高等激光技術7

高等激光技術7

第三節(jié)、光學諧振腔的穩(wěn)定性條件光學諧振腔的幾何光學分析采用光束傳輸變換矩陣的方法菲涅耳數(shù)很大(衍射損耗小)＞100以雙球面鏡腔為例

光線傳輸矩陣

1LM(L)=自由空間

0110M(f)=薄透鏡

-1/f110M(R)=球面全反射鏡

-2/R1

腔內光線往返一次后的光線傳播矩陣

x5ABx1x1x1==M=M(R1)M(L)M(R2)M(L)θ5

CDθ1

θ1

θ1

諧振腔穩(wěn)定性條件如果激光束在共軸球面腔內經(jīng)多次反射后，其位置仍“緊靠”光軸，那么該光學諧振腔是穩(wěn)定的；如果光束從腔內“逸出”反射鏡之外，即橫向逸出腔外,那么該光學諧振腔是不穩(wěn)定的。

腔內光線往返n次后的傳播矩陣方程為：(利用了矩陣理論中的薛爾凡斯特Sylvester定理)

n

對于穩(wěn)定的序列，光束是有界的，即，當傳輸矩陣“Mn”的矩陣元為有限的實數(shù)時，近軸光線在腔內往返進行無限次后，不會橫向逸出腔外，要求矩陣元為實數(shù)，則要求θ為實數(shù)。對于不穩(wěn)定序列，方程中的三角函數(shù)變成雙曲線函數(shù)，這表明光束通過序列時將越來越發(fā)散，光束是無界的，因此，穩(wěn)定性條件是:引入兩因子來表示諧振腔的幾何參數(shù)0<g1g2<1此式稱為共軸球面腔的穩(wěn)定性條件。式中當凹面鏡向著腔內時，R為正值；而當凸面鏡向著腔內時R取負值。如果g1g2>1或g1g2<0則為非穩(wěn)定腔；g1g2=1或g1g2=0為臨界腔（介穩(wěn)腔）。

上述的穩(wěn)定性條件0<g1g2<1只是雙鏡腔的結果.對于多鏡腔,則要從腔內光線往返傳輸矩陣來推導.不同的腔型,腔內光線往返傳輸矩陣是不同的.第四節(jié)、光學諧振腔的衍射理論要點自再現(xiàn)模+惠更斯-菲涅耳原理(菲涅耳-基爾霍夫公式)+光學諧振腔光學諧振腔的自洽衍射積分方程

腔鏡M1上的光場分布，到達鏡M2時，由于衍射效應，要經(jīng)歷一次能量的損耗和場分布的變化，中間能量損失小，鏡邊緣損失大，每渡越一次，都會發(fā)生類似的能量損耗和場分布變化。多次往返后，從而逐漸形成中間強、邊緣弱的基本不受衍射影響的相對穩(wěn)態(tài)的場分布，該相對穩(wěn)態(tài)的場分布一個往返后可“自再現(xiàn)”出發(fā)時的場分布，唯一變化是鏡面上各點的場振幅按同樣的比例衰減，各點相位發(fā)生同樣大小的滯后。該穩(wěn)定場形成過程就叫做腔模的自再現(xiàn)，形成的模式叫做自再現(xiàn)模。

自再現(xiàn)模是多次衍射的結果，與初始波形無關，但不同的初始波形最終形成的場分布不同，而自發(fā)輻射可提供不同的初始波形,因此決定了自再現(xiàn)模的多樣性。每經(jīng)過一次衍射，光束橫截面上各點的相位關聯(lián)度變增加一次，則由于經(jīng)過足夠多次衍射的作用后，光束橫截面上各點的相位關聯(lián)越來越緊密，從而使光的空間相干性變強。在無源開腔中，自再現(xiàn)模的形成過程和場的空間相干性的增強過程，都不可避免地伴隨著初始入射波能量的衰減，不足以形成激光。在激活腔中，只要某一自再現(xiàn)模能滿足閾值條件，則該模在腔內就可以形成自激振蕩。自再現(xiàn)模的形成過程伴隨著光的受激放大，其結果是，光譜不斷變窄，空間相干性不斷增強，光強不斷增大，最終形成高強度的激光輸出。

惠更斯-菲涅耳原理是分析衍射現(xiàn)象的理論基礎，定量處理開腔模式問題的數(shù)學理論是菲涅耳-基爾霍夫衍射積分。運用以上兩個工具，可以實現(xiàn)：如果知道了光波場在其所達到的任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場在空間其他任意位置處的振幅和相位分布。這種方法主要求解光學諧振腔的菲涅爾-基爾霍夫衍射積分方程。積分方程的本征值描述了諧振腔的損耗特性，本征函數(shù)描述了光場分布（模）。但積分方程一般不存在解析解，只能用計算機進行數(shù)值求解。對于實對稱共焦球面鏡腔可以獲得近似解析解。設為已知空間任一曲面S上光波場的振幅和相位分布函數(shù)u(x’,y’)，這里(x’,y’)為S面上點的坐標。由它在所要考察的空間任一點P處產(chǎn)生的場為u(x,y)，這里(x,y)為觀察點P的坐標。有下列關系式

將此積分公式應用到開腔的兩個鏡面上的場，則有式中為鏡1上的場分布；為由經(jīng)腔內一次渡越后在鏡2上生成的場。

經(jīng)過j次渡越后所生成的場與產(chǎn)生它的場之間亦應滿足類似的迭代關系

按照自再現(xiàn)觀點，當渡越次數(shù)j足夠大時，除了一個表示振幅衰減和相位移動的復常數(shù)因子

以外，u+1應該再現(xiàn)uj，，則：代入迭代關系得到：則不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)v(x,y)為：即開腔自再現(xiàn)模應滿足的積分方程式----自洽衍射積分方程,其中的積分核為：滿足上述方程的任意一個分布函數(shù)v(x,y)就描述腔的一個自再現(xiàn)?；驒M模。一般v(x,y)應為復函數(shù)，它的模描述鏡面上場的振幅分布，而其輻角描述鏡面上場的相位分布。

當腔長L和鏡線度a滿足：L>>a，或曲面反射鏡的曲率半徑R和鏡線度a滿足：R>>a時，有：則初步簡化后的自再現(xiàn)模方程（自洽衍射積分方程）為：

其中

的復常數(shù)因子的物理涵義表示自再現(xiàn)模的振幅衰減和相位移動

光功率W,單程損耗因子

損

,單程渡越總相移:對于對稱腔型有:諧振條件(駐波條件):2Ф=2qπ,q為正整數(shù),對稱開腔自再現(xiàn)模的諧振條件----可得諧振頻率(縱模頻率)

平行平面腔在激光發(fā)展史上最先被使用，但平行平面腔振蕩模所滿足的自在現(xiàn)積分方程尚得不到確切的解析解，只能用迭代解法。?？怂购蛥柖σ?Fox-Li)首先用計算機完成了這樣的計算，求出了各種幾何形狀的平行平面腔、圓形鏡共焦腔等的一系列腔的自再現(xiàn)模。

對于一個對稱矩形平面鏡腔(尺寸為2a×2b，其中),有：若滿足：可做近似：

則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：

模方程變?yōu)閮尚问酵耆粯拥姆匠蹋笠粋€即可：或者方程的解有多個，其中第m和第n個分別為vm(x)和vn(y)，

m和

n為相應的復常數(shù)，則積分本征值方程為：

鏡面上的場分布為：相應的復常數(shù)為：

取與Fox-Li相同的結構參數(shù)，即波長為632.8nm取腔鏡的菲涅爾數(shù)，實際計算中取得，，增益系數(shù)的單位為cm-1,輸入光為平面波，(用Matlab程序設計計算)即得到結果如下

由圖3可知,初始場在經(jīng)過第1次渡越后的振幅和相位隨著腔面坐標的變化而急劇地起伏。隨后的幾次渡越,每一次渡越都對場分布發(fā)生了明顯的影響。在經(jīng)過第300次渡越后,振幅分布達到了穩(wěn)定狀態(tài),呈現(xiàn)出近似高斯分布;而穩(wěn)定后的相位分布,曲線上的起伏較小,中間區(qū)域接近平面波分布。將具有這種特征的橫模稱為腔的最低階對稱?；蚧?方形鏡腔和圓形鏡腔的基模通常以符號TEM00表示。

平行平面腔?？怂购蛥柖σ?Fox-Li)的計算結果意義在于:1、證明了光學諧振腔內相對穩(wěn)定的光場分布----自再現(xiàn)模的存在；2、說明了自再現(xiàn)模的產(chǎn)生需要一定的時間過程（往返振蕩很多次），即激光的產(chǎn)生需要一定的時間過程。

第五節(jié)、方形實對稱共焦球面鏡光學諧振腔中光場的自洽衍射積分方程及其解

方形鏡2a×2a尺寸,L＞＞a＞＞λ

方形鏡2a×2a尺寸,L＞＞a＞＞λp2p2’

ρrp1’p1RL

則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：

鏡面上的場分布為：相應的復常數(shù)為：

博伊德—戈登求出,在c=2πF為有限值時,有:

當F較大＞1，同時在共焦腔中心附近,角向長橢球函數(shù)可表示為厄米多項式(Hermitian)和高斯(Gauss)分布函數(shù)的乘積----厄米-高斯光束.

不同的m,n值,表示不同的相對穩(wěn)定的光場振幅(強度)分布,即不同的橫模,記為TEMmn模,m,n為橫模序數(shù)(或橫模指數(shù))。TEM00模---基橫?；蚧＃琓EM01?；騎EM10模---低階模，其他---高階模。TEM00模---基橫?；蚧?，

x方向,m階,m個零點(節(jié)點),m條暗線,m+1個峰值y方向,n階,n個零點(節(jié)點),n條暗線,n+1個峰值光斑半徑:2πF越大,場越集中鏡面中心及其附近,越小,鏡邊緣場振幅漸增(衍射損耗增大);統(tǒng)一,高階模在鏡邊緣處的振幅比基模的大;近似解與精確解在鏡面中心及其附近符合較好.

位相分布鏡面上場的位相分布由自再現(xiàn)模的幅角決定角向長橢球函數(shù)為實數(shù),----鏡面上各點位相相同,即鏡面本身為等相位面.基模在鏡面上有單一的位相,其他模,相鄰模瓣之間有180度(π)相移.

第七節(jié)、圓形實對稱共焦球面鏡光學諧振腔中光場特性

其中為鏡面上的極坐標，為歸一化常數(shù)；，L表示共焦腔的腔長，為締合拉蓋爾多項式。