高考數(shù)學 單元評估檢測(一)試題

單元評估檢測(一)第一章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2015·烏魯木齊模擬)設A={x|<x<5,x∈Z},B={x|x>a}.若A?B,則實數(shù)a的取值范圍是()A.a< B.a≤ C.a≤1 D.a<1【解析】選D.A={1,2,3,4},由A?B得a<1.【誤區(qū)警示】本題易誤選A或B,出現(xiàn)錯誤的原因是忽視了集合A中“x∈Z”這一條件及對端點值的驗證.2.(2015·蘭州模擬)若集合A={x∈R|y=lg(2-x)},B={y∈R|y=2x-1,x∈A},則R(A∩B)=()A.R B.(-∞,0]∪[2,+∞)C.[2,+∞) D.(-∞,0]【解析】選B.由2-x>0得x<2,即A={x|x<2},當x∈A時,0<2x-1<2,即B={y|0<y<2},從而A∩B={x|0<x<2},R(A∩B)={x|x≤0或x≥2}.3.已知命題p:?x0>1,x02-1>0,那么p是()A.?x>1,x2-1>0 B.?x>1,x2-1≤0C.?x0>1,x02-1≤0 D.?x0≤1,x02-1≤0【解析】選B.“?x0>1,x02-1>0”的否定為“?x>1,x2-1≤04.(2015·雙鴨山模擬)“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解題提示】只需判斷“α=β”是“sinα=sinβ”的什么條件.【解析】選A.α=β?sinα=sinβ,但sinα=sinβ?α=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要條件,從而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要條件.5.已知ab>0,若a>b,則的否命題是()A.已知ab≤0,若a≤b,則B.已知ab≤0,若a>b,則C.已知ab>0,若a≤b,則D.已知ab>0,若a>b,則【解析】選C.條件ab>0是大前提,所以其否命題是:已知ab>0,若a≤b,則.【誤區(qū)警示】解答本題易誤選A,出錯的原因是忽視了大前提與條件的關(guān)系.6.(2015·天津模擬)下列命題中錯誤的是()A.命題“若p,則q”與命題“若q,則p”互為逆否命題B.命題p:?x∈[0,1],ex≥1,命題q:?x0∈R,x02+x0+1<0,p∨q為真C.若p∨q為假命題,則p,q均為假命題D.“若am2<bm2,則a<b”的逆命題為真命題【解析】選D.對于D,逆命題為“若a<b,則am2<bm2”,當m=0時,am2=bm2,故逆命題是假命題.7.已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A具有性質(zhì)P:當a∈A時,必有6-a∈A.則具有性質(zhì)P的集合A的個數(shù)是()A.8 B.7 C.6 D.5【解析】選B.由題意,知3∈A可以,若1∈A,則5∈A,若2∈A,則4∈A,所以具有性質(zhì)P的集合A有{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7個.8.設a,b為實數(shù),則“0<ab<1”是“b<”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選D.若0<ab<1,則當a>0時,有b<,當a<0時,有b>.當b<時,不妨設b=-1,a=1,則滿足b<,但ab=-1,不滿足0<ab<1.所以0<ab<1是b<成立的既不充分也不必要條件,選D.【加固訓練】“10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由10a>10b得a>b.由lga>lgb得a>b>0,所以“10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的必要不充分條件,選B.9.(2015·寧德模擬)已知命題p:“x>2是x2>4的充要條件”,命題q:“若,則a>b”,那么()A.“p或q”為真 B.“p且q”為真C.p真q假 D.p,q均為假【解析】選A.命題p是假命題,命題q是真命題,從而“p或q”為真.10.(2015·荊州模擬)給出下列四個命題:①命題:?x0∈R,sinx0+cosx0=;②?x0∈(-∞,0),;③?x∈R,ex≥x+1;④對?(x,y)∈{(x,y)|4x+3y-10=0},則x2+y2≥4,其中所有真命題是()A.①③ B.②③ C.②④ D.③④【解析】選D.sinx+cosx=sin(x+)≤,故①錯;畫y=2x,y=3x圖可知②錯;設f(x)=ex-(x+1),f′(x)=ex-1,可知f(x)在(-∞,0)遞減,在(0,+∞)遞增,f(x)min=f(0)=0,故③正確;x2+y2為原點到4x+3y-10=0的距離的平方,為4,所以④正確.11.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,則“c<0”是“?x0∈R,使f(x0)<0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題提示】把問題轉(zhuǎn)化為方程x2+bx+c=0有根的情況解答.【解析】選A.若c<0,則Δ=b2-4c>0,所以?x0∈R,使f(x0)<0,成立.若?x0∈R,使f(x0)<0,則有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以當c=1,b=3時,滿足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“?x0∈R,使f(x0)<0”【誤區(qū)警示】解答本題易誤選C,出錯的原因就是不能進行合理轉(zhuǎn)化,尤其反推時,不知道舉反例,而導致誤選C.12.(2015·嘉興模擬)對任意的實數(shù)x,若[x]表示不超過x的最大整數(shù),則“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.當x=0.9,y=1時,滿足|x-y|<1,但[x]=0≠[y]=1,所以|x-y|<1?[x]=[y],反之,若[x]=[y]=n,則n≤x<n+1,n≤y<n+1?-1<x-y<1?|x-y|<1,所以[x]=[y]?|x-y|<1,綜上知,“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要不充分條件.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命題,p(2)是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是.【解析】因為p(1)是假命題,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又因為p(2)是真命題,所以4+4-m>0,解得m<8,所以實數(shù)m的取值范圍是3≤m<8.答案:3≤m<814.(2015·青島模擬)已知A={x|<2-x<},B={x|log2(x-2)<1},則A∪B=.【解析】因為A={x|<2-x<}={x|2-3<2-x<2-1}={x|1<x<3},B={x|log2(x-2)<1}={x|0<x-2<2}={x|2<x<4},所以A∪B={x|1<x<4}.答案:{x|1<x<4}15.(2015·玉溪模擬)已知命題p:函數(shù)f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)內(nèi)恰有一個零點;命題q:函數(shù)y=x2-a在(0,+∞)上是減函數(shù).若p且q為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是.【解題提示】先分別按p,q為真確定a的取值范圍,再由題意確定a的取值范圍.【解析】若p為真,則f(0)·f(1)=-1·(2a-2)<0,即a>1,若q為真,則2-a<0,即a>2,所以q為真時,a≤2,故p∧q為真時,1<a≤2.答案:(1,2]16.(2015·北京模擬)設集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一個整數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因為函數(shù)y=f(x)=x2-2ax-1的對稱軸為x=a>0,f(0)=-1<0,根據(jù)對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數(shù),則這個整數(shù)為2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2015·孝感模擬)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,求實數(shù)m的值組成的集合.【解析】A={x|x2-5x+6=0}={2,3},因為A∪B=A,所以B?A.①當m=0時,B=?,B?A,故m=0;②當m≠0時,由mx+1=0,得x=-.因為B?A,所以-=2或-=3,得m=-或m=-.所以實數(shù)m的值組成的集合為{0,-,-}.18.(12分)已知集合A={x|x2-5x+4≤0},集合B={x|2x2-9x+k≤0}.(1)求集合A.(2)若B?A,求實數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)A=[1,4].(2)由B?A,當B=?時,Δ=81-8k<0,解得k>.當B≠?時,B?A等價于2x2-9x+k=0的兩根均在[1,4]內(nèi),設f(x)=2x2-9x+k.由實根分布可得解得7≤k≤.綜上,實數(shù)k的范圍為[7,+∞).19.(12分)已知命題p:方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負實根,命題q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集為R.若p∨q為真命題、p∧q為假命題,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】命題p為真時,實數(shù)m滿足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命題q為真時,實數(shù)m滿足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q為真命題、p∧q為假命題,等價于p真且q假或者p假且q真.若p真且q假,則實數(shù)m滿足m>2且m≤1或m≥3,解得m≥3;若p假且q真,則實數(shù)m滿足m≤2且1<m<3,解得1<m≤2.綜上可知,所求m的取值范圍是(1,2]∪[3,+∞).20.(12分)設p:實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:實數(shù)x滿足(1)若a=1,且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍.(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)由得q:2<x≤3.當a=1時,由x2-4x+3<0,得p:1<x<3,因為p∧q為真,所以p真,q真.由得2<x<3,所以實數(shù)x的取值范圍是(2,3).(2)由x2-4ax+3a2<0,得(x-a)(x-3a)<0.①當a>0時,p:a<x<3a,由題意,得(2,3](a,3a),所以即1<a≤2;②當a<0時,p:3a<x<a,由題意,得(2,3](3a,a),所以無解.綜上,可得a∈(1,2].21.(12分)已知p:-x2+8x+20≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).(1)若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.(2)若“p”是“q”的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,(1)因為p是q的充分不必要條件,所以所以m≥9.所以實數(shù)m的取值范圍為m≥9.(2)因為“p”是“q”的充分不必要條件,所以q是p的充分不必要條件.所以所以0<m≤3.所以實數(shù)m的取值范圍為0<m≤3.22.(12分)求證:方程ax2+2x+1=0有且只有一個負數(shù)根的充要條件為a≤0或a=1.【解題提示】充分性與必要性分兩步證明→充分性:a≤0或a=1作為條件→必要性:ax2+2x+1=0有且只有一個負數(shù)根作為條件.【證明】充分性:當a=0時,方