第一章 矩陣的相似變換課件

矩陣?yán)碚?/p>

第一章矩陣的相似變換1.1特征值與特征向量第一章矩陣的相似變換定義設(shè)，如果存在和非零向量，使，則叫做的特征值，叫做的屬于特征值的特征向量。第一章矩陣的相似變換（3）屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：（2）特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。（1）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。第一章矩陣的相似變換（4）設(shè)是的個(gè)互不同的特征值，的幾何重?cái)?shù)為，是對應(yīng)于的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則的所有這些特征向量仍然是線性無關(guān)的。第一章矩陣的相似變換（5）設(shè)階方陣的特征值為，則

第一章矩陣的相似變換1.2相似對角化定義：設(shè)，若存在使得則稱相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

第一章矩陣的相似變換

定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。例1

判斷矩陣是否可以對角化？解：先求出的特征值第一章矩陣的相似變換于是的特征值為（二重）由于是單的特征值，它一定對應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量。下面我們考慮第一章矩陣的相似變換于是從而不相似對角矩陣。第一章矩陣的相似變換1.3Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹第一章矩陣的相似變換第一章矩陣的相似變換1.5向量的內(nèi)積內(nèi)積的性質(zhì)：第一章矩陣的相似變換第一章矩陣的相似變換解：根據(jù)定義可知例在中求下列向量的長度第一章矩陣的相似變換定義：長度為1的向量稱為單位向量，對于任何一個(gè)非零的向量，向量是單位向量，稱此過程為單位化。定義：如果，則稱與正交。第一章矩陣的相似變換定義設(shè)為一組不含有零向量的向量組，如果內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱其為正交向量組。定義

如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第一章矩陣的相似變換與向量組都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。例

在中向量組第一章矩陣的相似變換定理：正交的向量組是一個(gè)線性無關(guān)的向量組。反之，由一個(gè)線性無關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。Schmidt正交化與單位化過程:

設(shè)是個(gè)線性無關(guān)的向量，利用這個(gè)向量完全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第一章矩陣的相似變換第一步正交化容易驗(yàn)證是一個(gè)正交向量組.第一章矩陣的相似變換第二步單位化顯然是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例1

運(yùn)用正交化與單位化過程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。解：先正交化第一章矩陣的相似變換再單位化第一章矩陣的相似變換那么即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第一章矩陣的相似變換定義：設(shè)為一個(gè)階復(fù)矩陣，如果其滿足則稱是酉矩陣，一般記為設(shè)為一個(gè)階實(shí)矩陣，如果其滿足則稱是正交矩陣。第一章矩陣的相似變換例：是一個(gè)正交矩陣第一章矩陣的相似變換是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣第一章矩陣的相似變換（5）設(shè)且，如果則是一個(gè)酉矩陣。通常稱為Householder矩陣。是一個(gè)酉矩陣第一章矩陣的相似變換酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)，那么第一章矩陣的相似變換定理：設(shè)，是一個(gè)酉矩陣的充分必要條件為的個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第一章矩陣的相似變換1.6酉相似下的標(biāo)準(zhǔn)形定義：設(shè)，若存在

，使得則稱酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一個(gè)階復(fù)矩陣酉相似于一個(gè)上(下)三角矩陣。第一章矩陣的相似變換證明：用數(shù)學(xué)歸納法。的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè)的階數(shù)為時(shí)定理成立，考慮的階數(shù)為時(shí)的情況。取階矩陣的一個(gè)特征值，對應(yīng)的單位特征向量為，構(gòu)造以為第一列的階酉矩陣，因?yàn)闃?gòu)成的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故第一章矩陣的相似變換，因此第一章矩陣的相似變換令那么其中是階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在階酉矩陣滿足(上三角矩陣)注意:等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣的全部特征值.第一章矩陣的相似變換試求酉矩陣使得為上三角矩陣.解:首先求矩陣的特征值例:

已知矩陣第一章矩陣的相似變換所以為矩陣的三重特征值.當(dāng)時(shí),有單位特征向量再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量第一章矩陣的相似變換再解與內(nèi)積為零的方程組求得一個(gè)單位解向量取第一章矩陣的相似變換計(jì)算可得第一章矩陣的相似變換第一章矩陣的相似變換再求矩陣的特征值所以為矩陣的二重特征值.當(dāng)時(shí),有單位特征向量令第一章矩陣的相似變換再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量第一章矩陣的相似變換取計(jì)算可得第一章矩陣的相似變換令于是有第一章矩陣的相似變換第一章矩陣的相似變換矩陣即為所求的酉矩陣.正規(guī)矩陣定義:

設(shè),如果滿足則第一章矩陣的相似變換那么稱矩陣為一個(gè)正規(guī)矩陣.設(shè),如果同樣滿足那么稱矩陣為一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣.例:

(1)

為實(shí)正規(guī)矩陣

第一章矩陣的相似變換(2)其中是不全為零的實(shí)數(shù),容易驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣.第一章矩陣的相似變換(3)這是一個(gè)正規(guī)矩陣.(4)Hermite陣,反Hermite陣,正交矩陣,酉矩陣,對角矩陣都是正規(guī)矩陣.第一章矩陣的相似變換引理1:

設(shè)是一個(gè)正規(guī)矩陣,則與酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理2:設(shè)是一個(gè)三角矩陣,則是正規(guī)矩陣的充要條件是為對角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理:

設(shè),則是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個(gè)酉矩陣使得正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理第一章矩陣的相似變換其中是矩陣的特征值.推論

:階正規(guī)矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.第一章矩陣的相似變換例1:

設(shè)求正交矩陣使得為對角矩陣.解:

先計(jì)算矩陣的特征值第一章矩陣的相似變換其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將單位化并正交化,得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量第一章矩陣的相似變換對于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量第一章矩陣的相似變換將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣第一章矩陣的相似變換則矩陣即為所求正交矩陣且有例2:

設(shè)求酉矩陣使得為對角矩陣.第一章矩陣的相似變換解:先計(jì)算矩陣的特征值其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系第一章矩陣的相似變換現(xiàn)在將單位化,得到一個(gè)單位向量對于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量第一章矩陣的相似變換對于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量第一章矩陣的相似變換將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣則矩陣即為所求酉矩陣且有第一章矩陣的相似變換推論：

1Hermite矩陣的特征值為實(shí)數(shù);反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù).2實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù);實(shí)反對稱矩陣的特征值為零或純虛數(shù).3是正規(guī)矩陣，是的特征值，是對應(yīng)的特征向量，則是的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為。

4是正規(guī)矩陣，則屬于不同特征值的特征向量正交。

第一章矩陣的相似變換例

:設(shè)是一個(gè)階Hermite

陣且存在自然數(shù)使得,證明:.證明:由于是正規(guī)矩陣,所以存在一個(gè)酉矩陣使得第一章矩陣的相似變換于是可得從而這樣即第一章矩陣的相似變換Hermite正定矩陣定義:

設(shè)是Hermite矩陣，如果