2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案詳解）

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）直線x+3A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=1+(?1)n（n∈N*），則{anA．4 B．6 C．8 D．103．（5分）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(?2，2，3)，若A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．64．（5分）等差數(shù)列{an}的公差為2，且a1+a5+a9＝15，則a2+a6+a10＝（）A．21 B．24 C．27 D．305．（5分）運(yùn)用微積分的方法，可以推導(dǎo)得橢圓x2a2+y2b車(chē)，車(chē)上有一個(gè)長(zhǎng)為7m的儲(chǔ)油罐，它的橫截面外輪廓是一個(gè)橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3m，短軸長(zhǎng)為1.8m，則該儲(chǔ)油罐的容積約為（π≈3.14）（）A．20m3 B．30m3 C．40m3 D．50m36．（5分）若拋物線x2＝2y上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A．92 B．8 C．172 7．（5分）在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA＝AB＝BC，則直線AB與SC夾角的余弦值是（）A．13 B．23 C．338．（5分）若系列橢圓Cn：anx2+y2=1（0＜anA．1?(14)n B．1?(二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）下列雙曲線中，以直線3x±4y＝0為漸近線的是（）A．x216?yC．x29?（多選）10．（5分）已知直線l的方向向量為μ→，兩個(gè)不重合的平面α，β的法向量分別為n1→A．若μ→∥n1→，則l⊥α B．若μC．若n1→∥n2→，則α∥β （多選）11．（5分）如圖所示幾何體，是由正方形ABCD沿直線AB旋轉(zhuǎn)90°得到，G是圓弧CE的中點(diǎn)，H是圓弧DF上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．存在點(diǎn)H，使得EH∥BD B．存在點(diǎn)H，使得EH⊥BG C．存在點(diǎn)H，使得EH∥平面BDG D．存在點(diǎn)H，使得直線EH與平面BDG的夾角為45°（多選）12．（5分）已知P是圓心為A，半徑為2的圓上一動(dòng)點(diǎn)，B是圓A所在平面上一定點(diǎn)，設(shè)|AB|＝t（t＞0）．若線段BP的垂直平分線與直線AP交于點(diǎn)M，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E，則（）A．當(dāng)0＜t＜2時(shí)，E為橢圓 B．當(dāng)t＞2時(shí)，E為雙曲線 C．當(dāng)t＞2時(shí)，E為雙曲線一支 D．當(dāng)t≠2且t越大時(shí)，E的離心率越大三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=?2n2+4n（n∈N*），則14．（5分）若直線l：x﹣2y+m＝0與圓C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，則實(shí)數(shù)m＝．15．（5分）已知橢圓x26+y22=1與雙曲線x2﹣y2＝2的交點(diǎn)分別為A，B，C16．（5分）如圖，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面互相垂直，AB＝2，M，N分別是對(duì)角線BD，AE上的動(dòng)點(diǎn)，則線段MN的最小長(zhǎng)度為．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知A（2，0），B（1，3）．（1）求線段AB的垂直平分線l所在直線的方程；（2）若一圓的圓心在直線x+2y﹣2＝0上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，求該圓的方程．18．（12分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'，AB＝AD＝AA'．設(shè)AB→=a→，（1）用基底{a→，b→，c→}（2）證明：AC'⊥平面A'BD．19．（12分）已知等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝15，a2+a4＝30．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=2an，n為奇數(shù)，an3，n為偶數(shù)，（n20．（12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且經(jīng)過(guò)M（1，2）．（1）求C的方程；（2）若直線l過(guò)C的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8，求l的方程．21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝3，∠ABC=90°，M是BB1的中點(diǎn)，N在棱CC1上，且C1N＝2NC．已知平面A1MN與平面ABC的夾角為30°．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)A到平面A1MN的距離．22．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy上，橢圓C：x2a2+y2b2（1）求C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)C上是否存在點(diǎn)Q，使得OA→+OB

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）直線x+3A．30° B．60° C．120° D．150°【解答】解：由于直線x+3y?1=0的斜率為故該直線的傾斜角為5π6，即150°故選：D．2．（5分）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=1+(?1)n（n∈N*），則{anA．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=1+(?1)n（∴n＝2k﹣1（k∈N*）時(shí)，an＝0；n＝2k（k∈N*）時(shí)，an＝2．則{an}的前9項(xiàng)和S9＝5×0+4×2＝8，故選：C．3．（5分）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(?2，2，3)，若A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．6【解答】解：向量a→=(1，1，x)，則2a→?b→=（2，2，2x）﹣(2a則﹣8+3（2x﹣3）＝1，解得x＝3．故選：B．4．（5分）等差數(shù)列{an}的公差為2，且a1+a5+a9＝15，則a2+a6+a10＝（）A．21 B．24 C．27 D．30【解答】解：等差數(shù)列{an}的公差為2，且a1+a5+a9＝15，則a2+a6+a10＝（a1+a5+a9）+3d＝15+3×2＝21．故選：A．5．（5分）運(yùn)用微積分的方法，可以推導(dǎo)得橢圓x2a2+y2b車(chē)，車(chē)上有一個(gè)長(zhǎng)為7m的儲(chǔ)油罐，它的橫截面外輪廓是一個(gè)橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3m，短軸長(zhǎng)為1.8m，則該儲(chǔ)油罐的容積約為（π≈3.14）（）A．20m3 B．30m3 C．40m3 D．50m3【解答】解：長(zhǎng)為7m的儲(chǔ)油罐，它的橫截面外輪廓是一個(gè)橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3m，短軸長(zhǎng)為1.8m，可得a=32，b＝0.9，所以該儲(chǔ)油罐的容積：πabh=3.14×32×0.9×7≈30（故選：B．6．（5分）若拋物線x2＝2y上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A．92 B．8 C．172【解答】解：∵拋物線x2＝2y上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，∴P到x軸的距離為8，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得：P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為p2故選：C．7．（5分）在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA＝AB＝BC，則直線AB與SC夾角的余弦值是（）A．13 B．23 C．33【解答】解：以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，過(guò)B作AS的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)AB＝1，則A（1，0，0），B（0，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），所以AB→=（﹣1，0，0），SC→=（計(jì)算AB→?SC→=1，|SC所以cos＜AB→，所以直線AB與SC夾角的余弦值是33故選：C．8．（5分）若系列橢圓Cn：anx2+y2=1（0＜anA．1?(14)n B．1?(【解答】解：由系列橢圓Cn：anx2+y2=1（0＜an＜1，∴離心率en=1?b2a2=1?an，∴1﹣∴an＝1﹣（14）n故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）下列雙曲線中，以直線3x±4y＝0為漸近線的是（）A．x216?yC．x29?【解答】解：對(duì)于A：雙曲線x216?y29=1，則漸近線方程為y＝±34x對(duì)于B：雙曲線y216?x29=1，則漸近線方程為y＝±43x對(duì)于C：雙曲線x29?y216=1，則漸近線方程為y＝±43x對(duì)于D：雙曲線y29?x216=1，則漸近線方程為y＝±34x故選：AD．（多選）10．（5分）已知直線l的方向向量為μ→，兩個(gè)不重合的平面α，β的法向量分別為n1→A．若μ→∥n1→，則l⊥α B．若μC．若n1→∥n2→，則α∥β 【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若μ→∥n1→，則l對(duì)于B，若μ→?n1→=0，則μ→⊥n1→，則對(duì)于C，若n1→∥n2→，且平面α，β不重合，則有對(duì)于D，若n1→?n2→=0故選：ACD．（多選）11．（5分）如圖所示幾何體，是由正方形ABCD沿直線AB旋轉(zhuǎn)90°得到，G是圓弧CE的中點(diǎn)，H是圓弧DF上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．存在點(diǎn)H，使得EH∥BD B．存在點(diǎn)H，使得EH⊥BG C．存在點(diǎn)H，使得EH∥平面BDG D．存在點(diǎn)H，使得直線EH與平面BDG的夾角為45°【解答】解：對(duì)于A，若存在點(diǎn)H，使得EH∥BD，則BE∥DH，四邊形BDHE是平行四邊形，所以BE＝DH，所以H在圓弧DF外，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)H與點(diǎn)D重合時(shí)，BG⊥平面EDF，所以BG⊥ED，即BG⊥EH，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)BC＝2，則B（0，0，2），D（2，0，0），G（2，2，2），E（0，2，2），設(shè)H（m，n，0），m2+n2＝4；由BG→=（2，2，0），BD→=（2，0，﹣2），EH→=（m設(shè)平面BDG的法向量為n→=（x，y，z），則n→令x＝1，則y＝﹣1，z＝1，所以n→=（1，若EH∥平面BDG，則EH→?n→=m﹣n+2﹣2＝m﹣n＝0，解得m＝n=2，所以H是圓弧DF的中點(diǎn)，即存在點(diǎn)H，使EH∥平面對(duì)于D，當(dāng)H與點(diǎn)F重合時(shí)，EH與平面BDG的夾角最大，因?yàn)镋F→=BA所以cos＜n→，所以EF與平面BDG所成角的正弦值為33由33＜22，所以直線EH與平面BDG的夾角小于45故選：BC．（多選）12．（5分）已知P是圓心為A，半徑為2的圓上一動(dòng)點(diǎn)，B是圓A所在平面上一定點(diǎn)，設(shè)|AB|＝t（t＞0）．若線段BP的垂直平分線與直線AP交于點(diǎn)M，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E，則（）A．當(dāng)0＜t＜2時(shí)，E為橢圓 B．當(dāng)t＞2時(shí)，E為雙曲線 C．當(dāng)t＞2時(shí)，E為雙曲線一支 D．當(dāng)t≠2且t越大時(shí)，E的離心率越大【解答】解：當(dāng)0＜t＜2時(shí)，點(diǎn)B在圓A內(nèi)，由題設(shè)可知：|MB|＝|MP|，所以|MA|+|MB|＝|MA|+|MP|＝|AP|＝2＞|AB|＝t，故點(diǎn)Q的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝2，2c＝t，所以e=ca=t2，∴t當(dāng)t＞2時(shí)，由題設(shè)可知：|MB|＝|MP|，所以||MA|﹣|MB||＝||MA|﹣|MP||＝|AP|＝2＜|AB|＝t，故點(diǎn)Q的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，且2a＝2，2c＝t，所以e=ca=t2，∴t越大時(shí)，E綜上：當(dāng)t≠2且t越大時(shí)，E的離心率越大，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=?2n2+4n（n∈N*），則a5【解答】解：由題意可得，a5＝S5﹣S4＝﹣2×52+4×5﹣（﹣2×42+4×4）＝﹣2×52+4×5+2×42﹣4×4＝﹣2×（52﹣42）+4＝﹣2×9+4＝﹣14．故答案為：﹣14．14．（5分）若直線l：x﹣2y+m＝0與圓C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，則實(shí)數(shù)m＝7或﹣3．【解答】解：由圓C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，得x2+（y﹣1）2＝5，∴圓心為（0，1），半徑為5，∵直線l：x﹣2y+m＝0與圓C相切，∴圓心（0，1）到直線x﹣2y+m＝0的距離d=|0?2+m|即|m﹣2|＝5，∴m＝7或m＝﹣3，故答案為：7或﹣3．15．（5分）已知橢圓x26+y22=1與雙曲線x2﹣y2＝2的交點(diǎn)分別為A，B，C，D【解答】解：由雙曲線與橢圓方程可知A，B，C，D關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故聯(lián)立方程組可得一組解為：x=3且y＝1，第一象限的點(diǎn)A（3∴四邊形ABCD的面積為23×2＝43故答案為：43．16．（5分）如圖，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面互相垂直，AB＝2，M，N分別是對(duì)角線BD，AE上的動(dòng)點(diǎn)，則線段MN的最小長(zhǎng)度為233【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AF，AD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直線坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)M（a，0，2﹣a），N（b，b，0），0≤a≤2，0≤b≤2，則|MN|2＝（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2]≥（a﹣b+b+2﹣a）2＝4，即有（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2≥43，當(dāng)且僅當(dāng)a﹣b＝b＝2﹣a，即a=43所以|MN|≥233，即|MN故答案為：23四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知A（2，0），B（1，3）．（1）求線段AB的垂直平分線l所在直線的方程；（2）若一圓的圓心在直線x+2y﹣2＝0上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，求該圓的方程．【解答】解：（1）∵A（2，0），B（1，3），故線段AB的中點(diǎn)為C（32，3由于kAB=3?01?2=?3，故線段AB的垂直平分線l故線段AB的垂直平分線l所在直線的方程為y?32=13（x?3（2）若一圓的圓心在直線x+2y﹣2＝0上，設(shè)圓心為D（2﹣2m，m），由于圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，故半徑為r＝DA＝DB，即（2﹣2m﹣2）2+m2＝（2﹣2m﹣1）2+（m﹣3）2，求得m＝1，故該圓的半徑為5，圓心為（0，1），故要求的圓的方程為x2+（y﹣1）2＝5．18．（12分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'，AB＝AD＝AA'．設(shè)AB→=a→，（1）用基底{a→，b→，c→}（2）證明：AC'⊥平面A'BD．【解答】解：（1）根據(jù)題意，AB→=a→，BD→=AD→?AC'→（2）證明：設(shè)∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=θ，AB＝AD＝AA'＝t，則有a→?b→=b→?c→=a→?b→=t2cos由（1）的結(jié)論，AC'→=a→+則AC'→?BD→=（a→+b→+c→）?（b→?a→）=a→?同理：AC′⊥A′D，又由BD∩A′D＝D，必有AC'⊥平面A'BD．19．（12分）已知等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝15，a2+a4＝30．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=2an，n為奇數(shù)，an3，n為偶數(shù)，（n【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1+a3＝15，a2+a4＝30，∴a1（1+q2）＝15，a1（1+q2）q＝30，聯(lián)立解得q＝2，a1＝3，∴an＝3×2n﹣1．（2）∵數(shù)列{bn}滿足bn=2an，n為奇數(shù)，∴n為奇數(shù)時(shí)，bn＝3×2n；n為偶數(shù)時(shí)，bn＝2n﹣1．∴{bn}前10項(xiàng)和S10＝（b1+b3+…+b9）+（b2+b4+…+b10）＝3（2+23+…+29）+（2+23+…+29）＝4×2×(20．（12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且經(jīng)過(guò)M（1，2）．（1）求C的方程；（2）若直線l過(guò)C的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8，求l的方程．【解答】解：（1）根據(jù)題意可設(shè)所求拋物線方程為：y2＝2px，p＞0，則根據(jù)題意可得4＝2p×1，∴p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x；（2）根據(jù)（1）可知拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），當(dāng)AB垂直x軸時(shí)，|AB|＝2p＝4≠8，∴設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=k(x?1)y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+∴x1+x2=2+4∴|AB|＝p+x1+x2＝2+2+4∴k2＝1，∴k＝±1，∴直線l的方程為y＝±（x﹣1），即為x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1