2022-2023學(xué)年湖南師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年湖南師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知直線l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的17A．53 B．103 C．563．（5分）某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（）A．14 B．16 C．20 D．484．（5分）某一電子集成塊有三個(gè)元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有故障相互獨(dú)立．已知至少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行．若每個(gè)元件能．正常工作的概率均為45A．1231 B．48125 C．16255．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)（t，f（t））處切線的斜率為k，則函數(shù)k＝g（t）的部分圖象為（）A． B． C． D．6．（5分）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和兩點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．47．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的交點(diǎn)，若|FP|＝4|FQ|，則|FQ|＝（）A．4 B．52 C．32或528．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）時(shí)，若f（x）≥1恒成立，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知(aA．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256 B．第6項(xiàng)的系數(shù)最大 C．存在常數(shù)項(xiàng) D．有理項(xiàng)共有6項(xiàng)（多選）10．（5分）設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Tn是其前n項(xiàng)的積，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，則下列結(jié)論正確的是（）A．q＞1 B．a(chǎn)8＝1 C．T10＞T6 D．T7與T8均為Tn的最大值（多選）11．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝23，沿對角線AC將矩形折成一個(gè)大小為θ的二面角B﹣AC﹣D，若cosθ=1A．四面體ABCD外接球的表面積為16π B．點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為23 C．四面體ABCD的體積為42D．異面直線AC與BD所成的角為45°（多選）12．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距為6，焦點(diǎn)為F1、F2，長軸的端點(diǎn)為A1A．若△MF1F2的周長為16，則橢圓的方程為x2B．若△MF1F2的面積最大時(shí)，∠F1MF2＝120°，則e=3C．若橢圓C上存在點(diǎn)M使MF1→?MF2D．以MF1為直徑的圓與以A1A2為直徑的圓內(nèi)切三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班．假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會被選到，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為．14．（5分）直線y=23x與雙曲線x2a2-y28=1(a＞0)相交于A15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+mex有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．16．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)a1＝3，且對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得a1+a2+…+an＝am，則這樣的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝ax2+6lnx，a∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a＝﹣3，求函數(shù)f（x）的極值．18．（12分）有3臺機(jī)床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺機(jī)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%．（1）任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；（2）任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品的條件下，零件來自第一臺機(jī)床將損失1萬元，來自第二臺機(jī)床將損失2萬元，來自第三臺機(jī)床將損失3萬元．設(shè)該工廠的損失為X萬元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，對任意的n∈N*，它的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=16an2+12an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝（﹣1）n+1an?an+1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n．20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2（1）求證：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知點(diǎn)H在棱PD上，且異面直線AH與PB所成的夾角為θ，求cosθ的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)g（x）=x22+（1）函數(shù)f（x）＝g（x）﹣mx，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2（x1＜x2）是（1）中函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若m≥72，求f（x1）﹣f（x22．（12分）已知橢圓C：x24+y23=1，A1，A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，（1）求直線QA1和QA2的斜率之積；（2）直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（l不過點(diǎn)A2），直線MA2與直線NA2的斜率分別是k1，k2且k1k2=-94，直線A1M和直線A2N交于點(diǎn)P（x0，y①探究直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請說明理由；②證明：x0為定值，并求出該定值．

2022-2023學(xué)年湖南師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知直線l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若l1∥l2，則m×[﹣（m﹣1）]＝﹣2×1，∴m＝2或m＝﹣1，當(dāng)m＝﹣1時(shí)，直線l1：x+2y﹣1＝0，l2：x+2y﹣1＝0重合，∴m＝2，故m＝2是l1∥l2的充要條件．故選：C．2．（5分）《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的17A．53 B．103 C．56【解答】解：設(shè)5人分到的面包從小到大記下為{an}，則S5=5(a所以a3＝20，因?yàn)閍3+a4+a5＝7（a1+a2），所以60+3d＝7（40﹣3d），解得d=55所以a1＝a3﹣2d＝20-55故選：A．3．（5分）某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（）A．14 B．16 C．20 D．48【解答】解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，由于甲有兩個(gè)人參加會議需要分兩類：①含有甲的選法有C21C42種，②不含有甲的選法有C43種，共有C21C42+C43＝16（種），故選：B．4．（5分）某一電子集成塊有三個(gè)元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有故障相互獨(dú)立．已知至少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行．若每個(gè)元件能．正常工作的概率均為45A．1231 B．48125 C．1625【解答】解：記事件A為該集成塊能夠正常工作，事件B為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，則A為該集成塊不能正常工作，所以P（A）＝1﹣P（A）＝1-(15)3=124所以P（B|A）=P(AB)故選：A．5．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)（t，f（t））處切線的斜率為k，則函數(shù)k＝g（t）的部分圖象為（）A． B． C． D．【解答】解：∵f（x）＝xsinx+cosx∴f′（x）＝（xsinx）′+（cosx）′＝x（sinx）′+（x）′sinx+（cosx）′＝xcosx+sinx﹣sinx＝xcosx∴k＝g（t）＝tcost根據(jù)y＝cosx的圖象可知g（t）應(yīng)該為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)g（t）＞0故選：B．6．（5分）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和兩點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：∵∠APB＝90°，∴點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓O，故點(diǎn)P是圓O與圓C的交點(diǎn)，因此兩圓相切或相交，即|m﹣1|≤32解得4≤m≤6．∴m的最小值為4．故選：D．7．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的交點(diǎn)，若|FP|＝4|FQ|，則|FQ|＝（）A．4 B．52 C．32或52【解答】解：由已知拋物線方程可得F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x＝﹣1，如圖所示：當(dāng)Q在線段PF上時(shí)，過Q作QM⊥l，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)S，由拋物線的定義可得|FQ|＝|MQ|，在三角形PSF中，MQ∥SF，所以|MQ||SF|=|PQ||PF|，而|FP|＝4|所以|MQ|2所以|MQ|=32，即|FQ|當(dāng)Q在PF的延長線上，過Q作QN⊥l，所以在三角形PNQ中，|NQ|＝|FQ|，且|SF||NQ|所以|NQ|=5綜上，|FQ|=3故選：C．8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）時(shí)，若f（x）≥1恒成立，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）【解答】解：函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞），f（1）＝1．f′（x）＝ex﹣1-1x-a＝g（x），x∈[1，+∞），可得函數(shù)g（x）在f′（1）＝﹣a，令f′（1）＝﹣a≥0，解得a≤0．∴函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（1）＝1，滿足題意．令f′（1）＝﹣a＜0，解得a＞0．存在x0＞1，使得f′（x0）＝0，∴函數(shù)f（x）在x∈[1，x0）上單調(diào)遞減，∴f（x0）＜f（1）＝1，不滿足題意，舍去．綜上可得函數(shù)f（x）的取值范圍為（﹣∞，0]．故選：A．二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知(aA．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256 B．第6項(xiàng)的系數(shù)最大 C．存在常數(shù)項(xiàng) D．有理項(xiàng)共有6項(xiàng)【解答】解：對于二項(xiàng)式(ax+1x2)故有a＝1或a＝﹣3（舍去），所以該二項(xiàng)式為(x+1x2則展開的通項(xiàng)公式為Tr+1=C10r故當(dāng)r＝5時(shí)，系數(shù)最大，即第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故B正確；令10-5r2=0，求得r＝2，可得該二項(xiàng)式存在常數(shù)項(xiàng)，故令10-5r2為整數(shù)，可得r＝0，2，4，6，8，10，故該二項(xiàng)式存在6個(gè)有理項(xiàng)，故D故選：BCD．（多選）10．（5分）設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Tn是其前n項(xiàng)的積，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，則下列結(jié)論正確的是（）A．q＞1 B．a(chǎn)8＝1 C．T10＞T6 D．T7與T8均為Tn的最大值【解答】解：根據(jù)題意，{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Tn是其前n項(xiàng)的積，由T7＝T8可得a8=T8T由T6＜T7可得a7＞1，則q=a8a7{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q∈（0，1），則有a1＞a2＞……＞a7＞a8＝1＞a9＞a10＞……，對于C，T10T6=a7a8a9a10＝（a8a9）2＝a92＜1，則有T10＜T對于D，T1＜T2……＜T7＝T8＞T9＞T10……，則T7與T8均為Tn的最大值，D正確，故選：BD．（多選）11．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝23，沿對角線AC將矩形折成一個(gè)大小為θ的二面角B﹣AC﹣D，若cosθ=1A．四面體ABCD外接球的表面積為16π B．點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為23 C．四面體ABCD的體積為42D．異面直線AC與BD所成的角為45°【解答】解：如圖，因?yàn)椤鰽BC和△ADC都是以AC為斜邊的直角三角形，則AC為四面體ABCD外接球的直徑．因?yàn)锳B=2，BC=23，則2R＝AC所以四面體ABCD外接球的表面積為S＝4πR2＝16π，故A正確；分別作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，則θ=?EB由已知可得，EB=FD=3，AE=CF=1，EF=2．因?yàn)閨BD=3+4+3+23?3cos(π-θ)=8，所以因?yàn)镃D2+BD2＝12＝BC2，則CD⊥BD．同理AB⊥BD．又CD⊥AD，AD∩BD＝D，AD，BD?平面ABD，則CD⊥平面ABD，所以V=13S△ABD×CD=13則AC→?BD→=所以異面直線AC與BD所成的角為45°，故D正確，故選：ACD．（多選）12．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距為6，焦點(diǎn)為F1、F2，長軸的端點(diǎn)為A1A．若△MF1F2的周長為16，則橢圓的方程為x2B．若△MF1F2的面積最大時(shí)，∠F1MF2＝120°，則e=3C．若橢圓C上存在點(diǎn)M使MF1→?MF2D．以MF1為直徑的圓與以A1A2為直徑的圓內(nèi)切【解答】解：由橢圓C：x則2c＝6，即c＝3，對于選項(xiàng)A，因?yàn)椤鱉F1F2的周長為16，則2a+2c＝16，即a＝5，則b＝4，即橢圓的方程為x2即選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，點(diǎn)M在短軸頂點(diǎn)處，又∠F1MF2＝120°，則ca即e=3即選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，橢圓C上存在點(diǎn)M使MF設(shè)N為短軸頂點(diǎn)，則∠F1NF2≥90°，即∠ONF2≥45°，則ca即e∈[2即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，設(shè)以MF1為直徑的圓的圓心為O1，則|OO即以MF1為直徑的圓與以A1A2為直徑的圓內(nèi)切，即選項(xiàng)D正確，故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班．假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會被選到，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為56165【解答】解：設(shè)甲班恰有2名同學(xué)被選到為事件A，基本事件總數(shù)為C12事件A包含的基本事件數(shù)為C42?∴P（A）=168故答案為：5616514．（5分）直線y=23x與雙曲線x2a2-y28=1(a＞0)相交于A，B【解答】解：∵直線y=23x∴兩交點(diǎn)A，B也關(guān)于原點(diǎn)對稱，又兩交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之積為﹣9，∴兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±3，又交點(diǎn)在直線y=2∴其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），將其代入雙曲線方程：x2可得9a2-∴解得a=6，又b2＝8，∴c=∴該雙曲線的離心率為ca故答案為：21315．（5分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+mex有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1e【解答】解：因?yàn)閒（x）＝xlnx+mex，所以f'（x）＝1+lnx+mex，令f'（x）＝0，得-m=1+lnx要使函數(shù)f（x）＝xlnx+mex有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需-m=1+lnx從而函數(shù)g(x)=1+lnxex與yg'(x)=1x-1-lnx則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減且h（1）＝0，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）≥0，即g'（x）≥0，g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故g(x令g(x)=1+lnxex當(dāng)0＜x＜1e時(shí)，1+lnx＜0，g（x）＜0，當(dāng)x＞1e時(shí)，1+lnx＞0，若f（x）有兩極值點(diǎn)，只要y＝﹣m和g（x）的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0＜-m＜1故實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1故答案為：(-16．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)a1＝3，且對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得a1+a2+…+an＝am，則這樣的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為3．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)a1＝3，且對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得a1+a2+…+an＝am，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，∴3n+n(n-1)d2=3+（m﹣1）d，不妨令n＝2，可得3＝（m即（m﹣2）d＝1×3＝3×1＝（﹣1）×（﹣3），由于m﹣2不會是﹣3，∴d＝3，1，﹣3，則這樣的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為3，故答案為：3．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝ax2+6lnx，a∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a＝﹣3，求函數(shù)f（x）的極值．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+6lnx，a∈R，x∈（0，+∞），f'(x)=2ax+6當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，取f'(x)=2ax2當(dāng)0＜x＜-3a時(shí)，f當(dāng)x＞-3a時(shí)，f綜上所述：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在(0，-3（2）當(dāng)a＝﹣3時(shí)，f'(x)=-6x+6x=-6(x2-1)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以f（x）有極大值為f（1）＝﹣3，無極小值．18．（12分）有3臺機(jī)床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺機(jī)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%．（1）任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；（2）任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品的條件下，零件來自第一臺機(jī)床將損失1萬元，來自第二臺機(jī)床將損失2萬元，來自第三臺機(jī)床將損失3萬元．設(shè)該工廠的損失為X萬元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）設(shè)B＝“任取一個(gè)零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車機(jī)床加工”，i＝1，2，3，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，依題意得P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，由全概率公式，得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525；（2）由題意得x的可能取值為1，2，3，則P(X=1)=0.25×0.06所以隨機(jī)變量X的分布列為：X123P223所以數(shù)學(xué)期望E(X)=1×219．（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，對任意的n∈N*，它的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=16an2+12an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝（﹣1）n+1an?an+1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n．【解答】解（1）∵對任意n∈N*，有Sn∴當(dāng)n＝1時(shí)，有S1=a1當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn-1①﹣②并整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，而數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1＝3，當(dāng)a1＝1時(shí)，an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，此時(shí)a4當(dāng)a1＝2時(shí)，an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，此時(shí)a4∴an（2）由（1）可知，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，且an＝3n﹣2，∴T2n＝b1+b2+…+b2n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）＝﹣6a2﹣6a4﹣…﹣6a2n＝﹣6（a2+a4+…+a2n）=-6×n(4+6n-2)＝﹣18n2﹣6n．20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2（1）求證：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知點(diǎn)H在棱PD上，且異面直線AH與PB所成的夾角為θ，求cosθ的取值范圍．【解答】解：（1）證明：∵平面ADPQ⊥平面ABCD，又平面ADPQ∩平面ABCD＝AD，PD?平面ADPQ，PD⊥AD，∴PD⊥平面ABCD，根據(jù)題意，分別以DA→，DC→，DP→的方向?yàn)閤軸，y則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），Q（2，0，1），P（0，0，2），∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，又PD⊥AD，PD∩CD＝D，PD?面PDC，CD?面PDC，∴AD⊥面PDC．∴AD→=(-2，0，0)是平面又QB→=(0，2，-1)，∴又直線QB?平面PDC，∴QB∥平面PDC；（2）∵PB→設(shè)n1→=(則n1→?PB→設(shè)n2→=(x則n2→?PB→∴cos?n∴二面角C﹣PB﹣Q的正弦值為1-(（3）設(shè)H（0，0，h）（0≤h＜2），則AH→又PB→=(2，2，-2)，∴cosθ=|-4-2h|設(shè)f(x)=2+x34+x則f'(x)=2(2-x)∴f（x）在區(qū)間[0，2）上單調(diào)遞增，又f（0）=33，f（2）∴33∴cosθ的取值范圍為[33，621．（12分）已知函數(shù)g（x）=x22+（1）