7.2.17.2.2 任意角的三角函數(shù) 同角三角函數(shù)的關(guān)系

.1&7.2.2任意角的三角函數(shù)同角三角函數(shù)的關(guān)系【考點梳理】考點一：任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，點P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；點P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x；把點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，分別記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．考點二：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．考點三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．平方關(guān)系：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商數(shù)關(guān)系：同一個角α的正弦、余弦的商等于這個角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．【題型歸納】題型一：由定義或者終邊求某角三角函數(shù)1．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┤艚堑慕K邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，則.故選：D2．（2023下·四川眉山·高一?？计谥校┮阎堑捻旤c為坐標(biāo)原點，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查三角函數(shù)的定義，利用定義即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由三角函數(shù)的定義可知，點為角的終邊與單位圓的交點，所以：.故選：B.3．（2023下·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形函數(shù)的定義可求出結(jié)果.【詳解】由，解得，所以點，所以.故選：D題型二：由單位圓求三角函數(shù)值4．（2023上·吉林長春·高一長春市實驗中學(xué)?？计谀cP從點出發(fā)，繞以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)點Q，則點Q的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得為終邊的一個角為，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得為終邊的一個角為，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，則，，所以.故選：C5．（2022上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）已知點是角α的終邊與單位圓的交點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因為點是角α的終邊與單位圓的交點，所以，故選：B6．（2021下·河南洛陽·高一統(tǒng)考期中）點為圓與軸正半軸的交點，將點沿圓周逆時針旋轉(zhuǎn)至點，當(dāng)轉(zhuǎn)過的弧長為時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出旋轉(zhuǎn)角，就可以計算點的坐標(biāo)了.【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，則，得，從而可得.故選：B.題型三：三角函數(shù)值符號的確定7．（2023上·陜西西安·高一長安一中校考期末）“且”是“為第三象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】求出且時所在象限，再根據(jù)充分必要條件的概念判斷．【詳解】因為且，由任意角的三角函數(shù)可知，為第四象限角，所以“且”是“為第三象限角”的既不充分也不必要條件，故選：D.8．（2023上·山西大同·高一山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀c所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由，可得的終邊在第二象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷和的正負(fù)，進(jìn)而求解.【詳解】由，即的終邊在第二象限，所以，，所以點在第二象限.故選：B.9．（2022下·北京海淀·高一北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【分析】分若為第一、二、三、四象限角，求出的值.【詳解】若為第一象限角，則，故，若為第二象限角，則，故，若為第三象限角，則，故，B正確；若為第四象限角，則，故.故選：B題型四：平方關(guān)系（sinθ±cosθ型求值）10．（2023下·四川宜賓·高一校考期中）已知，其中，的值為（

）A．－ B．－ C． D．【答案】A【分析】利用平方關(guān)系計算的值，并根據(jù)角的象限判斷符號即可.【詳解】因為為第四象限角，所以.故選：A.11．（2022下·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知結(jié)合求得即可求出.【詳解】因為，，則可解得，所以.故選：A.12．（2022下·山東東營·高一廣饒一中?？剂?xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，可求得的值.【詳解】因為，則，由已知可得，解得，因此，.故選：D.題型五：正余弦齊次式計算問題13．（2023上·天津紅橋·高一天津市瑞景中學(xué)?？计谀┮阎瑒t（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：C.14．（2023下·北京西城·高一北師大實驗中學(xué)?？计谥校┤绻堑慕K邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因為角的終邊在直線上，所以.所以.故選：B.15．（2023·高一單元測試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用齊次式求出，再把待求式子進(jìn)行弦化切，代入求解.【詳解】∵，∴，則.故選：A題型六：化簡求值16．（2023下·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學(xué)校）已知，且則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩邊平方得到，進(jìn)而得到，聯(lián)立求出，得到答案.【詳解】由，兩邊平方得，因為，所以，又，又因為，所以，，得，聯(lián)立與，求得，故故選：C17．（2023·全國·高一課堂例題）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡，從而求得正確答案.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角函數(shù)的符號等知識進(jìn)行化簡，從而求得正確答案.【詳解】（1）原式．（2）因為，所以．原式．18．（2023下·高一課時練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的兩個根（）(1)求a的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由韋達(dá)定理和同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合判別式即可求實數(shù)的值；（2）用立方和公式把展開結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；（3）切化弦后結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）因為是關(guān)于x的方程的兩個根，所以方程的判別式，解得：或，且有，所以==，即，解得（舍去），即a的值為.（2）因為，所以的值為.（3）因為.故的值為.題型七：恒等式的證明19．（2023下·河南許昌·高一校考期中）證明：.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)平方關(guān)系將所證等式的左側(cè)化簡，再根據(jù)商的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為正切即可.【詳解】左邊右邊.所以.20．（2023下·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）證明：(1).(2)已知，，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用作差法結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可證得結(jié)論成立；（2）由已知條件可得，，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：因為，因此，.（2）證明：因為，，則，，所以，.故結(jié)論得證.21．（2023下·山東濰坊·高一校考階段練習(xí)）（1）若，化簡：；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由已知，結(jié)合平方關(guān)系式及角的范圍化簡計算即可；（2）利用切化弦公式化簡等式的左邊得到右邊.【詳解】（1）原式，因為，所以，原式.（2）證明：.【雙基達(dá)標(biāo)】單選題22．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知角終邊經(jīng)過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義列式計算即可.【詳解】因為角終邊經(jīng)過點，所以，所以，解得.故選：C23．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）角的終邊上一點的坐標(biāo)為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助三角函數(shù)定義求出，然后利用定義可求答案.【詳解】，解得：，所以.故選：A.24．（2023上·高一課時練習(xí)）當(dāng)x為第二象限角時，（

）A．1 B．0C．2 D．－2【答案】C【分析】根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的正負(fù)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是第二象限角，所以，故選：C25．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右兩邊平方，得出，再應(yīng)用弦化切，最后結(jié)合角的范圍可得求出正切值．【詳解】∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函數(shù)定義知，∴，故．故選：D.26．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】分子分母同時除以進(jìn)行弦切互化即可求解.【詳解】由題知，，則.故選：C.27．（2023上·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可得，根據(jù)即可求得結(jié)果.【詳解】將兩邊同時平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故選：C28．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在單位圓中，確定下列三角函數(shù)值的符號：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正(2)負(fù)(3)負(fù)(4)負(fù)【分析】在單位圓中，作出角（或與該角終邊相同的角），根據(jù)角的象限，結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可得出答案.【詳解】（1）

如圖1，作出（自軸非負(fù)半軸起，逆時針旋轉(zhuǎn)），可知該角的終邊位于第二象限，設(shè)，易知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，.（2）

如圖2，作出（自軸非負(fù)半軸起，逆時針旋轉(zhuǎn)），可知該角的終邊位于第三象限，設(shè)，易知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，所以.（3）

如圖3，作出（自軸非負(fù)半軸起，順時針旋轉(zhuǎn)），可知的終邊位于第三象限，設(shè)，易知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，.（4）

如圖4，作出（自軸非負(fù)半軸起，逆時針旋轉(zhuǎn)），可知的終邊位于第四象限，設(shè)，易知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，.29．（2023上·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)校考期中）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）0或．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得；（2）由平方關(guān)系求出，從而求出，即可得到【詳解】（1）由，所以；（2）由，，可得，即，則或，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；所以或．【高分突破】一、單選題30．（2023·全國·高一課堂例題）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式先求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，，，整理得，解得（舍去）或．∵，．故選：A31．（2023下·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）若為第三象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡可得的值.【詳解】因為為第三象限角，則，因此，.故選：D.32．（2023下·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）若，，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【分析】根據(jù)題意切化弦得到，，進(jìn)而判斷角所在象限.【詳解】由，，得，，所以是第一象限角.故選：A.33．（2023下·高一課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，角的頂點是原點，始邊是x軸的非負(fù)半軸，終邊在射線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出答案.【詳解】，因為終邊在上，不妨取，則，所以，故.故選：C34．（2023下·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）我圓古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)大正方形的邊長為，則直角三角形的直角邊分別為，分別求得，結(jié)合，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)大正方形的邊長為，則直角三角形的直角邊分別為，因為是直角三角形較小的銳角，所以，可得，則，即，所以，解得或（舍去），所以.故選：C.二、多選題35．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．若，則與是終邊相同的角B．若角的終邊過點，則C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限【答案】CD【分析】舉反例判斷A；由三角函數(shù)的定義判斷B；由弧長公式判斷C；由與同號判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)時，，但終邊不同，故A錯誤；對于B：，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C：由，得，故C正確；對于D：，即與同號，則角的終邊在第一象限或第三象限，故D正確；故選：CD36．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知角的終邊上有一點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題知，因為，所以點在第三象限，所以，，故選：BD.37．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為第二象限角 B．C． D．【答案】ABD【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算求解即可判斷各選項.【詳解】由同角三角函數(shù)平分關(guān)系可得，，因為，所以，解得，,因為，所以是第二象限角，故選項，正確，有同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得，，故選項錯誤，因為，故選項正確.故選：.38．（2023上·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）已知為銳角，且，則下列選項中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】因為，所以，而為銳角，所以，選項A正確；，所以選項C正確；因為為銳角，所以，因此選項D正確，由，所以選項B不正確，故選：ACD39．（2023下·廣東·高二校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點，若，則可以?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合和已知條件可求出.【詳解】因為點繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點，所以，因為，所以，則由，解得，或，所以可以取或，故選：AD三、填空題40．（2023上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？计谥校┮阎堑慕K邊經(jīng)過點，則．【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點，∴，，，∴．故答案為：．41．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）若角的終邊經(jīng)過點，則的值是．【答案】【分析】分、兩種情況討論，結(jié)合三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，當(dāng)時，由三角函數(shù)的定義可得，，此時，；當(dāng)時，由三角函數(shù)的定義可得，，此時，.綜上所述，.故答案為：.42．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則.【答案】【分析】由求出，再由立方差公式求解的值.【詳解】，兩邊平方得，∴，則．故答案為：．43．（2023下·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）已知，則．【答案】【分析】直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可.【詳解】因為，解得，所以，所以，故答案為：.44．（2023·全國·高一課堂例題）已知，則（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】（1）分子分母同時除以，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含的形式，由此求得正確答案.（2）分子分母同時除以，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含的形式，由此求得正確答案.（3）先除以“1”，也即除以，再分子分母同時除以，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含的形式，由此求得正確答案.【詳解】（1）分子分母同時除以得：（2）分子分母同時除以得：．（3）.故答案為：；；四、解