∠OEF=∠OFE=30°EN=FN=，OF=2ON，F(xiàn)N=ON，ON=1，F(xiàn)O=2，OB=GO=OH=2，∴點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，∴OG=OH，OP⊥GH，∴GH=2PH，∵PH=∵動點E從點D向點A運動時，OP的長是先變小再變大，∴GH的長度是先變大再變小，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點O的運動軌跡是解題的關鍵．11．【分析】設該正六邊形地磚的面積為6，則黑色區(qū)域的面積為2，再由概率公式計算，即可求解．【詳解】解：設該正六邊形地磚的面積為6，則黑色區(qū)域的面積為2，∴螞蟻停留在黑色區(qū)域的概率是．故答案為：【點睛】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；P（必然事件）；P（不可能事件）是解題的關鍵．12．，【分析】首先移項，再分解因式，通過計算，即可得到答案．【詳解】x2＝5x移項，得分解因式，得：∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．13．【分析】首先根據(jù)對稱軸和與x軸的一個交點確定另一個交點的坐標，然后根據(jù)其圖象確定自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標為，∴與x軸的另一個交點坐標為，∴時，x的取值范圍為：，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)對稱軸求得另一個交點坐標，難度不大．14．【分析】根據(jù)三角形的外心是三邊中垂線的交點，由的坐標可知，圓心M必在直線上；由圖知：的垂直平分線正好經(jīng)過，由此可得到．【詳解】解：設的外心為M，，∴M必在直線上，由圖知：的垂直平分線過，故，故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓和外心的概念和性質(zhì)，掌握三角形的外心是三邊中垂線的交點、確定圓心的位置是解題的關鍵．15．【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，連接，則，由垂徑定理可得，求出，再利用勾股定理計算出，即可得解，熟練掌握垂徑定理及勾股定理，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，則，，，，，，，故答案為：．16．【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接，證明是等邊三角形得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，進行計算即可得出答案，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，，，，是等邊三角形，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，故答案為：．17．40【分析】利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定方法得出四邊形OECD是正方形，進而利用勾股定理得出答案．【詳解】解：連接EO，DO，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，又∵∠C＝90°，∴四邊形ECDO是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，設EO＝x，則EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+12）2+（x+5）2＝172，解得：x＝3(負值已舍)，∴△ABC的周長＝8+15+17＝40．故答案為：40．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．18．【分析】如圖所示，連接OP，取OC中點為M，連接PM，BM，證明，得到，則，即可推出，故當點B、P、M三點共線時，最小值為BM，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接OP，取OC中點為M，連接PM，BM，∵圓O半徑為4，點P為劣弧CD上一動點，∴OC＝OP＝4，又∵點M為OC中點，∴，∵，∠MOP＝∠POA，∴，∴，∴，∴，當點B、P、M三點共線時，最小值為BM，∵∠AOB＝90°，∴，又OM＝2，OB＝10，∴，∴最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，圓的基本性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．19．①，；②【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程、解分式方程，熟練掌握解題方法與解題步驟是解此題的關鍵．①利用因式分解法解一元二次方程即可；②先去分母，將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后檢驗即可．【詳解】解：①，，即，或，，；②，，去分母得：，整理得：，解得：，，當時，，符合題意，當時，，故不符合題意，原方程的解為．20．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)判別式即可求出答案．（2）將x＝4代入原方程可求出m的值，求出m的值后代入原方程即可求出x的值．【詳解】解：（1）由題意可知：△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+2m+5＝m2+2m+1+4＝（m+1）2+4，∵（m+1）2+4>0，∴△＞0，∴不論m為何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）當x＝4代入x2﹣（m+3）x+m+1＝0得解得m＝，將m＝代入x2﹣（m+3）x+m+1＝0得∴原方程化為：3x2﹣14x+8＝0，解得x＝4或x＝腰長為時，，構(gòu)不成三角形；腰長為4時，該等腰三角形的周長為4+4+＝所以此三角形的周長為.【點睛】本題考查了一元二次方程，熟練的掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵.21．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)（－1，0），（1，0）兩點可得頂點坐標為（0，2），設頂點式代入點坐標即可；（2）求出對稱軸，判斷出對稱軸在內(nèi)，故在對稱軸處取最大值，端點處取最小值；（3）圖像沿直線x＝1翻折，不變，頂點坐標變?yōu)?，代入頂點式即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得圖像頂點坐標為（0，2），設二次函數(shù)的表達式為．將（1，0）代入，求得，∴．（2）解：對稱軸為軸，且開口向下當時，有最大值2（能取到）當時，有最小值（取不到）y的取值范圍是：（3）解：頂點坐標變?yōu)樗员磉_式為：（或，）【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要知識點有：求最值、待定系數(shù)法求表達式、點的軸對稱等，熟記二次函數(shù)的相關性質(zhì)是解題關鍵．22．(1)(2)24【分析】本題考查了垂徑定理，掌握定理并靈活運用是解題的關鍵，（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進而求出，根據(jù)垂徑定理可得，從而求出的度數(shù)；（2）連接，已知，則，則，已知，則，在中利用勾股定理求出，即可求出．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）連接，，，，，，，，，，在中，，，即弦的長為24．23．(1)見解析(2)4【分析】（1）連接，先得到，又，有，從而證得，，又，有，從而證得結(jié)論．（2）根據(jù)，得出，從而得到，從而得到，在中，設，則，根據(jù)構(gòu)造方程求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）解：∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∴由（1）得，，在中，，在中，設，則，∴，即：，解得，∴的長為.【點睛】本題考查了切線的判定定理，解直角三角形，作出輔助線，找到相等角的關系，并求出特殊角是求解此題的關鍵．24．(1)點的坐標為(2)①；②；③【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積、線段長度問題，熟練掌握以上知識點，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關鍵．（1）由題意得出兩點關于直線對稱，由此即可得出答案；（2）①由待定系數(shù)法求解即可；②先由待定系數(shù)法求出直線的解析式，設，則，表示出，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；③表示出，由此即可得出答案．【詳解】（1）解：對稱軸為直線的拋物線與軸相交于兩點，兩點關于直線對稱，點的坐標為，點的坐標為；（2）解：①當時，拋物線的對稱軸為直線，，即，，，將代入得：，解得：，拋物線的解析式為：；②在中，當時，，，設直線的解析式為：，將，代入得：，解得：，直線的解析式為：，如圖，，設，則，，當時