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上海市寶山區(qū)同濟(jì)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值,給出下列四個(gè)結(jié)論:①在上單調(diào)遞增;②③在上沒(méi)有零點(diǎn);④在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④2.一小商販準(zhǔn)備用元錢(qián)在一批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種小商品,甲每件進(jìn)價(jià)元,乙每件進(jìn)價(jià)元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問(wèn)物幾何?”人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問(wèn)題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.4.已知向量,,當(dāng)時(shí),()A. B. C. D.5.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]6.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.7.一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上,且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.9.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④10.已知集合,,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.311.已知圓:,圓:,點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值是()A. B.9 C.7 D.12.下列函數(shù)中,圖象關(guān)于軸對(duì)稱的為()A. B.,C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對(duì)任意,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當(dāng)_________時(shí),為的幾何平均數(shù).(只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)14.已知拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,直線與交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)__________.15.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______.16.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且面面,分別為線段的中點(diǎn).為線段上的點(diǎn),且.(1)證明:為線段的中點(diǎn);(2)求二面角的余弦值.18.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問(wèn)題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和.若,求.20.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)記無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為,最小值為,令,則稱是“極差數(shù)列”.(1)若,求的前項(xiàng)和;(2)證明:的“極差數(shù)列”仍是;(3)求證:若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列.22.(10分)若不等式在時(shí)恒成立,則的取值范圍是__________.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】
先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值求出或.再根據(jù)已知求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,且,所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號(hào)②④故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2、D【解題分析】
由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【題目詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤(rùn)為元,由題意,畫(huà)出可行域如圖所示,顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí),最大.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,解決此類問(wèn)題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負(fù)數(shù),并準(zhǔn)確的畫(huà)出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】從21開(kāi)始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.4、A【解題分析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出,,即可求解.【題目詳解】,.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系,屬于中檔題.5、B【解題分析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.6、D【解題分析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【題目詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對(duì)角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.7、D【解題分析】
因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8、A【解題分析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【題目詳解】集合,,所以所以故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】
由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【題目詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯(cuò)誤.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).10、D【解題分析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【題目詳解】由題意得,,集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),,故的最大值為,故選B.考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對(duì)稱性,求出所求式子的最大值.12、D【解題分析】
圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【題目詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域?yàn)?,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
由定義可知三點(diǎn)共線,即,通過(guò)整理可得,繼而可求出正確答案.【題目詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點(diǎn)共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式,考查了推理能力,考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.14、【解題分析】
由于直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),因此過(guò),分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得,從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦,再求得正切即為直線斜率.注意對(duì)稱性,問(wèn)題應(yīng)該有兩解.【題目詳解】直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),,過(guò),分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義知,.因?yàn)?,所以.因?yàn)椋?,從而.設(shè)直線的傾斜角為,不妨設(shè),如圖,則,,同理,則,解得,,由對(duì)稱性還有滿足題意.,綜上,.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的性質(zhì),考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題,掌握拋物線的定義,把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來(lái)是解題關(guān)鍵.15、2【解題分析】
利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【題目詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、160【解題分析】
先求的展開(kāi)式中通項(xiàng),令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【題目詳解】解:因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為:;令,可得;的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:160.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解題分析】
(1)設(shè)為中點(diǎn),連結(jié),先證明,可證得,假設(shè)不為線段的中點(diǎn),可得平面,這與矛盾,即得證;(2)以為原點(diǎn),以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【題目詳解】(1)設(shè)為中點(diǎn),連結(jié).∴,,又平面,平面,∴.又分別為中點(diǎn),,又,∴.假設(shè)不為線段的中點(diǎn),則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線,從而平面,這與矛盾,所以為線段的中點(diǎn).(2)以為原點(diǎn),由條件面面,∴,以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的法向量為所以取,則,.同法可求得平面的法向量為∴,由圖知二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了立體幾何與空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1);(2)①82,②分布列見(jiàn)解析,【解題分析】
(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可;(2)①平均數(shù)的估計(jì)值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項(xiàng)分布,不是超幾何分布,利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【題目詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計(jì)所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為,∴;;;;∴的分布列為0123∵,∴數(shù)學(xué)期望.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的概率計(jì)算以及二項(xiàng)分布期望的問(wèn)題,涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí),是一道容易題.19、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解題分析】
(1)先設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出公比,即可得出通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,由等比數(shù)列的求和公式,即可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,,,或.(2)時(shí),,解得;時(shí),,無(wú)正整數(shù)解;綜上所述.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列,熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1);(2)20.【解題分析】
(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止,說(shuō)明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.分別求出取各個(gè)值時(shí)的概率,即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止,說(shuō)明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,所以1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率.(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.,∴隨機(jī)變量X的分布列為:X01020301P數(shù)學(xué)期望.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,
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