黑龍江省哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試（2卷）數(shù)學(xué)試題（解析版）

德強(qiáng)高中2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二學(xué)年數(shù)學(xué)（II卷）試題命題人：孫志業(yè)答題時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中，，則（）A.3 B.4 C.5 D.12【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)相同且下標(biāo)和相等的性質(zhì)，有，即可確定答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以，又，所以，故選：A.2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將求導(dǎo)并代入即可得出，即可得到的具體解析式，再代入即可得出答案.【詳解】，，令，則，，則，故選：D3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】表示以為首項(xiàng)，為公比的前項(xiàng)和，所以.故選：A4.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項(xiàng)C符合要求.故選：C5.函數(shù)在上的最大值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到最值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故故選：B6.已知，分別橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足，線段交y軸于點(diǎn)Q，若，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得垂直于軸，，為的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，結(jié)合橢圓的方程可得，由勾股定理和離心率公式，計(jì)算可得答案．【詳解】由題意可得垂直于軸，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，可得，由可得，則，即有，在直角三角形中，可得，即有，可得，即，由可得，，解得或(舍去)，故選：D.7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織七匹三丈（1匹尺，一丈尺），問(wèn)日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來(lái)越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了七匹一丈，問(wèn)每天增加多少尺布？”若這一個(gè)月有29天，記該女子一個(gè)月中的第天所織布的尺數(shù)為，則的值為（）A.15 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的信息可得數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)的性質(zhì)求解作答.【詳解】依題意，數(shù)列為遞增等差數(shù)列，且，所以.故選：D8.對(duì)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn) B.函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)C.函數(shù)有最大值沒(méi)有最小值 D.函數(shù)有最小值沒(méi)有最大值【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)【詳解】，，則，，令，，則，在恒成立，則在單調(diào)遞減，又，則存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減則當(dāng)時(shí)，取得極大值.則函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)，即有最大值，最小值在區(qū)間端點(diǎn)處取得.故選：A二．多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.（多選）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列是該數(shù)列中的項(xiàng)的是（）A.18 B.12 C.25 D.30【答案】BD【解析】【分析】由于為正整數(shù)，且越大，越大，求得無(wú)整數(shù)解，且，，，，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以越大，越大．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：BD．10.下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，所以導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是：，故選：.11.已知數(shù)列中，，則能使的可以為（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】AD【解析】【分析】證明數(shù)列的周期，然后算第一個(gè)周期中等于的項(xiàng).【詳解】又是以為周期周期數(shù)列.又因?yàn)?，所以，故時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)AD都符合.故選：AD12.下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，取進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于B，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可判斷；對(duì)于C，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可判斷；對(duì)于D，令，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞增，又，從而得當(dāng)時(shí)，，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則有令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，即，所以，所以，故正確；對(duì)于C，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，即，故正確；對(duì)于D，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，故錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若數(shù)列滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】分奇偶項(xiàng),分別按照等差數(shù)列前和公式求和，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)?所以故答案為:14.函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再利用存在變號(hào)零點(diǎn)求出a的范圍作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：，因?yàn)楹瘮?shù)有極值，則函數(shù)在R上存在變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，即有方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：15.已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】將變形為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題即可.【詳解】，，由得，整理得，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，，實(shí)數(shù)a的最大值為故答案為：.16.已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點(diǎn)、，P是與在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率等于______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)P點(diǎn)是橢圓和雙曲線的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓雙曲線的定義表示出，，在△中結(jié)合余弦定理即可列出方程求解．【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓離心率為，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線離心率為，它們的左右焦點(diǎn)為、，由題可知，設(shè)，，則，由①②得，，，代入③整理得，，兩邊同時(shí)除以得，，即，所以，解得(舍去)，或，即.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)求和法求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)橐矟M足，所以通項(xiàng)公式為．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以，所以．18.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出公比即可得答案；（2）先通過(guò)（1）求出，再利用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】設(shè)比數(shù)列的公比為，則，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若在內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）．【解析】【分析】將代入中，求導(dǎo)后分別令和，求出單調(diào)區(qū)間即可；對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)在內(nèi)有極值，可知在內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與x軸在內(nèi)有交點(diǎn)，再求出的取值范圍即可解決．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，得，故在上單調(diào)遞減；令，得，故在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】由，得，由在內(nèi)有極值，可知在內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)存在解，所以函數(shù)與x軸在內(nèi)有交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，則在恒成立，則與x軸在內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若，則，單調(diào)遞增，若，則，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，則與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則與x軸有公共點(diǎn)，則與x軸在內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，則與x軸在內(nèi)至少有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．20.在數(shù)列中，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得，進(jìn)而可證明為等比，（2）根據(jù)的關(guān)系可求解，由（1）知，進(jìn)而可得，由錯(cuò)位相減法即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，又，所以，所?所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.所以.，①由①，得，②①②相減得所以.21.已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線：．（1）若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）1或0（2）【解析】【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由或即可得解；（2）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，聯(lián)立，消去，得，即，①當(dāng)時(shí)，顯然方程只有一個(gè)解，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上：當(dāng)或時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閽佄锞€：，所以焦點(diǎn)，所以直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，所以，，所以，所以.22.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求b的取值范圍【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）【解析】【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出單調(diào)