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北京市精華學(xué)校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)八上期末考試試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每題4分,共48分)1.如圖,矩形的對角線與相交于點,,則等于()A.5 B.4 C.3.5 D.32.如果把分式中的和都擴(kuò)大了3倍,那么分式的值()A.?dāng)U大3倍 B.不變 C.縮小3倍 D.縮小6倍3.已知等腰三角形的一個外角等于,則它的頂角是()A. B. C.或 D.或4.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分線交BC于D,DE是AB的垂直平分線,垂足為E,若BC=3,則DE的長為()A.1 B.2 C.3 D.45.不等式組12x≤1A. B. C. D.6.下列運算正確的是()A.a(chǎn)2+a2=a4 B.(﹣b2)3=﹣b6C.2x?2x2=2x3 D.(m﹣n)2=m2﹣n27.下列因式分解正確的是A.4m2-4m+1=4m(m-1) B.a(chǎn)3b2-a2b+a2=a2(ab2-b)C.x2-7x-10=(x-2)(x-5) D.10x2y-5xy2=5xy(2x-y)8.如圖,用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框,不計螺絲大小,其中相鄰兩螺絲的距離依序為2、3、4、6,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整.若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框,則任兩螺絲的距離之最大值為何?A.5 B.6 C.7 D.109.下列實數(shù)中,屬于無理數(shù)的是()A. B.2﹣3 C.π D.10.下列各式由左邊到右邊的變形中,是分解因式的是()A.m(x﹣y)=mx﹣my B.x2+2x+1=x(x+2)+1C.a(chǎn)2+1=a(a+) D.15x2﹣3x=3x(5x﹣1)11.下列圖形中,不是運用三角形的穩(wěn)定性的是()A. B. C. D.12.下列說法中,不正確的是()A.﹣的絕對值是﹣ B.﹣的相反數(shù)是﹣C.的立方根是2 D.﹣3的倒數(shù)是﹣二、填空題(每題4分,共24分)13.是方程2x-ay=5的一個解,則a=____.14.某公司打算至多用1200元印制廣告單.已知制版費50元,每印一張廣告單還需支付0.3元的印刷費,則該公司可印制的廣告單數(shù)量x(張)滿足的不等式為_______.15.如圖,正方形中,,是的中點.將沿對折至,延長交于點,則的長是_______.16.若點A(2,m)關(guān)于y軸的對稱點是B(n,5),則mn的值是_____.17.如圖,在中,,,,則的長是_______.18.若是完全平方公式,則__________.三、解答題(共78分)19.(8分)已知:如圖,在中,,,(1)作的平分線,交于點;作的中點;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不必寫作法和證明)(2)連接,求證:.20.(8分)如圖,已知中,,,點是的中點,如果點在線段上以的速度由點向點移動,同時點在線段上由點向點以的速度移動,若、同時出發(fā),當(dāng)有一個點移動到點時,、都停止運動,設(shè)、移動時間為.(1)求的取值范圍.(2)當(dāng)時,問與是否全等,并說明理由.(3)時,若為等腰三角形,求的值.21.(8分)如圖,把、兩個電阻并聯(lián)起來,線路上的電流為,電壓為,總電阻為,則,其中,,,滿足關(guān)系式:.當(dāng),,時,求的值.22.(10分)如圖,點是等邊三角形的邊上一點,交于,延長至,使,連結(jié)交于.(1)請先判斷的形狀,并說明理由.(2)請先判斷和是否相等,并說明理由.23.(10分)如圖,一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸和y軸分別交于點A和B,直線y=kx+b經(jīng)過點B與點C(2,0).(1)點A的坐標(biāo)為;點B的坐標(biāo)為;(2)求直線y=kx+b的表達(dá)式;(3)在x軸上有一動點M(t,0),過點M做x軸的垂線與直線y=x+2交于點E,與直線y=kx+b交于點F,若EF=OB,求t的值.(4)當(dāng)點M(t,0)在x軸上移動時,是否存在t的值使得△CEF是直角三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,直接答不存在.24.(10分)如圖,在長方形紙片中,.將其折疊,使點與點重合,點落在點處,折痕交于點,交于點.(1)求線段的長.(2)求線段的長.25.(12分)如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,點D在邊AB上,點E在邊AC的左側(cè),連接AE.(1)求證:AE=BD;(2)試探究線段AD、BD與CD之間的數(shù)量關(guān)系;(3)過點C作CF⊥DE交AB于點F,若BD:AF=1:2,CD=,求線段AB的長.26.如圖,在中,,D在邊AC上,且.如圖1,填空______,______如圖2,若M為線段AC上的點,過M作直線于H,分別交直線AB、BC與點N、E.求證:是等腰三角形;試寫出線段AN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
參考答案一、選擇題(每題4分,共48分)1、B【解析】試題解析:∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD=2AB=8,故選B.點睛:平行四邊形的對角線互相平分.2、C【分析】將分子與分母中未知數(shù)分別乘以3,進(jìn)而化簡即可.【詳解】,故分式的值縮小3倍.故選:C.【點睛】本題考查了分式的性質(zhì),將未知數(shù)擴(kuò)大3倍后再化簡分式是解題關(guān)鍵.3、D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形的內(nèi)角和定理,分兩種情況:①若等腰三角形頂角的外角等于110°,②若等腰三角形底角的外角等于110°,分別求出答案即可.【詳解】①若等腰三角形頂角的外角等于110°,則它的頂角是:180°-110°=70°,②若等腰三角形底角的外角等于110°,則它的頂角是:180°-2×(180°-110°)=40°,∴它的頂角是:或.故選D.【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形的內(nèi)角和定理,掌握等腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】試題分析:由角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°,∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠DAB,∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB,∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°,∴∠CAD=30°,∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,∴CD=DE=BD,∵BC=3,∴CD=DE=1考點:線段垂直平分線的性質(zhì)5、C【分析】先求出兩個不等式的解集,再求其公共解.【詳解】解:由12x≤2得:x≤2.由2-x<3得:x>-2.所以不等式組的解集為-2<x≤2故選C.【點睛】此題主要考查不等式組的解法及在數(shù)軸上表示不等式組的解集.不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法:把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(>,≥向右畫;<,≤向左畫),數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段,如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣,那么這段就是不等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時“≥”,“≤”要用實心圓點表示;“<”,“>”要用空心圓點表示.6、B【分析】根據(jù)合并同類項法則、冪的乘方法則、單項式乘單項式法則和完全平方公式法則解答即可.【詳解】A、a2+a2=2a2,故本選項錯誤;B、(﹣b2)3=﹣b6,故本選項正確;C、2x?2x2=4x3,故本選項錯誤;D、(m﹣n)2=m2﹣2mn+n2,故本選項錯誤.故選:B.【點睛】本題考查了整式的運算,合并同類項、冪的乘方、單項式乘單項式和完全平方公式,熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.7、D【分析】A、利用完全平方公式分解;B、利用提取公因式a2進(jìn)行因式分解;C、利用十字相乘法進(jìn)行因式分解;D、利用提取公因式5xy進(jìn)行因式分解.【詳解】A、4m2-4m+1=(2m-1)2,故本選項錯誤;B、a3b2-a2b+a2=a2(ab2-b+1),故本選項錯誤;C、(x-2)(x-5)=x2-7x+10,故本選項錯誤;D、10x2y-5xy2=xy(10x-5y)=5xy(2x-y),故本選項正確;故選D.【點睛】本題考查了因式分解,要想靈活運用各種方法進(jìn)行因式分解,需要熟練掌握各種方法的公式和法則;分解因式中常出現(xiàn)錯誤的有兩種:①丟項:整項全部提取后要剩1,分解因式后項數(shù)不變;②有些結(jié)果沒有分解到最后,如最后一個選項需要一次性將公因式提完整或進(jìn)行多次因式分解,分解因式一定要徹底.8、C【解析】依題意可得,當(dāng)其中一個夾角為180°即四條木條構(gòu)成三角形時,任意兩螺絲的距離之和取到最大值,為夾角為180°的兩條木條的長度之和.因為三角形兩邊之和大于第三邊,若長度為2和6的兩條木條的夾角調(diào)整成180°時,此時三邊長為3,4,8,不符合;若長度為2和3的兩條木條的夾角調(diào)整成180°時,此時三邊長為4,5,6,符合,此時任意兩螺絲的距離之和的最大值為6;若長度為3和4的兩條木條的夾角調(diào)整成180°時,此時三邊長為2,6,7,符合,此時任意兩螺絲的距離之和的最大值為7;若長度為4和6的兩條木條的夾角調(diào)整成180°時,此時三邊長為2,3,10,不符合.綜上可得,任意兩螺絲的距離之和的最大值為7,故選C9、C【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).【詳解】解:是分?jǐn)?shù)可以化為無限循環(huán)小數(shù),屬于有理數(shù),故選項A不合題意;,是分?jǐn)?shù),屬于有理數(shù),故選項B不合題意;π是無理數(shù),故選項C符合題意;,是整數(shù),故選項D不合題意.故選:C.【點睛】理解無理數(shù)的概念,同時也需要理解有理數(shù)的概念,有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).10、D【詳解】解:A、是整式的乘法,故A錯誤;B、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,故B錯誤;C、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,故C錯誤;D、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,故D正確;故選D.【點睛】本題考查因式分解的常用方法:提取公因式法,公式法,十字相乘法.11、C【解析】分析:利用三角形的穩(wěn)定性解答即可.詳解:對于A、B、D選項,都含有三角形,故利用了三角形的穩(wěn)定性;而C選項中,拉閘門是用到了四邊形的不穩(wěn)定性.故選C.點睛:本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性,需理解穩(wěn)定性在實際生活中的應(yīng)用;首先,明確能體現(xiàn)出三角形的穩(wěn)定性,則說明物體中必然存在三角形;12、A【分析】分別根據(jù)實數(shù)絕對值的意義、相反數(shù)的定義、立方根的定義和倒數(shù)的定義逐項解答即可.【詳解】解:A、﹣的絕對值不是﹣,故A選項不正確,所以本選項符合題意;B、﹣的相反數(shù)是﹣,正確,所以本選項不符合題意;C、=8,所以的立方根是2,正確,所以本選項不符合題意;D、﹣3的倒數(shù)是﹣,正確,所以本選項不符合題意.故選:A.【點睛】本題考查了實數(shù)的絕對值、相反數(shù)、立方根和倒數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)知識題型,熟練掌握實數(shù)的基本知識是解題關(guān)鍵.二、填空題(每題4分,共24分)13、-1【解析】試題解析:把代入方程2x-ay=5,得:4-a=5,解得:a=-1.14、50+0.3x≤1200【分析】至多意思是小于或等于.本題滿足的不等關(guān)系為:制版費+單張印刷費×數(shù)量≤1.【詳解】解:根據(jù)題意,該公司可印刷的廣告單數(shù)量x(張)滿足的不等式為:故答案為:.15、【分析】連接AH,根據(jù)正方形及折疊的性質(zhì)得到Rt△ADH≌Rt△AFH,再設(shè)DH=x,在△CEH中運用勾股定理解答即可.【詳解】解:連接AH,∵在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD,∠D=∠B=∠BCD=90°,∵將△ABE沿AE對折至△AFE,∴AB=AF,BE=EF,∠B=∠AFE=90°,∴AD=AF,∠D=∠AFH=90°,又∵AH=AH,在Rt△ADH和Rt△AFH中,,∴Rt△ADH≌Rt△AFH(HL)∴DH=FH,∵E是邊BC的中點,∴BE=CE=4,設(shè)DH=x,則CH=8?x,EH=x+4,∴在Rt△CEH中,即解得:,故答案為:.【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì),根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)線段相等是解題關(guān)鍵.16、-10【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P(x,y),關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是(x,-y),關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是(-x,y),根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點,縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)得出m,n的值,從而得出mn.【詳解】解:∵點A(2,m)關(guān)于y軸的對稱點是B(n,5),∴n=-2,m=5,∴mn=-10.故答案為-10.【點睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱的兩點的坐標(biāo)之間的關(guān)系.關(guān)于y軸對稱的點,縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù),是需要識記的內(nèi)容.17、【分析】由三角形外角性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)得到∠BCD=30°,在直角三角形中,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半,由此可求得BD長,再利用勾股定理即可求得CD長.【詳解】解:∵在△ABC中,∠A=15°,AC=BC,∴∠A=∠CBA=15°,∴∠BCD=∠A+∠CBA=30°.又BD⊥AD,AC=BC=6,∴BD=BC=×6=3∴在Rt△BCD中,CD=.故答案是:.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理.熟練掌握含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.18、【分析】根據(jù)乘積二倍項和已知平方項確定出這兩個數(shù)為和,再利用完全平方式求解即可.【詳解】解:,.故答案為:16.【點睛】本題主要了完全平方式,根據(jù)乘積二倍項確定出這兩個數(shù)是求解的關(guān)鍵.三、解答題(共78分)19、(1)見解析;(2)見解析【分析】(1)①以B為圓心,任意長為半徑畫弧,交AB、BC于F、N,再以F、N為圓心,大于FN長為半徑畫弧,兩弧交于點M,過B、M畫射線,交AC于D,線段BD就是∠B的平分線;②分別以A、B為圓心,大于AB長為半徑畫弧,兩弧交于X、Y,過X、Y畫直線與AB交于點E,點E就是AB的中點;(2)首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ABD的度數(shù),進(jìn)而得到∠ABD=∠A,根據(jù)等角對等邊可得AD=BD,再加上條件AE=BE,ED=ED,即可利用SSS證明△ADE≌△BDE.【詳解】解:(1)作出的平分線;作出的中點.(2)證明:,,,,在和中,.【點睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖,以及全等三角形的判定,關(guān)鍵是掌握基本作圖的方法和證明三角形全等的判定方法.20、(1);(2)時,與全等,證明見解析;(3)當(dāng)或時,為等腰三角形【分析】(1)由題意根據(jù)圖形點的運動問題建立不等式組,進(jìn)行分析求解即可;(2)根據(jù)題意利用全等三角形的判定定理(SAS),進(jìn)行分析求證即可;(3)根據(jù)題意分和以及三種情況,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析計算.【詳解】(1)依題意,,.(2)時,與全等,證明:時,,,在和中,∵,,點是的中點,,,,(SAS).(3)①當(dāng)時,有;②當(dāng),有,∵,∴(舍去);③當(dāng)時有,∴;綜上,當(dāng)或時,為等腰三角形.【點睛】本題考查等腰三角形相關(guān)的動點問題,熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及運用數(shù)形結(jié)合的思維將動點問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.21、12【分析】先把R1、R2、R總關(guān)系式化簡為最簡形式,然后把未知數(shù)對應(yīng)的值代入,得出R總的值,再根據(jù)即可求出答案.【詳解】解:分式方程兩邊同乘以R1·R2·R總,得R1·R2=R2·R總+R1·R總把,代入上式,得:300=40·R總∴R總=7.5又∵,∴U=12【點睛】本題主要考查解分式方程,先把分式方程化簡,再把解方程,關(guān)鍵是掌握分式方程化簡的方法和步驟.22、(1)等邊三角形,證明見解析;(2),證明見解析.【分析】(1)根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì),即可完成證明;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,結(jié)合,可得;再根據(jù)平行線性質(zhì),得,,從而得到,即可得到答案.【詳解】(1)∵是等邊三角形∴∵∴,∴∴是等邊三角形;(2)∵是等邊三角形∴∵∴∵∴,在和中∴∴.【點睛】本題考查了等邊三角形、平行線、全等三角形的知識;解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形、平行線、全等三角形的性質(zhì),從而完成求解.23、(1)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為;(2);(3);(4)【分析】(1)分別令和,即可得到點的坐標(biāo)和點的坐標(biāo);(2)把代入中即可解得表達(dá)式;(3)根據(jù)軸得點的橫坐標(biāo)都是,把分別代入、中,求得,即可求出t的值;(4)存在,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.【詳解】(1),令,則;令,則,故點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為(2)把代入,得解得直線的表達(dá)式為.(3)軸,點的橫坐標(biāo)都是,把分別代入、,得由題意,(4)C(2,0),F(xiàn)(t,-t+2),E(t,)可得,,由勾股定理得,若△CEF是直角三角形,解出存在的解即可①,即,解得,(舍去);②,即,解得(舍去),(舍去);③,即,解得,(舍去);∴【點睛】本題考查了直線解析式的問題,掌握直線解析式的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.24、(1)1;(2)1.【分析】(1)設(shè)長為,則,在中由勾股定理列方程,解方程即可求得的長;(2)由得出,由折疊的性質(zhì)得出,所以,得出【詳解】(1)設(shè)長為,則.在中,,,即.解得,所以的長為1.(2)∵四邊形是長方形,..由折疊,得,..【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和應(yīng)用,勾股定理的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是靈活運用平行的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識來解答.25、(1)見解析;(2)BD2+AD2=2CD2;(3)AB=2+1.【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD即可得到結(jié)論;(2)利用全等三角形的性質(zhì)及勾股定理即可證得結(jié)論;(3)連接EF,設(shè)BD=x,利用(1)、(2)求出EF=3x,再利用勾股定理求出x,即可得到答案.【詳解】(1)證明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.(2)解:由(1)得△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD,又∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB=∠CBA=∠CAE=15°,∴∠EAD=90°,在Rt△AD
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