奧數(shù)牛頓問題

[閱讀材料]世界名題與小升初之：牛頓問題在各類競賽中，各類小升初考試中相關(guān)的世界名題出現(xiàn)的概率極高，這是由小升初與數(shù)學(xué)競賽的特點決定，這特點便是：知識性，趣味性，思想性相結(jié)合。以下用講義形式出示小升初考試中的各類牛頓問題，又叫牛吃草問題，可以歸類到工程問題中，初中學(xué)習(xí)時用多元一次方程組。引例：著名科學(xué)家牛頓著的《普通算術(shù)》一書有這樣一道題：12頭牛4周吃牧草格爾，同樣牧草，21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草，多少頭牛吃18周吃完〔格爾-—牧場面積單位〕？以后人們稱這類問題為牛頓的“牛吃草〞問題。解題技巧：牛吃草問題是一種較復(fù)雜的消元問題，這種題的關(guān)鍵是牧場上牧草的總數(shù)量在不斷地變化，因此要解答好這類題首先要分析清草的變化情況，即常說的新生量。然后再找出牧場上原有草的數(shù)量，只要你請注意了這兩點，就能很好地把問題解答出來。上題較難，學(xué)完下面的例題再看這題的解析：12頭牛4周吃牧草格爾，那么10格爾草地，12×3=36頭牛，吃4周。10格爾草地每周長草：〔21×9-36×4〕÷〔9-4〕=924格爾草地每周長草：9÷10×24=21.610格爾草地原來有草：21×9-9×9=108，24格爾草地原來有草：108÷10×24=259.2259.2÷18=14.414.4+21.6=36頭牛。答：24格爾牧草，36頭牛吃18周吃完【典型例題】基此題：勻速長草例1牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長.這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天.供25頭牛可吃幾天？分析與解例題的難點，難就難在牧場上牧草的總數(shù)量不確定，它隨著時間的增加而增加.但是不管它怎么增長，總草量總是由牧場原有草量和每天新長出的草量相加得來的.下面設(shè)法找出這兩個量來.從上面的圖可以看出：10頭牛20天吃的總草量比15頭牛10天吃的總草量多，多出局部相當(dāng)于10天新生長出的草量.為了求出一天新長的草量，下面進(jìn)行轉(zhuǎn)化.10頭牛吃20天相當(dāng)于200頭牛吃一天，或一頭牛吃200天.15頭牛吃10天相當(dāng)于150頭牛吃一天，或一頭牛吃150天.這一來每天新生的草量，相當(dāng)于5頭牛吃一天[5=〔10×20-15×10〕÷〔20-10〕].有了一天新生的草量相當(dāng)于5頭牛吃一天，那么，20天新生的草量就相當(dāng)于100頭牛吃一天.這一來原有的草量就相當(dāng)于100頭牛吃一天〔100=10×20-5×20〕.有了原有與新生的草量，問題便能很快求出解來.分步列式如下：10頭牛20天吃的草可供多少頭牛吃一天？10×20=200〔頭〕15頭牛10天吃的草可供多少頭牛吃一天？15×10=150〔頭〕〔20-10〕天新生的草可供多少頭牛吃一天？200-150=50〔頭〕每天新生的草可供多少頭牛吃一天？50÷10=5〔頭〕20天〔或10天〕新生的草可供多少頭牛吃一天？5×20=100〔頭〕或5×10=50〔頭〕原有草可供多少頭牛吃一天？200-100=100〔頭〕或150-50=100〔頭〕每天25頭牛中的5頭去吃新生的草，其余的牛吃原有的草，全部牧草幾天吃完？100÷〔25-5〕=5〔天〕綜合算式：[10×20-〔10×20-15×10〕÷〔20-10〕×20]÷〔25-5〕=5〔天〕答：25頭牛5天吃完.稍變化：草勻速減少例2由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少。經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？解：以1頭牛1天吃的草為1份。牧場上的草每天自然減少〔20×5-16×6〕÷〔6-5〕=4〔份〕；原來牧場有草〔20+4〕×5=120〔份〕；可供11頭牛吃120÷〔11+4〕=8〔天〕。稍變化：淘水例3一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？分析與解答這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加.所以總水量是個變量.而單位時間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長量是不變的.船內(nèi)原有的水量〔即發(fā)現(xiàn)船漏水時船內(nèi)已有的水量〕也是不變的量.對于這個問題我們換一個角度進(jìn)行分析。如果設(shè)每個人每小時的淘水量為“1個單位〞.那么船內(nèi)原有水量與3小時內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時淘水量×?xí)r間×人數(shù)，即1×3×10＝30.船內(nèi)原有水量與8小時漏水量之和為1×5×8=40。每小時的漏水量等于8小時與3小時總水量之差÷時間差，即〔40-30〕÷〔8-3〕=2〔即每小時漏進(jìn)水量為2個單位，相當(dāng)于每小時2人的淘水量〕。船內(nèi)原有的水量等于10人3小時淘出的總水量-3小時漏進(jìn)水量.3小時漏進(jìn)水量相當(dāng)于3×2=6人1小時淘水量.所以船內(nèi)原有水量為30-〔2×3〕=24。如果這些水〔24個單位〕要2小時淘完，那么需24÷2＝12〔人〕，但與此同時，每小時的漏進(jìn)水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14〔人〕。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必須求出原有的量及單位時間內(nèi)增加的量，這兩個量是不變的量.有了這兩個量，問題就容易解決了。稍變化：人口與資源例4假設(shè)地球上新生成的資源增長速度是一定的，照此計算，地球上的資源可供110億人生活90年；或供90億人生活210年。為了使人類能夠不斷繁衍，地球上最多能養(yǎng)活多少人？答案：75億人。解：〔90×210-110×90〕÷〔210-90〕=75億人。稍變化：排隊問題例5展覽會9點看門，但早就有人排隊等著入場。并且從第一個觀眾來到之后每分鐘來到的人數(shù)是一定的。如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊了，如果開5個入場口，9點5分就沒人排隊了。問第一個觀眾幾點來的？分析：又是典型的“牛吃草〞問題，需設(shè)工作效率是1，關(guān)鍵是求工作總量的變化率。解：設(shè)一個窗口一分鐘通過的觀眾人數(shù)是單位1，即1份量，那么3個窗口9分鐘通過的人數(shù)是3×9＝27份，5個窗口5分鐘通過的人數(shù)是3×9＝25份，那么1分鐘來的人數(shù)是〔27－25〕÷〔9－5〕＝0.5份，于是很容易求出9點的時候有觀眾是27－0.5×9＝22.5份〔或25－0.5×5＝22.5份〕，來這些觀眾所需時間是22.5÷0.5=45〔分鐘〕，所以第一個觀眾來的時候是8點15分。答：第一個觀眾來的時候是8點15分。通過以上幾個例題，我們可以看到，解決好牛吃草問題，有以下幾個關(guān)鍵步驟：1．確定好吃草速度〔即每頭牛每天或每周所吃草為一個單位〕2．找到新生量及原有量。3．恰當(dāng)分配牛的吃草方式。下面我們來研究一下稍復(fù)雜的牛吃草問題復(fù)雜變化：合做工程題例6甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機和12個工人，5小時可將甲倉庫里面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輸送機和28個工人，3小時可將倉庫內(nèi)面粉搬完；丙倉庫現(xiàn)有2臺皮帶輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，同時還要多少個工人？〔每個工人每小時工效相同，每臺皮帶輸送機每小時工效也相同，另外皮帶輸送機與工人一起往外搬運面粉〕分析與解這是“牛吃草〞問題的一種變式.在“牛吃草〞問題中，新長出的草與牛吃掉的草，兩者是相減的關(guān)系，而這里皮帶輸送機的搬運量與工人的搬運量是相加的關(guān)系.這里雖然沒有“原有的草〞這一角色，但我們?nèi)钥梢圆捎谩芭３圆莰暤慕忸}思路來解這題.設(shè)1個工人1小時搬運的面粉數(shù)量為1，那么甲倉庫存放的面粉數(shù)量=1臺皮帶輸送機1小時的輸送量×5+1×12×5①乙倉庫存放的面粉數(shù)量=1臺皮帶輸送機1小時的輸送量×3+1×28×3②因為甲、乙兩倉庫存放的面粉數(shù)量相等，比照上面①、②兩式，所以有：1臺皮帶輸送機1小時的輸送量×〔5-3〕=1×28×3-1×12×5，這樣便求出1臺皮帶輸送機1小時的輸送量是幾.有了這個量便可求出甲、乙、丙三個倉庫存放的面粉量，最后就能求出需要多少工人.分步列式如下：設(shè)1個工人1小時搬運的面粉量為1.1臺皮帶輸送機1小時的輸送量是幾？〔1×28×3-1×12×5〕÷〔5-3〕=12甲、乙、丙三個倉庫每一個倉庫存放的面粉數(shù)量是幾？1×28×3+12×3=120或1×12×5+12×5=1202臺皮帶輸送機工作2小時后，丙倉庫中還剩面粉數(shù)量是幾？120-12×2×2=722小時把丙倉庫搬空，還需要工人多少名？72÷2=36答：還需要36名工人.稍變化：漏水例7小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水。第一個桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿。第三個桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿〔假設(shè)小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變〕。答案：6小方裝第二個桶比第一個桶多用了一杯水，同時多走了2×4-1×3=5米路，也就是主小方走1米的時間等于漏杯水的時間，于是1桶水等于3-3×=杯水，所以小方要÷〔1-3×〕=6次才能把第三個桶裝滿。稍變化：水管問題例8一個蓄水池裝有9根水管，其中1根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管。開始進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個蓄水池蓄水。池內(nèi)注入了一些水后，有人想把出水管也翻開，使池內(nèi)的水再全部排光。如果把8根出水管全部翻開，需要3小時可將池內(nèi)的水排光；而假設(shè)僅翻開3根出水管，那么需要18小時。問如果想要在8小時內(nèi)將池中的水全部排光，最少要翻開幾根出水管？把出水管每小時的排水量看作1份，那么8根出水管3小時排水8×3=24份，3根出水管18小時排水18×3=54份。依題意24份為水池中原有的蓄水量加上進(jìn)水管3小時的入水量，而54份為水池中原有的蓄水量加上進(jìn)水管18小時的入水量，因此進(jìn)水管每小時的入水量為〔54-24〕÷〔18-3〕=2份，水池中原有的水是24-3×2=18份。為使原有的18份水在8小時內(nèi)放光，每小時至少應(yīng)排水18÷8=2.25份，又每小時時宜水管還將注入水2份，故出水管每小時的總排水量至少應(yīng)為2+2.25=4.25份。每根出水管1小時排水1份，又出水管的根數(shù)是整數(shù)，故最少要翻開5根出水管。較難：草地在變例912頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草〔每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等〕？分析解題的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12頭牛28天吃完10公畝牧場上的牧草.相當(dāng)于一公畝原來的牧草加上28天新生長的草可供33.6頭牛吃一天〔12×28÷10＝33.6〕。21頭牛63天吃完30公畝牧場上的牧草，相當(dāng)于一公畝原有的草加上63天新生長的草可供44.1頭牛吃一天(63×21÷30＝44.l〕。一公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天，即〔44.l-33.6〕÷〔63-28〕=0.3〔頭〕。一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即33.6-0.3×28=25.2〔頭〕。72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天.即72×25.2÷126=14.4〔頭〕。72公畝每天新生長的草量可供21.6頭牛吃一天.即72×0.3=21.6〔頭〕。所以72公畝牧場上的牧草共可以供36〔=14.4＋21.6〕頭牛吃126天.問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？〔63×2i÷30-12×28÷10〕÷〔63-28〕=0.3〔頭〕。一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？12×28÷10-0.3×28=25.2〔頭〕。72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？72×25.2÷126+72×0.3=36〔頭〕。答：72公畝的牧草可供36頭牛吃126天。較難變化：牛羊轉(zhuǎn)換例10一片牧草，每天生長的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者可供80只羊吃12天.如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？解：10頭牛與60只羊一起吃，可吃8天.〔都按牛計算〕16頭牛20天吃的草可供多少頭牛吃一天？20×16=32080只羊〔即20頭?！吵?2天的草量可供多少頭牛吃一天？20×12=240〔20-12〕天新長的草可供多少頭牛吃一天？320-240=80每天新長的草可供多少頭牛吃一天？80÷8=10原有的草可供多少頭牛吃一天？320-10×20=120或240-10×12=12010頭牛與60只羊〔即25頭?！持械?0頭牛去吃每天新長出的草，余下的〔25-10=〕15頭牛去吃原有的草，原有的草可供15頭牛吃幾天？120÷15=8〔還可以都按羊計算，略〕較難變化：牛在變例11有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛那么24天可將草吃完.現(xiàn)有牛假設(shè)干頭，吃6天后賣了4頭，余下的牛再吃2天便將草吃完，問有牛多少頭〔草每日勻速生長〕？分析與解假設(shè)每頭牛每天所吃的草量為1，那么牧場原有的草與30天新長的草的和便是1×17×30=510.牧場原有的草與24天新長的草的和便是1×19×24=456.牧場一天新長的草為〔510-456〕÷〔30-24〕=9.牧場原有的草為510-9×30=240.如果不賣4頭牛，那么假設(shè)干頭牛8天所吃的草，等于牧場原有的草與8天新長草的和再加上4頭牛2天所吃的草.即240+9×8+1×2×4=320.而一頭牛8天吃草量為1×8=8，所以牛的頭數(shù)為320÷8=40〔頭〕.設(shè)每頭牛每天所吃的草量為1.牧草一日新長的草量為幾？〔1×17×30-1×19×24〕÷〔30-24〕=9牧草原有的草量為幾？510-9×30=240假設(shè)干頭牛8天所吃的草量為幾？240+9×8+1×2×4=320牛的頭數(shù)是多少？320÷8=40〔頭〕答：牛的頭數(shù)為40.較難：牛與草地都變化例12：2004仁華學(xué)校素質(zhì)調(diào)查六年級三卷第8題分析如圖，一塊正方形的草地被分為完全相等的四塊和中間的陰影局部，草在各處都是同樣速度勻速生長，老農(nóng)帶著一群牛先在①號草地上吃草，兩天之后把①號草地的草吃光?！苍谶@2天內(nèi)其它草地的草正常生長〕之后他讓一半牛在②號草地，一半牛在③號草地吃草，6天之后又將兩個草地的草吃光，然后老農(nóng)把EQ\F(1,3)的牛放在陰影局部的草地中吃草另外EQ\F(2,3)的牛放在④號草地吃草結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時把草場上的草吃完。那么如果一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，那么吃完這些草需要多少時間？分析與解：在牛吃草問題中總是把每頭牛吃的草量看作是一定的，要不就沒法做了。在這道題中我們不必像別的牛吃草問題中把每頭牛吃的草量看作一份，可以把整群牛每天吃的草量看作1份。然后按照一般牛吃草問題，重點考慮某段時間內(nèi)牛吃草的份數(shù)與單位草場上原有草及每天新長出草的關(guān)系。由“老農(nóng)帶著一群牛先在①號草地上吃草，兩天之后把①號草地的草吃光。〞可得：①號地原有草量+①號地每天新長草量×2=1份×2由“讓一半牛在②號草地，一半牛在③號草地吃草，6天之后又將兩個草地的草吃光〞可理解為一群牛在2倍于①號的草地上吃6天，而這2倍的①號草地上的草已經(jīng)長了8天，因此得：①號地原有草量×2+①號地每天新長草量×2×〔2+6〕=1份×6比擬上面的兩個式子可以解得：①號地每天新長草量=EQ\F(1,6)份，①號地原有草量=EQ\F(5,3)份，接著考慮陰影面積與第三塊地的面積之間的關(guān)系。由條件“老農(nóng)把EQ\F(1,3)的牛放在陰影局部的草地中吃草另外EQ\F(2,3)的牛放在④號草地吃草結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時把草場上的草吃完〞可得：④號也就是①號的面積是陰影面積的2倍，因此整個正方形的面積可看作①號的4.5倍。因此，求最后結(jié)果可以列式為：EQ\F(5,3)×4.5÷〔1-EQ\F(1,6)×4.5〕=30〔天〕。解釋一下上式：EQ\F(5,3)×4.5表示整個草地原有的草量，EQ\F(1,6)×4.5表示整個草地每天新長草量，〔1-EQ\F(1,6)×4.5〕表示這群牛每天吃掉多少的原有草量，最后除得共需30天。上題只要按照牛吃草問題的一般解法，確定以一群牛每天吃草量為1份，根據(jù)圖形各局部面積關(guān)系確定①號圖形的面積為一個面積單位，求出原有草量，新長草量，全題解題思路清晰，難度中等。但是，有一關(guān)鍵之處，在第二種情況中的草已經(jīng)長了8天，而牛只吃6天，如不能注意到這種不同之處，就可能要出錯。行程本質(zhì)：電梯問題與方案例13、自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上走1梯級，女孩每3秒鐘走2梯級。結(jié)果男孩用50秒到達(dá)樓上，女孩用60秒到達(dá)樓上。該樓梯共有多少級？例題分析：我們可以把此題看成和差倍差問題。例題求解：男孩50秒走了50×1＝50級；女孩60秒走了60÷3×2＝40級；女孩比男孩少走50－40＝10級，但是都到達(dá)，所以在60－50＝10秒內(nèi)電梯走了10級，所以共有50÷10×10＋50＝100級例14、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級梯級，女孩每秒可走2級梯級，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端，男孩用了100秒，女孩用了300秒。問：該扶梯共有多少梯級？例題求解：男孩100秒走了100×3＝300級女孩300秒走了300×2＝600級，因為是逆著走，所以開始在300－100＝200秒內(nèi)電梯走了600－300＝300級所以在1秒電梯走了300÷200＝1.5級男孩本每秒走3級，所以男孩與電梯每秒走3－1.5＝1.5;于是，共有1.5×100＝150級。例15、哥哥沿著向上移動的自動扶梯從頂向下走到底，共走了100級。在相同的時間內(nèi)，妹妹沿著自動扶梯從底向上走到頂，共走了50級。如果哥哥單位時間走的級數(shù)是妹妹的2倍，那么自動扶梯停止時，自動扶梯能看到的局部有多少級？例題分析：哥哥速度為哥哥速度－電梯速度；妹妹速度為妹妹速度＋電梯速度。以為同時走完，所以：哥哥速度＋電梯速度＝妹妹速度－電梯速度哥哥速度等于妹妹速度的2倍，所以：2妹妹速度－電梯速度＝妹妹速度＋電梯速度電梯速度＝妹妹速度所以自動扶梯在妹妹走的時間內(nèi)向上移動了(100-50)÷2＝25(級)，自動扶梯底可見局部為50＋25=75(級)上島地點路程〔千米〕時間〔分〕第1次：船站330第2次：水榭438第3次：江上之家545例16：冰雪節(jié)小冬去太陽島看雪雕，有兩種“走法〞：一是步行；二是乘馬爬梨。乘馬爬梨比步行速度快，但是每次都必須等候，且等候時間相同。小冬3次去看雪雕都從防洪紀(jì)念塔出發(fā)，他采用了花時間最少的“走法〞過江，如右表。如果上島地點在A地。江上路程8千米，小冬過江最少的用分。比擬法與牛吃草，2,3均乘馬爬梨，等候時間為10分鐘，每千米馬拉8分鐘，共10＋7×8＝答案66解題在于實踐：1．一水庫存水量一定，河水均勻入庫。5臺抽水機連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干。假設(shè)要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？6天抽完需要12臺同樣的抽水機.5臺抽20天相當(dāng)于1臺抽多少天？5×20=1006臺抽15天相當(dāng)于1臺抽多少天？6×15=90〔20-15〕天流入水庫的水相當(dāng)于1臺抽多少天？100-90=101天流入水庫的水相當(dāng)于1臺抽多少天？10÷5=2水庫原有的水相當(dāng)于1臺抽多少天？100-2×20=60或90-2×15=606天流入水庫的水相當(dāng)于1臺抽多少天？2×6=126天抽完需要多少臺抽水機？〔60+12〕÷6=122．有三塊草地，面積分別是5公頃，15公頃和24公頃。草地上的草一樣厚而且