2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編 49立體幾何與空間向量第一講（學生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題49立體幾何與空間向量第一講

1.[2021年江西預賽】如圖,邊長為2的正方形ABCD中,E是AB的中點，現(xiàn)將△AEZMBEC沿EC,ED折

起，使EA,EB重合，組成一個四面體,則此四面體的體積是.

2.【2021年吉林預賽】如圖，在棱長為2的正方體4BCD-4出傳1。1中,E為BC的中點，點P在線段上

運動.則點P到直線eq的距離的最小值為.

3.[2021年福建預賽】如圖，在長方體中，已知AB=BC==2,點M、N分別

在

棱D4、0C上，二面角Di-MN-。的大小為45°.若三棱錐5-DMN的體積為萼，則三棱錐久一DMN

外接球的表面積為

4.[2021年重慶預賽】設正三棱錐P-ABC的底面邊長為1,高為遮，過底邊BC作此三棱錐的截面，則

截面面積的最小值為.

5.12020高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】正三棱錐P-4BC的所有棱長均為分別為棱P4PB,PC的

中點，則該正三棱錐的外接球被平面LMN所截的截面面積為.

6.[2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】己知一個正三棱柱的各條棱長均為3,則其外接球的體積為

7.【2020年福建預賽】如圖所示，在正方體ABC?！?B1GD1中，點E,F,G分別在棱上出為

力友的中點，苦=等=；,記平面EFG與平面4B1CD的交線為m.則直線m與平面ABCD所成角的

正切值為.

8.【2020年甘肅預賽】己知半徑為4的球面上有兩點A、B,AB=4V2，球心為O.若球面上的動點C滿足二

面角C-AB—0的大小為60°,則四面體OABC外接球的半徑為.

9.【2020年廣西預賽】設三個正四面體的棱長均為整數(shù)，它們的體積之和為則這些正四面體的表面積之

和為.

10.【2020年吉林預賽】已知正三棱雉5-4BC的側(cè)棱長為6百，底面邊長為6.則該正三棱雉外接球的表面

積為.

11.[2020年浙江預賽】在四面體P-ABC中，棱PA、AB、AC兩兩垂直，且PA=48=AC,E,F分別為力B,PC

的中點.則EF與平面PBC所成角。的正弦值為.

12.（2020年重慶預賽】對于四面體4BCDMB1BC.CD1BC.BC=2，且異面直線AB與CD所成的角為

60°.若四面體ABCD的外接球半徑為小，則四面體ABCD的體積的最大值為.

13.【2020年新疆預賽】現(xiàn)有一個能容納10個半徑為1的小球的封閉的正四面體容器，則該容器棱長最小

值為.

14.【2019年全國】如圖，正方體力BCD-EFGH的一個截面經(jīng)過頂點4,C及棱EF上一點K,且將正方體

分成體積比為3：1的兩部分，則為的值為

15.12019年江蘇預賽】在棱長為1的正方體ABCD中，點￡在45上，點尸在CD上,4止=2ED「

DF=2FC,則三棱錐B-FEG的體積是.

16.[2019年江西預賽】P是正四棱錐V-ABCD的高VH的中點，若點P到側(cè)面的距離為3,到底面的距離為5,

則該正四棱錐的體積為.

17.[2019年上海預賽】如圖所示，分別作正四面體PABC的平行于四個面的截面，使得四面積PABC的四個

面均被截成正六邊形，截去四個小四面體后得到的多面體記為G.則四面體B4BC與多面體G的表面積之比為

，體積之比為.

18.[2019年上海預賽】邊長為2的正方形經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個正四棱錐則此正四棱錐體

積的最大值為.

19.[2019年新疆預賽】一個150X324x375的長方體由1x1x1的單位立方體拼在一起構(gòu)成的，則該長方

體的一條對角線穿過個不同的單位立方體

20.【2019年浙江預賽】如圖，在4人⑶。中，Z.ABC=120°,4B=BC=2.在4C邊上取一點。（不含4,C）,將

△4BD沿線段BD折起，得到△PBD.當平面PBD垂直平面4BC時，則P到平面ABC距離的最大值為

21.【2019年重慶預賽】已知正四面體可容納10個半徑為1的小球，則正四面體棱長的最小值為.

22.[2019年北京預賽】一個正方體木塊ABCD的體積為512cm3,如圖,M為棱CB的中點,N為棱

BBi的中點.過4M,N三點的平面切下一個三棱錐B-2MN,則三棱錐B—4MN的全表面積是cm2.

23.【2019年福建預賽】如圖，在三棱錐尸-ABC中，平面A8,ZABC=l20°,%=4.若三棱錐P-ABC外

接球的半徑為2&,則直線PC與平面ABC所成角的正切值為.

24.【2019年廣西預賽】棱長為6的正方體內(nèi)有一個棱長為x的正四面體且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)

動，則x的最大值為.

25.[2019年貴州預賽】若半徑為R=2+乃cm的空心球內(nèi)部裝有四個半徑為r的實心球，則r所能取得的最

大值為cm.

26.【2019年吉林預賽】已知三棱錐P—4BC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,4ABC是邊長為2的

正三角形,E、F分別是AC、BC的中點,/EPF=60。,則球O的表面積為.

27.12019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】如圖，正方體ABC。一EFG”的一個截面經(jīng)過頂點A、C及棱

EF上一點K,且將正方體分成體積比為3:1的兩部分，則失的值為.

28.【2019高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設三棱錐尸一ABC滿足以=PB=3,AB=BC=CA=2,則該三棱錐

體積的最大值為.

29.[2018年山西預賽】四面體ABCD中，有一條棱長為3,其余五條棱長皆為2,則其外接球的半徑為一

30.【2018年福建預賽】如圖，在四棱錐P-A8C。中，平面ABC。，底面ABC。為正方形，PA=AB.E,

尸分別為尸BC的中點，則二面角E-FO-A的正切值為.

31.【2018年江蘇預賽】已知正四面體內(nèi)切球的半徑是1,則該正四面體的體積為.

32.[2018年浙江預賽】四面體P-ABC,PA=BC=*),PB=AC=^8,PC=AB=VT6,則該四面體外接

球的半徑為.

33.【2018年湖南預賽】正方體AG棱長是1,點E、F是線段DD”BG上的動點，則三棱錐E-AA】F體

積為一.

34.【2018年重慶預賽】頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，4是底面圓周上的點，B是底面圓內(nèi)

的點，。為底面圓圓心，ABLOB,垂足為8,OHLHB,垂足為H,且以C為以的中點，則當三棱錐

O-HPC的體積最大時，。8的長為.

35.【2018年湖南預賽】正方體48。。一48?。1中，E為AB的中點，F(xiàn)為CQ的中點.異面直線EF與4cl

所成角的余弦值是.

2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題49立體幾何與空間向量第一講

1.[2021年江西預賽】如圖,邊長為2的正方形ABCD中,E是AB的中點，現(xiàn)將△AECQBEC沿EC,ED折

起，使EA,EB重合，組成一個四面體,則此四面體的體積是.

【答案】y

【解析】設CD的中點為FAACD為正三角形，其邊長為2,因4f1CD.EF1CD,

于是CD垂直于面=y/3,AE=l,EF=2，則4E?+4/2=EF2

所以4E1AF,SAAFF=^AE-AF=^,

從而v=gcn-SA4EF=9.

2.【2021年吉林預賽】如圖，在棱長為2的正方體ABCD-&B1C1D1中,E為8C的中點，點P在線段上

運動.則點P到直線eq的距離的最小值為.

【解析】設Q為點P在底面ABCD中的投影.于是點P到直線CC的距離等于Q到點C的距離.注意到Q在

線段DE上，所以點P到宜線CG的距離的最小值等于直角三角形DCE中斜邊DE上的高，其值為誓=

De.

2\fS

5

3.[2021年福建預賽】如圖，在長方體ABCD-&B1GD1中，已知4B=BC=6,441=2，點M、N分別

在

棱。4、OC上，二面角Oi-MN-D的大小為45°.若三棱錐劣-DMN的體積為竽，則三棱錐名-DMN

外接球的表面積為.

【答案】yn

【解析】如圖，作OE1MN于E,連接。1E.

則由正方體的性質(zhì)知,MN1久。，于是MN_L平面/DE,MN1DrE.

所以,4。出。為二面角。[-MN-。的平面角,4。止。=45-QE=5。=2.

=(S?N=”?e?2?MN)=胃

VD「DMN

因此,MN=竽.

設三棱雉Di—DMN外接球半徑為R,則由DM,DN,DDi兩兩互相垂直，得2R="反+DM?+DN2=

+MW=,+（苧?=母

因此，三棱錐5-DMN外接球的表面積為4TTR2=子

4.[2021年重慶預賽】設正三棱錐P-ABC的底面邊長為1,高為VI，過底邊BC作此三棱錐的截面，則

截面面積的最小值為.

【答案】鬻

【解析】如圖，設截面與邊PA交于點Q，點P在底面的射影為點。，

延長AO交BC于點D，則BC1QD,

由于BC的長為定值，當界面QBC的面積最小時，線段QD的長度最小，

此時QD1PA.

由于CM=y,P0=V2，則P4=詈，從而sin/PA。=詈=?，

則QC=ADsin^PAO=—-—=—S=-QD-BC=—.

y27142Y28

5.12020高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】正三棱錐P-4BC的所有棱長均為分別為棱24,P8,PC的

中點，則該正三棱錐的外接球被平面LMN所截的截面面積為.

【答案】g

【解析】由條件知平面LMN與平面A8C平行，且點P到平面LMNABC的距離之比為1:2.設H為正三棱錐

P-ABC的面ABC的中心與平面LMN交于點K,則PH_L平面ABC,PK_L平面LMN,故PK=3PH.

正三棱錐P-A8C可視為正四面體，設O為其中心（即外接球球心），則O

在尸〃上，且由正四面體的性質(zhì)知。"=」2".結(jié)合「長=三「，可知OK=OH.

42

即點O到平面LMN.ABC等距.這表明正三棱錐的外接球被平面LMMABC所截得的截面圓大小相等.

從而所求截面的面積等于AABC的外接圓面積，即兀?瑞產(chǎn)=1

6.12020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】已知一個正三棱柱的各條棱長均為3,則其外接球的體積為

【答案】羅兀

【解析】如圖，設面A8C和面A/?的中心分別為。和。1，記線段。。1的中點為P,由對稱性知,P為正三棱柱

外接球的球心，以為外接球的半徑.

2

易知p。_140,所以「4=UP。+4。2=|（|）2+（73）=亨

故外接球的體積為［兀（停尸=辱兀.

3'2/2

7.【2020年福建預賽】如圖所示，在正方體力BCD—4B1GC1中，點E,F,G分別在棱A&,力i。1,0G上,E為

AAt的中點，苦=等=：,記平面EFG與平面AiaCD的交線為m.則直線m與平面ABCD所成角的

正切值為.

【解析】

圖5

如圖5,設&D與EF的交點為P.延長GF,Bi公交于點Q，則PQ為平面EFG與平面公口忑。的交線，設其為

不妨設正方體棱長為3,則由苦=等=Jn&Q=&F=2.

C]3

作PHI4ml于點H，則PH_L平面4B1GC1.

聯(lián)結(jié)QH,則NPQH為直線PQ與平面4B1GD1所成的角.

設PH=%.則41H=x.

故Q"2=QAj+A^H2=22+(1)2

nQH目.

c八“PH3758

^tanz：P(2H=-=—

由平面ABCD〃平面&81GA,知直線PQ與平面41816名、平面ABCD所成角相等.從而，直線m與平面

ABCD所成角的正切值為薯.

58

8.【2020年甘肅預賽】已知半徑為4的球面上有兩點A、B,4B=4近，球心為O.若球面上的動點C滿足二

面角C—2B—。的大小為60°,則四面體OABC外接球的半徑為.

【答案】詈.

【解析】易知,C的軌跡為一段優(yōu)弧,并設該優(yōu)弧的圓心為D，聯(lián)結(jié)OD,如圖4.

設AB的中點為E，聯(lián)結(jié)OE、DE.則4CE。=60°.

延長OD,過點E作面OAB的垂線，與OD交于點K.

則K為四面體OABC的外接球球心.

故。E=\AB=2>/2,^DOE=30°.

于是，所求半徑為KO=等=竽.

9.【2020年廣西預賽】設三個正四面體的棱長均為整數(shù)，它們的體積之和為乎.則這些正四面體的表面積之

4

和為.

【答案】35V3

【解析】設三個正四面體的棱長分別為a,b,c.

不妨設0<a《b&c.

由柒a3+>3+c3)=竽

=>a3+d34-c3=153,

其中工3<125，即c<5.

因為3c3>03+〃+=153，所以，

c3>51=>c>4.

進而,c=4或c=5.

若c=4，不存在符合條件的a,b;

若c=5，易得a=lfb=3.

從而，所求表面積的和為

4(|a2sin60°4-1b2sin60°+1c2sin60°)

=V3(a2+/?2+c2)=V3(l2+32+52)

=35V3.

10.【2020年吉林預賽】已知正三棱雉S-ABC的側(cè)棱長為6舊，底面邊長為6.則該正三棱雉外接球的表面

積為.

【答案】等

【解析】如圖2,過點S作SE1平面ABC于點E，記球心為O.

圖2

在正三棱雉S-ABC中，由題意知

BE=3-x—2x6=2V3.

SE=7sB2-BE2=4V6.

由球心0到四個頂點的距離相等(均等于該正三棱雉外接球半徑長R)知

OB=R,OE=4y/6-R.

在Rt^BOE<V,OB2=BE2+0E2，即

R2=12+(4V6-R)2=R=學.

因此,所求為4兀/?2=等.

11.【2020年浙江預賽】在四面體P-4BC中，棱PA、AB、AC兩兩垂直，且P4=4B=4C,民尸分別為4B,PC

的中點.則EF與平面PBC所成角0的正弦值為.

【答案】|

圖

【解析】4

如圖4,設P4=AB=AC=2.

則EF=VTTT=V3.

由*2夜￥號xh

=-x2x2x2

2

,42

故九E=春?

因此Qin?=最j=1■

12.[2020年重慶預賽】對于四面體ABC。,4B1BC,CD1BC,BC=2，且異面直線AB與CD所成的角為

60°.若四面體ABCD的外接球半徑為有，則四面體ABCD的體積的最大值為.

【答案】2V3

【解析】考慮直三棱柱ABD1—&CD,BC=2/ABD】=60°.則四面體ABCD為滿足題設條件的四面體，且

其外接球與三棱柱AB。1-A,CD的外接球相同.設三棱柱底面△48劣的外接圓半徑為r.則"+(與產(chǎn)=

5nr=2.

在△48￡>i中,由正弦定理得

———=2r=AD-,=2>/3；

sinrXBDj1

再由余弦定理得

2

ADl=AB+BD：-2AB-BD1cos/-ABDi

>AB2+BDl-AB-BDi=12.

由均值不等式得48-BDi(12.

四面體ABCD=J三左曲BDLACD

=1x?BDiSin4ABe1?BC

<2-73>

當三棱柱ABD1-4CD為正三棱柱時，上式等號成立.

因此,四面體ABCD體積的最大值為2百.

13.【2020年新疆預賽】現(xiàn)有一個能容納10個半徑為1的小球的封閉的正四面體容器，則該容器棱長最小

值為.

【答案】4+2巡

【解析】這10個小球成棱雉形來放，第一層1個，第2層3個，第3層6個，即每一條棱是3個小球，于是

正四面體的?條棱長就應該是4倍的小球的半徑加上2倍的球心到四面體頂點的距離到棱長上的射影的長

度，又球心到頂點的距離為3,正四面體的高和棱所成角的余弦值為當，故容器棱長的最小值為4+2X3X

—=4+2>/6

3

14.【2019年全國】如圖，正方體4BCD-EFGH的一個截面經(jīng)過頂點4,C及棱EF上一點K,且將正方體

分成體積比為3：1的兩部分，則箓的值為.

【答案】V3

【解析】設三="截面與FG交于J.

EF

^ABCKFJ—匕1BCF+^AKFJ+^AFJC=*+/?+/=:

k2+k=l，2k2+2k-l=0,解得k=亨,k=(舍去)

EK2-(V3-l)3-V3r=

+“又lt還一x/3-i一序7-73.

15.【2019年江蘇預賽】在棱長為1的正方體力BCD-48傳1。1中，點E在&5上，點尸在C。上,&E=2ED1,

DF=2FC,則三棱錐B-FEG的體積是.

【答案嗎

【解析】如圖，過尸作EC】的平行線交BC的延長線于G,AED則FG||平面BEC「

從而0與尸到平面8EG的距離相等，所以體積/_FEG=VE-BCC,-

乂&E=2ED”DF=2FC,所以CG=

所以Vg-FEC]=%-BGC]=：X：xgxlXl=云.

16.【2019年江西預賽】P是正四棱錐V-ABCO的高VH的中點，若點P到側(cè)面的距離為3,到底面的距離為5,

則該正四棱錐的體積為.

【答案】750.

【解析】如圖,P凡L面VBC,VP=5,VH=\0,VF=VKP2-PF2=V52-32=4,

而PHMF共圓,1ZP"H="?UM,所以UM=y；

HM=>!VM2-VH2=yjlijAfi=15,

所以棱錐體積V=^-VH-AB2=750.

17.【2019年上海預賽】如圖所示，分別作正四面體布8c的平行于四個面的截面，使得四面積B48c的四個

面均被截成正六邊形，截去四個小四面體后得到的多面體記為G則四面體力BC與多面體G的表面積之比為

，體積之比為.

R

A

B

【答案】9:7,27:23

【解析】設S、V分別為此正四面體每個面的面積、體積，如圖所示.

據(jù)題給條件知△PA'B'APB'C,△PC'4與此正四面體每面的三角形相似，相似比為1:3.

貝=S^pB,d==^AA'B'C'=qS

故B四面減S多面體=4S:(4S-4x3x"+4x：S)=9:7

而/T，B，c，=7壬是V四而捺V多面體=匕(展4X/)=27:23.

18.[2019年上海預賽】邊長為2的正方形經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個正四棱錐則此正四棱錐體

積的最大值為.

【答案】

【解析】設圖中小正方形的邊長為2a于是，此正四棱錐的高為-a)2-a2=廣元.

所求正四棱錐的體枳V=i(2a)2VT^=ia2VT^.

又據(jù)均值不等式有。4(1一2a)=|a4(2-4a)《A史"等上"了=g.

故〃＜需=嘿?

19.[2019年新疆預賽】一個150X324x375的長方體由1x1x1的單位立方體拼在一起構(gòu)成的，則該長方

體的一條對角線穿過個不同的單位立方體

【答案】768

【解析】從左到右151個互相平行兩兩距離為1的平面與對角線有151個交點，將對角線分為150段.同樣，

從上到下，從前到后的兩兩距離為1的平面乂增加一些分點.除去對角線的一端外，共有150+324+375-(150,

324)-(324,375)-(375,150)+(150,324,375)=768個分點(容斥原理)，將對角線分為768段，每段屬于一個

單位立方體，即對角線穿過768個單位立方體：(注:a,b為正整數(shù)，記(a,b)為a與b的最大公約數(shù).)

20.【2019年浙江預賽】如圖，在△ABC中，乙4BC=120。，AB=BC=2.在AC邊上取一點。(不含4C),將

△4BZ)沿線段BD折起，得到△PBD.當平面PBD垂直平面4BC時，則P到平面ZBC距離的最大值為

【答案】2

【解析】在△ABC中，因為4B=BC=2/ABC=120°,所以NB/W=NBC4=30°,

由余弦定理可得4c=2V3.

設4C=x,則0cx<=2百一x,

在△4BD中，由余弦定理可得BD=y/x2-2\/3x+4.

在APSD中，PD=4D=x,PB=BA=2,4BPD=30",

設P至I」平面48c距離為d,則SAPBD=xd=^PD-PBsinz.BPD,

解得d=[JL==1■.由0<X<2百得dmax=2.

2

Vx-2V3x+4L_2V5+4

21.【2019年重慶預賽】已知正四面體可容納10個半徑為1的小球，則正四面體棱長的最小值為.

【答案】4+2巡

【解析】當正四面體棱長最小時，設棱長為a,此時，一、二、三層分別有1、3、6個小球，

且相鄰小球兩兩相切，注意到重心分四面體的高為1:3,所以正四面體的高

仁&=3+1.2+-2+1,得a=4+2遙

22.[2019年北京預賽】一個正方體木塊力BCD-的體積為512c/,如圖,M為棱CB的中點,N為棱

BBi的中點.過4MN三點的平面切下一個三棱錐8-4MN,則三棱錐B—AMN的全表面積是cm2.

【答案】64

【解析】如圖，連接MG和NQ.易知AAMN=△CiMN,

△ABMQCM.AABN=△MNB=△MNB.

因此,三棱錐B-AMN的全表面積等于正方形B/CiC的面積，即為64cm2.

23.【2019年福建預賽】如圖，在三棱錐P-A8C中，出_L平面48,120°,%=4.若三棱錐尸-ABC外

接球的半徑為2vL則直線PC與平面ABC所成角的正切值為.

【答案】詈

【解析】如圖，設。|為AABC的外心，。為三棱錐P-ABC外接球的球心.

由以，平面A8C,00」平面4BC,知P4〃。。]

取用中點。，由。2=。4=2或，知。為雨中點，且四

邊形0Aoi。為矩形.

又以=4,

...OiO=AO=2,AABC外接圓的半徑r=O]A=2.

在AABC中，由2r=.",得4c=2X2Xsinl20°=2VI

s\n￡ABC

PA42百

：?tanz.PCA=—=—7==—.

AC2V33

24.【2019年廣西預賽】棱長為6的正方體內(nèi)有一個棱長為x的正四面體且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)

動，則x的最大值為.

【答案】2vB

【解析】易知x最大時，正方體的內(nèi)切球是該正四面體的外接球，

設正方體內(nèi)切球半徑為r,有r=3,且r=乎x,所以x=2限

4

25.【2019年貴州預賽】若半徑為R=2+乃cm的空心球內(nèi)部裝有四個半徑為r的實心球，則r所能取得的最

大值為cm.

【答案】2

【解析】當半徑為r的四個實心球“最緊湊”時,即此四個球兩兩相切且內(nèi)切于空心球時,r取得最大值.

此時，小球的四個球心連線構(gòu)成棱長為2r的正四面體，

顯然，此四面體外接球的球心即為實心球球心.在棱長為2r的正四面體中，求得外接球半徑為當r,于是,空心球

半徑為?r+r,

所以+r+r=24-V6=>r=2(cm).

26.(2019年吉林預賽】已知三棱錐P-4BC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,AABC是邊長為2的

正三角形,E、F分別是AC、BC的中點,NEPF=60。,則球O的表面積為.

【答案】6/r

【解析】由于P-ABC為正三棱錐，故EP=FP.從而AEPF為等邊三角形，且邊長EF=1,由此可知側(cè)面PAC的高

PE=1,故棱長P4=々，還原成棱長為近的正方體可知,P-ABC的外接球的直徑長恰為正方體的體對角線長

后,從而表面積為67r.

27.【2019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷(第01試)】如圖，正方體ABC。一EFGH的一個截面經(jīng)過頂點A、C及棱

EF上一點K,且將正方體分成體積比為3:1的兩部分，則器的值為.

【答案】V3

【解析】如圖，記a為截面所在平面.延長AK、BF交于點、P,則尸在a上，故直線CP是a與平面8CGF的

交線.設CP與尸G交于點L則四邊形AKLC為截面.

因平面A8C平行于平面KFA,且AK、BF、CL共點P,故48C-KFL為棱臺.不妨設正方體棱長為1,則

正方體體積為1,結(jié)合條件知棱臺ABC-KFL的體積V=i

4

設則竺=g=竺=上-.

ABBCPBh+1

注意到私、尸尸分別是棱錐P—A3。與棱錐P-Ka的高，于是

111

7=V=V_-V,=-AB?BC?PB--KFFLPF

4PABCPKFLoo

=2+1)［一(剖=端竽

化簡得3層=1,故九=看

從而空=生=2=百.

KFPFh

28.12019高中數(shù)學聯(lián)賽B卷(第01試)】設三棱錐P—ABC滿足%=PB=3,AB=BC=CA=2,則該三棱錐

體積的最大值為.

【答案】竽

【解析】設三棱錐尸一48C的高為/?,取M為棱A8的中點，則h4PM=-了=2夜.

當平面以B_L平面ABC時，〃取到最大值2V1

此時三棱錐P-ABC的體積取到最大值［SA48c?2&1?百?2企=平.

29.［2018年山西預賽】四面體ABCD中，有一條棱長為3,其余五條棱長皆為2,則其外接球的半徑為一.

【答案】亨

【解析】

解:設BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分別是BC,AD的中點，D在面ABC上的射影H應是AABC的外

心，由于DH上的任一點到A,B,C等距，則外接球心O在DH上，因/4BCWZ1DBC,所以AE=DE,于是ED

為AD的中垂線是，^球心O是DH,EF的交點，且是等腰AEAD的垂心，記球半徑為r,由ADOF?AEAF,

得r=誓

EF

而ZE?=22-(I)?=^,DE=AD=1,EF2=AE2-AF2=*所以r=/=4.

30.【2018年福建預賽】如圖，在四棱錐P-ABC。中，PAmABCD,底面4BCC為正方形，PA=AB.E,

產(chǎn)分別為P。、BC的中點，則二面角后一巨。一4的正切值為.

【答案】y

【解析】

如圖，作EHLAD于〃，連HF.

由%_1_面48?！?gt;,知朋_LAO,EH//PA,EHLABCD.

作HG±DF于G,連EG,則EG±FD,NEGH為二面角E-FD-A的平面角.

,.?ABC。為正方形，E、尸分別為P。、8c的中點，

二,為AD中點,FH1.AD.

設PA=AB=2,則EH=-PA=1,FH=2,HD=4,HG==牟.

2FDV5

tanz.EGH=-=

HC奈2

二二面角E-FD-A的正切值為當

31.【2018年江蘇預賽】已知正四面體內(nèi)切球的半徑是1,則該正四面體的體積為

【答案】8V3

【解析】

設正四面體的棱長為a.

則該正四面體的體積為:xfxa2xfa,全面積為fa2x4,

3434

所以三乂3乂@2乂1乂4=工乂遺乂02乂匹0,解得Q=2?.

34343

從而正四面體的體積為]x彳xa2x與a=8心

故答案為：8V3

32.[2018年浙江預賽】四