高中數(shù)學必修一高中數(shù)學必修公開課教案-對數(shù)與對數(shù)運算-第一課時-公開課教案課件課時訓練練習教案課件

2.2對數(shù)函數(shù)2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算整體設計教學分析我們在前面的學習過程中,已了解了指數(shù)函數(shù)的概念和性質,它是后續(xù)學習的基礎,從本節(jié)開始我們學習對數(shù)及其運算.使學生認識引進對數(shù)的必要性,理解對數(shù)的概念及其運算性質,了解對數(shù)換底公式及其簡單應用,能將一般對數(shù)轉化為常用對數(shù)或自然對數(shù),通過閱讀材料,了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對簡化運算的作用.教材注重從現(xiàn)實生活的事例中引出對數(shù)概念,所舉例子比較全面,有利于培養(yǎng)學生的思想素質和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和欲望.教學中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用,并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例,以豐富教學的情景創(chuàng)設.教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學功能,教材安排了“閱讀與思考”的內容,有利于加強數(shù)學文化的教育,應指導學生認真研讀.根據(jù)本節(jié)內容的特點,教學中要注意發(fā)揮信息技術的力量,使學生進一步體會到信息技術在數(shù)學學習中的作用,盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設教學情境,為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持.三維目標1.理解對數(shù)的概念,了解對數(shù)與指數(shù)的關系;理解和掌握對數(shù)的性質;掌握對數(shù)式與指數(shù)式的關系；通過實例推導對數(shù)的運算性質,準確地運用對數(shù)運算性質進行運算,并掌握化簡求值的技能;運用對數(shù)運算性質解決有關問題.培養(yǎng)學生分析、綜合解決問題的能力;培養(yǎng)學生數(shù)學應用的意識和科學分析問題的精神和態(tài)度.2.通過與指數(shù)式的比較,引出對數(shù)的定義與性質；讓學生經歷并推理出對數(shù)的運算性質;讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識.3.學會對數(shù)式與指數(shù)式的互化,從而培養(yǎng)學生的類比、分析、歸納能力;通過對數(shù)的運算法則的學習,培養(yǎng)學生的嚴謹?shù)乃季S品質；在學習過程中培養(yǎng)學生探究的意識；讓學生感受對數(shù)運算性質的重要性,增加學生的成功感,增強學習的積極性.重點難點教學重點：對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的性質,對數(shù)運算的性質與對數(shù)知識的應用.教學難點:對數(shù)概念的理解,對數(shù)運算性質的推導及應用.課時安排3課時教學過程第1課時對數(shù)與對數(shù)運算(1)導入新課思路1.1.莊子：一尺之棰,日取其半,萬世不竭.（1）取4次,還有多長？（2）取多少次,還有0.125尺？2.假設2002年我國國民生產總值為a億元,如果每年平均增長8%,那么經過多少年國民生產總值是2002年的2倍？抽象出：1.()4＝？()x＝0.125x=?2.(1+8%)x=2x=?都是已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù).你能看得出來嗎？怎樣求呢？像上面的式子,已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù),這就是我們這節(jié)課所要學習的對數(shù)〔引出對數(shù)的概念,教師板書課題:對數(shù)與對數(shù)運算(1)〕.思路2.我們前面學習了指數(shù)函數(shù)及其性質,同時也會利用性質解決問題,但僅僅有指數(shù)函數(shù)還不夠,為了解決某些實際問題,還要學習對數(shù)函數(shù),為此我們先學習對數(shù)〔引出對數(shù)的概念,教師板書課題:對數(shù)與對數(shù)運算(1)〕.推進新課新知探究提出問題(對于課本P572.1.2的例8)①利用計算機作出函數(shù)y=13×1.01x的圖象.②從圖象上看,哪一年的人口數(shù)要達到18億、20億、30億…?③如果不利用圖象該如何解決,說出你的見解？即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在這幾個式子中,x分別等于多少？④你能否給出一個一般性的結論?活動：學生討論并作圖,教師適時提示、點撥.對問題①,回憶計算機作函數(shù)圖象的方法,抓住關鍵點.對問題②,圖象類似于人的照片,從照片上能看出人的特點,當然從函數(shù)圖象上就能看出函數(shù)的某些點的坐標.對問題③,定義一種新的運算.對問題④,借助③,類比到一般的情形.討論結果：①如圖2-2-1-1.圖2-2-1-1②在所作的圖象上,取點P,測出點P的坐標,移動點P,使其縱坐標分別接近18,20,30,觀察這時的橫坐標,大約分別為32.72,43.29,84.04,這就是說,如果保持年增長率為1個百分點,那么大約經過33年,43年,84年,我國人口分別約為18億,20億,30億.③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在這幾個式子中,要求x分別等于多少,目前我們沒學這種運算,可以定義一種新運算,即若=1.01x,則x稱作以1.01為底的的對數(shù).其他的可類似得到,這種運算叫做對數(shù)運算.④一般性的結論就是對數(shù)的定義:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次冪等于N,就是ax=N,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).有了對數(shù)的定義,前面問題的x就可表示了:x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.由此得到對數(shù)和指數(shù)冪之間的關系:aNb指數(shù)式ab=N底數(shù)冪指數(shù)對數(shù)式logaN=b對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01提出問題①為什么在對數(shù)定義中規(guī)定a>0,a≠1?②根據(jù)對數(shù)定義求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.③負數(shù)與零有沒有對數(shù)?④=N與logaab=b(a>0,a≠1)是否成立?討論結果：①這是因為若a＜0,則N為某些值時,b不存在,如log（－2）;若a=0,N不為0時,b不存在,如log03,N為0時,b可為任意正數(shù),是不唯一的,即log00有無數(shù)個值;若a=1,N不為1時,b不存在,如log12,N為1時,b可為任意數(shù),是不唯一的,即log11有無數(shù)個值.綜之,就規(guī)定了a＞0且a≠1.②loga1=0,logaa=1.因為對任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.同樣易知：logaa=1.即1的對數(shù)等于0,底的對數(shù)等于1.③因為底數(shù)a＞0且a≠1,由指數(shù)函數(shù)的性質可知,對任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正數(shù)才有對數(shù),零和負數(shù)沒有對數(shù).④因為ab=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.因為ab=ab,所以logaab=b.故兩個式子都成立.(a=N叫對數(shù)恒等式)思考我們對對數(shù)的概念和一些特殊的式子已經有了一定的了解,但還有兩類特殊的對數(shù)對科學研究和了解自然起了巨大的作用,你們知道是哪兩類嗎?活動：同學們閱讀課本P68的內容,教師引導,板書.解答：①常用對數(shù)：我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù).為了簡便,N的常用對數(shù)log10N簡記作lgN.例如：log105簡記作lg5;log103.5簡記作lg3.5.②自然對數(shù)：在科學技術中常常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù),以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù),為了簡便,N的自然對數(shù)logeN簡記作lnN.例如：loge3簡記作ln3;loge10簡記作ln10.應用示例思路1例1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式,對數(shù)式寫成指數(shù)式：（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活動：學生閱讀題目,獨立解題,把自己解題的過程展示在屏幕上,教師評價學生,強調注意的問題.對（1）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系,4在指數(shù)位置上,4是以5為底625的對數(shù).對（2）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系,-6在指數(shù)位置上,-6是以2為底的對數(shù).對（3）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系,m在指數(shù)位置上,m是以為底5.73的對數(shù).對(4)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系,16在真數(shù)位置上,16是的-4次冪.對(5)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系,0.01在真數(shù)位置上,0.01是10的-2次冪.對(6)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系,10在真數(shù)位置上,10是e的2.303次冪.解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.思考指數(shù)式與對數(shù)式的互化應注意哪些問題?活動：學生考慮指數(shù)式與對數(shù)式互化的依據(jù),回想對數(shù)概念的引出過程,理清對數(shù)與指數(shù)冪的關系,特別是位置的對照.解答：若是指數(shù)式化為對數(shù)式,關鍵要看清指數(shù)是幾,再寫成對數(shù)式.若是對數(shù)式化為指數(shù)式,則要看清真數(shù)是幾,再寫成冪的形式.最關鍵的是搞清N與b在指數(shù)式與對數(shù)式中的位置,千萬不可大意,其中對數(shù)的定義是指數(shù)式與對數(shù)式互化的依據(jù).變式訓練課本P64練習1、2.例2求下列各式中x的值:（1）log64x=;（2）logx8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.活動：學生獨立解題,教師同時展示學生的作題情況,要求學生說明解答的依據(jù),利用指數(shù)式與對數(shù)式的關系,轉化為指數(shù)式求解.解：（1）因為log64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.（2）因為logx8=6,所以x6=8=23=()6.因為x>0,因此x=.（3）因為lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2.（4）因為-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.點評：本題要注意方根的運算,同時也可借助對數(shù)恒等式來解.變式訓練求下列各式中的x：①log4x=;②logx27=;③log5（log10x）=1.解：①由log4x=,得x=4=2;②由logx27=,得x=27,所以x=27=81;③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.點評：在解決對數(shù)式的求值問題時,若不能一下子看出結果,根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系,首先將其轉化為指數(shù)式,進一步根據(jù)指數(shù)冪的運算性質算出結果.思路2例1以下四個命題中,屬于真命題的是（）（1）若log5x=3,則x=15（2）若log25x=,則x=5（3）若logx=0,則x=（4）若log5x=－3,則x=A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）活動：學生觀察,教師引導學生考慮對數(shù)的定義.對數(shù)式化為指數(shù)式,根據(jù)指數(shù)冪的運算性質算出結果.對于（1）因為log5x=3,所以x=53=125,錯誤;對于（2）因為log25x=,所以x=25=5,正確;對于（3）因為logx=0,所以x0=,無解,錯誤;對于（4）因為log5x=－3,所以x=5-3=,正確.總之（2）（4）正確.答案：C點評：對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù).例2對于a＞0,a≠1,下列結論正確的是（）（1）若M=N,則logaM=logaN（2）若logaM=logaN,則M=N（3）若logaM2=logaN2,則M=N（4）若M=N,則logaM2=logaN2A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4）活動：學生思考,討論,交流,回答,教師及時評價.回想對數(shù)的有關規(guī)定.對（1）若M=N,當M為0或負數(shù)時logaM≠logaN,因此錯誤;對（2）根據(jù)對數(shù)的定義,若logaM=logaN,則M=N,正確;對（3）若logaM2=logaN2,則M=±N,因此錯誤;對（4）若M=N=0時,則logaM2與logaN2都不存在,因此錯誤.綜上,（2）正確.答案：C點評：0和負數(shù)沒有對數(shù),一個正數(shù)的平方根有兩個.例3計算：(1)log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.活動：教師引導,學生回憶,教師提問,學生回答,積極交流,學生展示自己的解題過程,教師及時評價學生.利用對數(shù)的定義或對數(shù)恒等式來解.求式子的值,首先設成對數(shù)式,再轉化成指數(shù)式或指數(shù)方程求解.另外利用對數(shù)恒等式可直接求解,所以有兩種解法.解法一：(1)設x=log927,則9x=27,32x=33,所以x=;(2)設x=log81,則()x=81,3=34,所以x=16;(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.解法二：(1)log927=log933=log99=;(2)log81=log()16=16;(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;(4)log625=log()3=3.點評：首先將其轉化為指數(shù)式,進一步根據(jù)指數(shù)冪的運算性質算出結果,對數(shù)的定義是轉化和對數(shù)恒等式的依據(jù).變式訓練課本P64練習3、4.知能訓練1.把下列各題的指數(shù)式寫成對數(shù)式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log3;(7)-2=log16.2.把下列各題的對數(shù)式寫成指數(shù)式:(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;(9)log2128=7;(10)log327=a.解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.解：(1)因為log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;(2)因為logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;(3)因為log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;(4)因為log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.4.(1)求log84的值;(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.解：(1)設log84=x,根據(jù)對數(shù)的定義有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;(2)因為loga2=m,loga3=n,根據(jù)對數(shù)的定義有am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.點評：此題不僅是簡單的指數(shù)與對數(shù)的互化,還涉及到常見的冪的運算法則的應用.拓展提升請你閱讀課本75頁的有關閱讀部分的內容,搜集有關對數(shù)發(fā)展的材料,以及有關數(shù)學家關于對數(shù)的材料,通過網絡查尋關于對數(shù)換底公式的材料,為下一步學習打下基礎.課堂小結(1)對數(shù)引入的必要性；(2)對數(shù)的定義；(3)幾種特殊數(shù)的對數(shù)；(4)負數(shù)與零沒有對數(shù)；(5)對數(shù)恒等式；(6)兩種特殊的對數(shù).作業(yè)課本P74習題2.2A組1、2.【補充作業(yè)】1.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化,有x的求出x的值.（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;（4）()x=64;（5）lg0.0001=x;（6）lne5=x.解：（1）5=化為對數(shù)式是log5=;（2）x=log4化為指數(shù)式是()x=4,即2=22,=2,x=4;（3）3x=化為對數(shù)式是x=log3,因為3x=()3=3-3,所以x=-3;（4）()x=64化為對數(shù)式是x=log64,因為()x=64=43,所以x=-3;（5）lg0.0001=x化為指數(shù)式是10x=0.0001,因為10x=0.0001=10-4,所以x=-4;（6）lne5=x化為指數(shù)式是ex=e5,因為ex=e5,所以x=5.2.計算的值.解：設x=log3,則3x=,(3)x=(),所以x=log.所以3===.3.計算(a>0,b>0,c>0,N>0).解：===N.設計感想本節(jié)課在前面研究了指數(shù)函數(shù)及其性質的基礎上,為了運算的方便,引進了對數(shù)的概念,使學生感受到對數(shù)的現(xiàn)實背景,它有著豐富的內涵,和我們的實際生活聯(lián)系密切,也是以后學習對數(shù)函數(shù)的基礎,鑒于這種情況,安排教學時,無論是導入還是概念得出的過程,都比較詳細,通俗易懂,要反復練習,要緊緊抓住它與指數(shù)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別,結合指數(shù)式理解對數(shù)式,強化對數(shù)是一種運算,并注意對數(shù)運算符號的理解和記憶,多運用信息化的教學手段,順利完成本堂課的任務,為下一節(jié)課作準備.(設計者：路致芳)下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關就主動關上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關會怎樣做呢？

齊：主動關好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談談好嗎？

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們人類自己。

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“