高二新數(shù)學(xué)同步練習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義一、選擇題1．已知a、b∈R，那么在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系是(）A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱［答案］B［解析]在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個(gè)點(diǎn)為（a，－b)和（－a，－b)關(guān)于y軸對(duì)稱．2．復(fù)數(shù)i＋i2在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]B［解析]∵i＋i2＝－1＋i，∴復(fù)數(shù)i＋i2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．3．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，則(）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．b＞0，a∈R D．a(chǎn)＞0，b∈R［答案］D[解析］復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部大于零，虛部可為任意實(shí)數(shù)．4．復(fù)數(shù)z與它的模相等的充要條件是（）A．z為純虛數(shù) B．z是實(shí)數(shù)C．z是正實(shí)數(shù) D．z是非負(fù)實(shí)數(shù)[答案］D[解析］∵z＝|z｜，∴z為實(shí)數(shù)且z≥0。5．復(fù)數(shù)1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π）的模為(）A．2coseq\f（α，2) B．－2coseq\f(α,2）C．2sineq\f（α,2） D．－2sineq\f(α,2)[答案]B[解析］所求復(fù)數(shù)的模為eq\r（(1＋cosα)2＋sin2α）＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r（4cos2\f(α,2))，∵π＜α＜2π，∴eq\f(π，2）＜eq\f(α，2）＜π，∴coseq\f（α,2)＜0，∴eq\r（4cos2\f（α，2）)＝－2coseq\f(α,2).6．復(fù)數(shù)z＝(a2－2a）＋(a2－a－2)iA．a(chǎn)≠2或a≠1 B．a(chǎn)≠2或a≠－1C．a(chǎn)＝2或a＝0 D．a(chǎn)＝0[答案］C[解析]由題意知a2－2a解得a＝0或2。7．當(dāng)eq\f（2,3)<m〈1時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2）＋（m－1）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限［答案]D［解析]∵eq\f(2,3)〈m<1,∴2〈3m<3。∴3m－2〉0，m8．(2010·福州高二檢測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z｜＝2,則|z＋3－4i|的最小值是（)A．5 B．2C．7 D．3［答案]D[解析]｜z｜＝2表示復(fù)數(shù)z在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上，而｜z＋3－4i｜表示圓上的點(diǎn)到（－3，4)這一點(diǎn)的距離,故|z＋3－4i｜的最小值為eq\r(（－3)2＋42)－2＝5－2＝3。二、填空題9．（2010·合肥高二檢測(cè)）已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i,z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C，若Oeq\o(C,\s\up6(→）)＝xOeq\o(A,\s\up6(→））＋yOeq\o(B,\s\up6(→））（x，y∈R）,則x＋y的值是______．［答案]5[解析］由復(fù)數(shù)的幾何意義可知Oeq\o（C，\s\up6（→））＝xeq\o（OA,\s\up6（→)）＋yeq\o（OB,\s\up6（→）)即3－2i＝x（－1＋2i)＋y（1－i）∴3－2i＝（y－x）＋（2x－y）i由復(fù)數(shù)相等可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x＝3,2x－y＝－2））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝4))∴x＋y＝510．設(shè)(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋1＝0上，則tanθ的值為________．[答案］eq\f（1,2）［解析］由題意,得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝eq\f（1，2）11．若復(fù)數(shù)z滿足z＝|z|－3－4i，則z＝________.［答案]eq\f(7，6）－4i［解析]設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R），則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r（a2＋b2)－3,b＝－4，))∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(7，6),b＝－4)）∴z＝eq\f（7，6）－4i.12．已知f（z)＝｜1＋z｜－z且f（－z）＝10＋3i，則復(fù)數(shù)z為________．[答案]5＋3i[解析]設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則f(－z）＝｜1－x－yi｜＋（x＋yi)＝10＋3i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r（（1－x）2＋y2）＋x＝10,，y＝3.)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝5，,y＝3。))∴z＝5＋3i。三、解答題13．如果復(fù)數(shù)z＝(m2＋m－1)＋（4m2－8m＋3)i(m∈R[解析]∵z＝(m2＋m－1)＋（4m2－8m由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m2＋m－1＞0，,4m2－8m＋3＞0，））解得m＜eq\f(－1－\r（5)，2）或m＞eq\f（3,2)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜eq\f（－1－\r（5)，2）或m＞eq\f（3，2)。14．已知復(fù)數(shù)z1＝1＋cosθ＋isinθ，z2＝1－sinθ＋icosθ,且兩數(shù)的模的平方和不小于2，求θ的取值范圍．[解析]由已知，得|z1|2＝(1＋cosθ）2＋sin2θ＝2＋2cosθ，|z2|2＝（1－sinθ）2＋cos2θ＝2－2sinθ。｜z1｜2＋|z2｜2≥2,即2＋2cosθ＋2－2sinθ≥2，cosθ－sinθ≥－1cos（θ＋eq\f(π，4）)≥eq\f(－\r（2)，2）,所以2kx－π≤θ≤2kπ＋eq\f（π,2），k∈Z。所以θ的取值范圍是[2kπ－π，2kπ＋eq\f(π,2）］，k∈Z.15．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－（a2－2a＋2）i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？復(fù)數(shù)［分析]根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限，與復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的符號(hào)有關(guān)，所以本題的關(guān)鍵是判斷（a2－2a＋4)與－（a2－2求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡問題，首先把z表示成z＝x＋yi(x、y∈R）的形式，然后尋求x、y之間的關(guān)系，但要注意參數(shù)限定的條件．［解析]由a2－2a＋4＝(a－1）2－（a2－2a＋2）＝－(a－1)2∴復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正數(shù)，復(fù)數(shù)z的虛部為負(fù)數(shù)，因此，復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限．設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝a2－2a＋4，，y＝－(a2－2a＋2)）)消去a2－2a得:y＝－x＋2（x∴復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一條射線，方程為y＝－x＋2（x≥3）．［點(diǎn)評(píng)］對(duì)于求復(fù)數(shù)z的軌跡方程問題，關(guān)鍵是要設(shè)z＝x＋yi（x、y∈R）,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)（x,y)關(guān)于a的參數(shù)方程，在消去參數(shù)a時(shí)，注意觀察到a2－2a16．復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－eq\r（3i)｜＝eq\r(3）,求|z｜的最大值和最小值．[解析]解法一：|z＋3－eq\r（3i)｜≥｜｜z|－｜3－eq\r(3i)|｜，|z＋3－eq\r（3i）|≤｜z｜＋|3－eq\r(3i）｜.又∵｜z＋3－eq\r(3i）｜＝eq\r（3),｜3－eq\r(3i)|＝eq\r（12)＝2eq\r(3)，∴｜｜z｜－2eq\r（3)|≤eq\r(3），即eq\r（3）≤｜z|≤3eq\r(3)。解法二：|z＋3－eq\r(3i）｜＝eq\r（3)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z在