2024屆遼寧省遼陽(yáng)縣高三一模數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆遼寧省遼陽(yáng)縣高三一模數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，若、滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知整數(shù)滿(mǎn)足，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)滿(mǎn)足的概率為（）A． B． C． D．3．若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．在很多地鐵的車(chē)廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個(gè)坐位的寬度()，每個(gè)座位寬度為，估計(jì)彎管的長(zhǎng)度，下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是（）A． B． C． D．6．已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值為()A． B． C． D．67．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線(xiàn)的焦距為，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在圓上，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．9．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為-45，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．10．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤11．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．12．將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知單位向量的夾角為,則=_________.14．如圖在三棱柱中，，，，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.15．展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______________．16．已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，則的最小值等于__________，此時(shí)a=____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：18．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，求的值．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù))，直線(xiàn)的參數(shù)方程(為參數(shù))，若直線(xiàn)的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡是曲線(xiàn)（1）求曲線(xiàn)的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，設(shè)射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，，點(diǎn)為射線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)，求點(diǎn)的極徑.20．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）證明：21．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設(shè)，圓錐的側(cè)面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時(shí)腰的長(zhǎng)度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【題目詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，、滿(mǎn)足，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時(shí)，的最小值為.故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類(lèi)討論思想，是中等題．2、D【解題分析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè)，滿(mǎn)足條件的有7個(gè)，相除得到概率.【題目詳解】因?yàn)槭钦麛?shù)，所以所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是位于圓（含邊界）內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，滿(mǎn)足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè)，滿(mǎn)足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè)，則所求概率為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.3、B【解題分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【題目詳解】是純虛數(shù)，則，，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第二象限．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義．本題屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

設(shè)，，，根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算法則可表示出和；分別求解出和，，根據(jù)向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【題目詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，由題意得：，，，又即異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線(xiàn)所成角的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問(wèn)題.5、B【解題分析】

為彎管，為6個(gè)座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對(duì)的圓心角，再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【題目詳解】如圖所示，為彎管，為6個(gè)座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長(zhǎng)所以是最接近的，其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長(zhǎng).故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了弧長(zhǎng)公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線(xiàn)平行性質(zhì)，將線(xiàn)段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線(xiàn)距離.【題目詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，可知拋物線(xiàn)存在某條切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，設(shè)拋物線(xiàn)的切點(diǎn)為，則由可得，，所以切點(diǎn)為，則切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為線(xiàn)段的最小值，則.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.7、C【解題分析】

不妨設(shè)在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【題目詳解】不妨設(shè)在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、C【解題分析】

設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，判斷出點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，求得雙曲線(xiàn)的離心率.【題目詳解】設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，由于直線(xiàn)的斜率是，而圓，所以.由于是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，而，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，即，即.故選：C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查雙曲線(xiàn)的定義和離心率的求法，考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9、D【解題分析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開(kāi)，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)，即可求得的值.【題目詳解】∵所以展開(kāi)式中的系數(shù)為，∴解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【題目詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【題目詳解】由于故集合或故集合故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12、D【解題分析】

采取分類(lèi)計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開(kāi)始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【題目詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為，所以，所以==.14、【解題分析】

把繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【題目詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個(gè)平面，展開(kāi)圖如圖所示，若，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小為，為直角三角形，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，解直角三角形進(jìn)行求解，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.15、【解題分析】

把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得的展開(kāi)式中的系數(shù)．【題目詳解】解：，故它的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16、3【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進(jìn)而分析基本不等式成立的條件可得a的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，正數(shù)a、b滿(mǎn)足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3，此時(shí).故答案為：3；.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）遞減區(qū)間為（-1，0），遞增區(qū)間為（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷單調(diào)區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，.代入函數(shù)解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數(shù)的最小值，由對(duì)數(shù)式變形化簡(jiǎn)可證明，即成立，原不等式得證.【題目詳解】（1）函數(shù)可求得，則解得所以，定義域?yàn)椋趩握{(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2）證明：當(dāng)時(shí)，，因此要證當(dāng)時(shí)，，只需證明，即令，則，在是單調(diào)遞增，而，∴存在唯一的，使得，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，，故，從而，即，結(jié)論成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，屬于難題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為．（2）由題可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，符合題意．綜上，可得．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）將兩直線(xiàn)化為普通方程，消去參數(shù)，即可求出曲線(xiàn)的普通方程；（2）設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,求出，代入曲線(xiàn)C可求解.【題目詳解】（1）直線(xiàn)的普通方程為,直線(xiàn)的普通方程為聯(lián)立直線(xiàn),方程消去參數(shù)k,得曲線(xiàn)C的普通方程為整理得.（2）設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,由可得代入曲線(xiàn)C的方程可得，解得（舍），所以點(diǎn)的極徑為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，極徑的求法，屬于中檔題.20、（Ⅰ）最小值為；（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式，結(jié)合均值不等式可得結(jié)果；（2）利用分析法證明，結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【題目詳解】（Ⅰ）則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，所以的最小值為．（Ⅱ）要證明：，只需證：，即證明：，由，也即證明：．因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以【題目點(diǎn)撥】本題考查均值不等式，分析法證明不等式，審清題意，仔細(xì)計(jì)算，屬中檔題.21、（1）；（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由導(dǎo)函數(shù)求得有最小值，進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn)，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結(jié)合零點(diǎn)定義化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)；求得并令求得極值點(diǎn)，列出表格判斷的單調(diào)性與極值，即可確定與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【題目詳解】（1）依題意，，，設(shè)切點(diǎn)為，，故，故，則；令，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實(shí)數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線(xiàn)與曲線(xiàn)在有兩個(gè)交點(diǎn)”；由于.由，解得，.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，，，故?dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)