第01講 為什么要證明、定義與命題(5類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第01講為什么要證明、定義與命題(5類熱點(diǎn)題型講練)1.了解推理的意義，知道要判斷一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，必須進(jìn)行推理；2.會用實驗驗證、舉出反例、推理等方法簡單地驗證一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確；3.理解定義、命題的概念，能區(qū)分命題的條件和結(jié)論，并把命題寫成“如果..--那么”的形式；4.了解真命題和假命題的概念，能判斷一個命題的真假性，并會對假命題舉反例；5.了解公理、定理與證明的概念并了解本套教材所采用的公理；6.體會命題證明的必要性,體驗數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.知識點(diǎn)01定義與命題1.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術(shù)語的意義的句子叫做定義.要點(diǎn)詮釋：（1）定義實際上就是一種規(guī)定.（2）定義的條件和結(jié)論互換后的命題仍是真命題.2.命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.要點(diǎn)詮釋：（1）命題的結(jié)構(gòu)：命題通常由條件（或題設(shè)）和結(jié)論兩部分組成.條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一般地，命題都可以寫成”如果……那么……”的形式,其中“如果”開始的部分是條件,“那么”后面是結(jié)論.（2）命題的真假：對于真命題來說，當(dāng)條件成立時，結(jié)論一定成立；對于假命題來說，當(dāng)條件成立時，不能保證結(jié)論正確，即結(jié)論不成立.知識點(diǎn)02證明的必要性要判斷一個命題是不是真命題，僅僅依靠經(jīng)驗、觀察、實驗和猜想是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進(jìn)行推理.推理的過程叫做證明.知識點(diǎn)03公理與定理1.公理：通過長期實踐總結(jié)出來，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理.要點(diǎn)詮釋：歐幾里得將“兩點(diǎn)確定一條直線”等基本事實作為公理.2.定理：通過推理得到證實的真命題叫做定理.要點(diǎn)詮釋：證明一個命題的正確性要按已知、求證、證明的順序和格式寫出.其中“已知”是命題的條件，“求證”是命題的結(jié)論，而“證明”則是由條件（已知）出發(fā)，根據(jù)已給出的定義、公理、已經(jīng)證明的定理，經(jīng)過一步一步的推理，最后證實結(jié)論（求證）的過程.題型01判斷是否是命題例題：（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）下列語句中不屬于命題的是（

）A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．如果，那么a、b互為相反數(shù)C．平行于同一條直線的兩條直線互相平行 D．過點(diǎn)A作射線【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·七年級無錫市天一實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列句子中，是命題的是（

）A．明天可能是晴天 B．這兩條直線平行嗎？C．過一點(diǎn)畫已知直線的垂線 D．直角三角形兩銳角互補(bǔ)2．（2023春·河北石家莊·七年級?？计谥校┫铝姓Z句不是命題的是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．同角的余角不相等C．反向延長線段到C D．兩個鈍角一定相等題型02判斷命題真假例題：（2023春·廣東佛山·七年級校考階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．不相交的兩條直線叫做平行線B．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行C．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？茧A段練習(xí)）下列命題是真命題的是（）A．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上B．在一次函數(shù)中，隨著的增大而增大C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)D．若，則2．（2023秋·山西臨汾·八年級校考期中）下列命題是假命題的是（

）A．對頂角相等 B．直角三角形的兩個銳角互余C．全等三角形的周長相等 D．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)題型03寫出命題的題設(shè)與結(jié)論例題：（2023秋·浙江杭州·八年級校考階段練習(xí)）命題“對頂角相等”改寫成：如果，那么．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？茧A段練習(xí)）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：．2．（2023春·西藏那曲·七年級統(tǒng)考期末）命題“同位角相等，兩直線平行”的題設(shè)是，結(jié)論是，此命題是命題（填“真”或“假”）題型04寫出命題的逆命題例題：（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）命題“若，則”的逆命題是．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北邢臺·八年級校考階段練習(xí)）命題“若兩個角互補(bǔ)，則這兩個角必為一個銳角一個鈍角”的逆命題是．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）命題“如果兩個實數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是．它是命題．（填“真”或“假”）題型05用反證法證明命題例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）用反證法證明：任意三角形的三個外角中至多有一個直角．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）用反證法證明：的三個內(nèi)角中至少有兩個銳角．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）用反證法證明：(1)已知：，求證：a必為負(fù)數(shù)．(2)求證：形如的整數(shù)k（n為整數(shù)）不能化為兩個整數(shù)的平方和．一、單選題1．（2023秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列語句是命題的是（

）A．在線段上取點(diǎn)C B．作直線的垂線 C．垂線段最短嗎？ D．相等的角是對頂角2．（2023春·河北滄州·七年級校考階段練習(xí)）“過平面上兩點(diǎn)，有且只有一條直線”屬于（

）A．定義 B．定理 C．基本事實 D．以上答案都不對3．（2023秋·河北邢臺·八年級邢臺三中校聯(lián)考階段練習(xí)）“等角的余角相等”的逆命題是（

）A．等角的補(bǔ)角相等 B．如果兩個角相等，那么它們的余角也相等C．如果兩個角的余角相等，那么這兩個角相等 D．同角的余角相等4．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）下列命題中，真命題是（

）A．有兩組邊相等的兩個直角三角形全等B．有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．有兩邊及其中一邊所對的角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．有兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等5．（2023秋·浙江金華·九年級?？奸_學(xué)考試）用反證法證明，“在中，、對邊是、．若，則．”第一步應(yīng)假設(shè)（

）A． B． C． D．6．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）下列命題；①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；其中真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題7．（2023秋·福建泉州·八年級泉州五中校考階段練習(xí)）“若，則，”的逆命題是命題（選填“真”或“假”）．8．（2023春·廣東江門·八年級?？计谥校┌选耙粋€銳角的補(bǔ)角大于這個銳角的余角”寫成“如果…那么…”的形式．9．（2023春·河南鄭州·八年級期末）等邊三角形三邊相等的逆命題為．10．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）用反證法證明“已知，．求證：”．第一步應(yīng)先假設(shè)．11．（2023春·貴州畢節(jié)·七年級校聯(lián)考期中）下列四個命題：①對頂角相等；②等角的補(bǔ)角相等；③如果，那么；④同位角相等．其中是說法正確的有．12．（2023春·四川廣元·七年級校聯(lián)考期中）命題“如果實數(shù)、滿足，那么”的題設(shè)是，它是命題（填“真”或“假”）．三、解答題13．（2023春·七年級課時練習(xí)）求證：四邊形中至少有一個角是鈍角或直角．14．（2023秋·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）證明：如果兩個三角形有兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．15．（2023春·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期中）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．(1)兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補(bǔ)角；(2