2024屆湖北省麻城一中高三5月大聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆湖北省麻城一中高三5月大聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．2．已知函數(shù)，，且在上是單調(diào)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)3．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．閱讀下側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的數(shù)字為A．4 B．5 C．6 D．75．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．6．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．7．大衍數(shù)列，米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．8．在中，，則=（）A． B．C． D．9．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，則()A．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，且 B．直線(xiàn)與直線(xiàn)共面，且C．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，且 D．直線(xiàn)與直線(xiàn)共面，且10．若直線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．11．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．212．已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為，、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______________．14．已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿(mǎn)足，且，，，存在，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．拋物線(xiàn)上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．16．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和，并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為、、、、、以及、、、、、．一只螞蟻欲從點(diǎn)出發(fā)，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為_(kāi)_______．參考數(shù)據(jù)：；；）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).18．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.19．（12分）若不等式在時(shí)恒成立，則的取值范圍是__________.20．（12分）若函數(shù)為奇函數(shù)，且時(shí)有極小值.（1）求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的大??；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）在如圖所示的多面體中，四邊形是矩形，梯形為直角梯形，平面平面，且，，.（1）求證：平面.（2）求二面角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分．2、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，確定，然后一一驗(yàn)證，A.若，則，由，得，但.B.由，，確定，再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計(jì)算是否為0.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以，即，所以，若，則，又因?yàn)椋?，解得，而，故A錯(cuò)誤.由，不妨令，得由，得或當(dāng)時(shí)，，不合題意.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以，故B正確.因?yàn)?，函?shù)，在上是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.，故D錯(cuò)誤.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于較難的題.3、C【解題分析】

先求導(dǎo)得（），由于函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過(guò)分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可得出的取值范圍.【題目詳解】由題可得：（），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因?yàn)?設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來(lái)求參數(shù)取值范圍，以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計(jì)算能力，有一定的難度.4、B【解題分析】考點(diǎn)：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運(yùn)行過(guò)程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示：Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i＜5時(shí)退出，故選B．5、C【解題分析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿(mǎn)足故選C.6、B【解題分析】

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．7、B【解題分析】

直接代入檢驗(yàn)，排除其中三個(gè)即可．【題目詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時(shí)B也滿(mǎn)足，，，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式，解題時(shí)可代入檢驗(yàn)，利用排除法求解．8、B【解題分析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【題目詳解】如下圖，，在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線(xiàn)與直線(xiàn)共面.，同理易得，由異面直線(xiàn)所成的角的定義可知，異面直線(xiàn)與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【題目詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線(xiàn)與所成角為.設(shè)，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線(xiàn)的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.10、B【解題分析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計(jì)算即可求出值．【題目詳解】由于直線(xiàn)的傾斜角為，所以，則故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線(xiàn)傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．11、B【解題分析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.【題目詳解】如圖所示，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時(shí)，有最大值為，即，故..當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12、A【解題分析】

由已知先確定出雙曲線(xiàn)方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【題目詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線(xiàn)方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支上運(yùn)動(dòng)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，，所以；當(dāng)軸時(shí)，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得的展開(kāi)式中的系數(shù)．【題目詳解】解：，故它的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

由題意可設(shè)，，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及恒成立思想可設(shè)，的最小值即為點(diǎn)，到直線(xiàn)的距離，求得，可得不大于．【題目詳解】解：，且，可設(shè)，，，，可得，可得的終點(diǎn)均在直線(xiàn)上，由于為任意實(shí)數(shù)，可得時(shí)，的最小值即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，可得，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式，可得，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用，考查直線(xiàn)方程的運(yùn)用，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】

設(shè)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得，并求出對(duì)應(yīng)的，即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由拋物線(xiàn)的定義得，解得，此時(shí).因此，拋物線(xiàn)上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用拋物線(xiàn)的定義求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【題目詳解】棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因?yàn)?，且由誘導(dǎo)公式可得，所以最短距離為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開(kāi)至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)三個(gè)零點(diǎn)【解題分析】

(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，再證，.【題目詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設(shè)，，時(shí)，遞減，時(shí)，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，，一方面，，且在遞減，所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，，設(shè)，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).因此，當(dāng)時(shí)在和各有一個(gè)零點(diǎn)，將這兩個(gè)零點(diǎn)記為，，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；②當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；一方面，因?yàn)?，又，且在遞增，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，根據(jù)得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有一個(gè)零點(diǎn).又，故有三個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．在研究函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢(shì)，得出結(jié)論．18、（1）（2）【解題分析】

（1）化簡(jiǎn)得到，分類(lèi)解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）因?yàn)椋驶蚧蚪獾没?，故不等式的解集?（2）畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知的最大值.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是3.【題目點(diǎn)撥】本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19、【解題分析】

原不等式等價(jià)于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)樵跁r(shí)恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，則為上的增函數(shù)，故.故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.20、（1），；（2）【解題分析】

（1）由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立，由此建立方程，即可求出實(shí)數(shù)的值；對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出，若，則恒成立不符合題意，當(dāng)，可證明，此時(shí)時(shí)有極小值.（2）可知，進(jìn)而得到，令，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù)，由可得，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，得在定義域上恒成立，所以，化簡(jiǎn)可得，所以.則，令，則.故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上遞減，在上遞增，若，則恒成立，單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；所以，解得，取，則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷，故由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間上，存在為函數(shù)的零點(diǎn)，為極小值，所以，的取值范圍是.（2）由滿(mǎn)足，代入，消去可得.構(gòu)造函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，故在上為單調(diào)減函數(shù)，其中.則可轉(zhuǎn)化為，故，由，設(shè)，可得當(dāng)時(shí)，則在上遞增，故.綜上，的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了奇函數(shù)的定義，考查了轉(zhuǎn)化的思想.對(duì)于恒成立的問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為求