【玩轉(zhuǎn)壓軸題】類型三：二次函數(shù)問(wèn)題綜合（解析版）-蘇科版2022年初三數(shù)學(xué)一模（期末）壓軸題匯編30題

【玩轉(zhuǎn)壓軸題】類型三：二次函數(shù)問(wèn)題綜合(解析版)

學(xué)校:姓名:班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

113

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,—),B(4,若點(diǎn)M(a,-a),N(a+3,

22

-a-4),則四邊形MNBA的周長(zhǎng)的最小值為()

1313

A.10+—5/2B.10+—s/3C.5+13y/2D.5+13>/3

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，得A8=不(4—I)，+(：—萬(wàn))?！?,

AM=-1)*2*4+(-a-y)2=^(?-l)2+(a+y)2,

MN=+3-々A+j-4-(-a)f=5,

BN—+3—4)2+(_a_4_])2=J(a-1)、+(〃+萬(wàn))-

由此得四邊形MNB4的周長(zhǎng)為10+2J(〃-1)2+(。+?)2,利用二次函數(shù)求得

J(a—1尸+(。+?)2的最小值即可.

【詳解】

113

???點(diǎn)A(1,—),8(4,—),若點(diǎn)M(a,-a),N(。+3，~a-4),

22

AB=^(4-l)2+(|-y)2=5,

AM=J(a-I)2+(-a-y)2=^J(a-1)2+(a+^-)2,

MN=J(a+3-a)2+(-a-4-(-〃))2=5,

2222

BN=yJ(a-b3-4)+(-a-4-^)=^J(a-l)+(a+^)

???四邊形MNB4的周長(zhǎng)為10+2，。一1)2+(。+])2,

令y=(a-l)2+(a+^-)2

二—2a+1+〃~+11。4---

4

=2a2+9a+—,

4

V2>0,

，拋物線有最小值,

當(dāng)-羞=一/，有最小值，且為產(chǎn)2T-9丁丁?

J(a-l)2+(a+汐的最小值為

四邊形MNBA的周長(zhǎng)的最小值為10+2XM=10+=近,

42、

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式將周

長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

2.把二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a>0)的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖象的解析式

為y=-a(x-l)2+2a,若(m-l)a+b+c$O,則m的最大值是()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】

根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(1，-2〃)，即可得出原二

次函數(shù)為y=a(x-1)2-2a=cur-2ax-a,和y=cix2+hx+c比較即可得出b=-2a,c

=-a,代入C/77-1)a+b+c<09即可得到m<4.

【詳解】

解：???把二次函數(shù)尸加+區(qū)+0(〃>o)的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖象的解

析式為y=-a(x-1)2+2tz,

???原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(1,-2a),

；?原二次函數(shù)為y=〃(x-1)2-2a=ax1-2ax-a,

:?b=-2a,c--a,

*.*(/n-1)a+b+c<09

**.Cm-1)a-2a-a<Of

Va>0,

?-1-2-l<0,即m<49

'-m的最大值為4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式，靈活利用二次函數(shù)的各項(xiàng)

試卷第2頁(yè)，共51頁(yè)

系數(shù)是關(guān)鍵

3.如圖，C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，△ACD,△CBE都是等邊三角形，M,N分別是CD,

BE的中點(diǎn)，若AB=4,則線段MN的最小值為（）

E

A.正B.典C.GD.主叵

242

【答案】C

【分析】

連接CN.首先證明NMCN=90。，設(shè)AC=a,則BC=4-a,構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次

函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：連接CN,

VAACD和^BCE為等邊三角形,

：.AC^CD,BC=CE,/AC￡>=NBCE=/B=60。，

ZDC￡；=60°,

是BE的中點(diǎn)，

：.CN±BE,NECN=30。,

NDCN=94。,

設(shè)AC=a,

?.?A8=4,

：.CM=^a,CN=B（4-a）,

22

二MN=ylcM2+CN2=J%+；（4-a）z=\l（a-3）2+3，

，當(dāng)a=3時(shí)，MN的值最小為6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題.

4.關(guān)于x的一元二次方程犬-2》7=0（t為實(shí)數(shù)）有且只有一個(gè)根在-2<x<3的范

圍內(nèi)，貝也的取值范圍是（）

A.3<r<8B.-l<r<8

C.3Wf<8或f=-lD.-l</<3

【答案】C

【分析】

由題意得出原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)而分兩種情況討論：①當(dāng)△=（）時(shí)，得出f=-l,進(jìn)

而求出方程的解，判斷即可得出結(jié)論，②當(dāng)A>0時(shí)，利用二次函數(shù)圖象，即可得出結(jié)

論.

【詳解】

解：根據(jù)題意得，△=4+4rN0,

t之—19

①當(dāng)A=0時(shí),即f=T,

二原方程為f-2x+l=0,

.'.x=-l,滿足條件；

②當(dāng)A>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，在平面宜角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖象，如

圖所示，觀察圖象可知，當(dāng)出8時(shí)，方程的兩個(gè)根一個(gè)小于等于-2,另一個(gè)大于等于4；

當(dāng)34<8時(shí)，方程的兩個(gè)根一個(gè)在—2<x<3范圍內(nèi)，另一個(gè)在34x<4范圍內(nèi)；

當(dāng)，<3時(shí)，方程的兩個(gè)根都在范圍內(nèi)；

即滿足條件的?的范圍為33<8或，=-1,

故選：C.

試卷第4頁(yè)，共51頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是樹(shù)立數(shù)形結(jié)合思想，利用二次

函數(shù)圖象解決一元二次方程根的問(wèn)題.

5.如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=4百，。為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），把

線段8D繞著點(diǎn)。沿著順時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)90。至DE,連接CE,則ACDE面積的最大值

為（）

A.16B.8C.32D.10

【答案】B

【分析】

過(guò)點(diǎn)E作跖J-AC于尸，作于點(diǎn)〃，由勾股定理可求AH=3,由旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可求8￡>=￡>E，NBDE=90,由AAS可證三AD￡F,可得EF=DH,由三

角形面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF_LAC于尸，作于點(diǎn)

,ZEFD=ZBHD=90,

BH2=BC2-CH-,BH2=AB2-AH2,AB=AC=5,8C=4石,

80-(5+AH)2=25-AH2,

A/7=3,

ACW=8,

?；將線段BD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段ED，

ABD=DE,NBDE=90°,

ZBDF+NEDF=90,且ZEDF+ZDEF=90,

:*ADEF=ZBDF,

在ABDH和ADEF中，

ZBDF=NAEF

■Z.BHD=NEFD,

BD=DE

：.\BDH=M)EF(AAS),

/?EF=DH.

'：DH=CH-CD=8-CD,

EF=8-CD

,：ACDEiffi^=icDxEF=1xC￡>x(8-C￡>)=-1(CD-4)2+8,

.?.當(dāng)8=4時(shí)，ACOE面積的最大值為8,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，

添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

6.已知點(diǎn)尸(一2,%),。(4,%),加(，％%)均在拋物線丫="+法+。上，其中

2am+h-0.若%n必>M,則m的取值范圍是()

A.m<-2B.m>\C.-2<m<lD.1<m<4

【答案】B

【分析】

先證得點(diǎn)》)是該拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)尸(-2,9)，。(4,竺)均在拋物線上，可

知該拋物線開(kāi)口向下對(duì)稱軸是直線x=，"，從而可以求得"，的取值范圍，本題得以解決

【詳解】

2am+b=Q

.b

..m=---

2a

...點(diǎn)M(m,”)是該拋物線的頂點(diǎn)，

二拋物線的對(duì)稱軸為戶如

,點(diǎn)P(-2,y),Q(4,竺)均在拋物線y="+bx+c上，且%之為肛

試卷第6頁(yè)，共51頁(yè)

解得m>1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的圖像性質(zhì)，對(duì)稱軸，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是關(guān)鍵

7.已知二次函數(shù)y=++bx+c的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①aX）；②廿-助。〉

0；③4“+。=0；④不等式以2+6-1）x+c<0的解集為修工<3,正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是

【答案】A

【分析】

根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向、于x軸的交點(diǎn)情況、對(duì)稱軸的知識(shí)可判①②③的正誤，再根據(jù)

函數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【詳解】

解：；拋物線的開(kāi)口向上，

.">0,故①正確;

:拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

Ab2-4ac<0,故②錯(cuò)誤

???由拋物線可知圖象過(guò)（1,1）,且過(guò)點(diǎn)（3,3）

19a+36+c=3

/.8a+2b=2

：.4a+b^\,故③錯(cuò)誤；

由拋物線可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,且過(guò)點(diǎn)（3,3）

則拋物線與直線y=x交于這兩點(diǎn)

ctx"+（&-l）x+c<0可化為*+/?x+c<x>

根據(jù)圖象，解得：l<x<3

故④錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征以及解不等式的相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象

的特征成為解答本題的關(guān)鍵.

8.如圖，線段A5=10,點(diǎn)C、。在AB上，AC=B/）=1.已知點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每

秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著A8向點(diǎn)。移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。后停止移動(dòng)，在點(diǎn)尸移動(dòng)過(guò)程中

作如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA,P8的長(zhǎng)為半徑分別作兩個(gè)圓心角均為60。的扇形，

再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面.設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為（秒）.兩個(gè)圓錐的底面

面積之和為S.則S關(guān)于f的函數(shù)圖像大致是（）

試卷第8頁(yè)，共51頁(yè)

D.

O\48t

【答案】D

【分析】

由題意，先求出上4=f+l,PB=9-t,然后利用再求出圓錐的底面積進(jìn)行計(jì)算，即可

求出函數(shù)表達(dá)式，然后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，

VAB-10,AC=BD^\,且已知點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AB

向點(diǎn)。移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。后停止移動(dòng)，則0W8,

PA=t+l,

...PB=10-a+l)=9-f,

由PA的長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)為：6。甯1)二*12

???用心的長(zhǎng)為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為二

6

其底面的面積為硬止

36

山總的長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)為：3需2=若。

18()3

P8的長(zhǎng)為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為二

O

其底面的面積為磴江

36

，兩者的面積和5="+二(9一/)一二」_萬(wàn)(r-8/+41)

3636181'

二圖像為開(kāi)后向上的拋物線，且”"=4時(shí)有最小值；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了扇形的面積公式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握扇所學(xué)的知識(shí)，正確的求出函數(shù)的表達(dá)式.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=--+26的頂點(diǎn)為A點(diǎn)，且與x軸的正

半軸交于點(diǎn)B,P點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則OP+；AP的最小值為(

)

C.3D.2

【答案】C

【分

連接A。、A8,P8,作于H,8CJ.AO于C,解方程得到-x2+26*=0得8(2^,

0),利用配方法得到A(g,3),則QA=2G，從而可判斷AAOB為等邊三角形，接著利

用4P=30。得到PH=^AP,利用拋物線的對(duì)稱性得到PO=PB,所以

OP+^AP=PB+PH,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)“、P、8共線時(shí)，PB+P”的值

最小，最小值為8c的長(zhǎng)，然后計(jì)算出8c的長(zhǎng)即可.

【詳解】

解：如圖，連接AO、AB,P8,作尸""LOA于"，BCLAO于C,

則8(26,0),

,?*y=-2+2瓜=-(x-肉2+3,

/.4(6,3),

.?.OA=46)2+3Z=26,

??,頂點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸上，

AB=AO=20,

試卷第10頁(yè)，共51頁(yè)

AB=AO=OB,

.?.△AOB為等邊三角形，

:.ZOAB=ZABO=6CP,

/.OAP=-NQ48=30°,

2

:.PH=-AP,

2

AP垂直平分08,

:.PO=PB,

:.OP+-AP=PB+PH,

2

當(dāng)”、P、8共線時(shí)，P8+P”的值最小，最小值為BC的長(zhǎng)，

：AAOB為等邊三角形，3。，4。于(7,

AC=—AO=y/3,

2

BC=ylAB2-AC2=J(26)2-(拘2=3，

..OP+g”的最小值為3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及最短路徑

的解決方法，將OP+^AP轉(zhuǎn)化為尸8+尸〃，根據(jù)當(dāng)//、P、B共線時(shí)，PB+尸〃的值

最小，最小值為8c的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)B(0,-3),若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D(0,1)在y軸上，連接PD,

則行PD+PC的最小值是()

39—

A.4B.2+2正C.272D.-+-V2

【答案】A

【分析】

過(guò)點(diǎn)P作臼，BC于J,過(guò)點(diǎn)。作。“L8C于”.根據(jù)

近PD+PC=ePO+*PC卜夜(PO+PJ),求出。P+/V的最小值即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)P作々，8c于J,過(guò)點(diǎn)。作于”.

???二次函數(shù)y=/-2r+c的圖象與y軸交于點(diǎn)8(0,-3),

-3,

；?二次函數(shù)的解析式為y=/-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得x=-1或3,

???A(-1,0),B(3,0),

:.OB=OC=3,

NBOC=90。，

：.ZOBC=ZOCB=45°9

VD(0,1),

OD=1,BD=4,

?:DHLBC,

：.ZDHB=90°,

設(shè)=則=

■:DH'BH'Bb1，

x2+x2=42,

X—25/2，

?*-DH=20,

VPJ±CB,

???ZPJC=90°，

:.叵PD+PC=6PO+與PC=夜(。。+夕),

試卷第12頁(yè)，共51頁(yè)

*/DP+PJ>DH,

DP+PJ22C，

...CP+/V的最小值為2近，

?，-0PO+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.

二、填空題

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(成-1,-m+5),。。的半徑為1,

點(diǎn)Q在上，連接「。，若PQ與OO相切.則線段的最小值為.

【答案】不

【分析】

如圖：過(guò)P作圓的切線PQ.連接OQ;然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得OP\讓根據(jù)勾股定

理求得PQ2,再運(yùn)用二次根式的性質(zhì)求PQ?的最值，進(jìn)而求得PQ即可.

【詳解】

解：如圖：過(guò)P作圓的切線PQ,連接OQ;

?.,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(加-1,-m+5)

：.OP2=(-m+5)2+(/n-l)2=2m2—12m+26

的半徑為1,即OQ=1

2222

PQ=OP-OQ=2m-1+26-1=2加2-12m+25=2(加一3)?+7

即當(dāng)m=3時(shí)PQ?有最小值

.?.當(dāng)m=3時(shí)PQ有最小值巾.

故答案為近.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確做出輔

助線是正確解答本題的關(guān)鍵.

12.如圖，一段拋物線：y=-x(x-6)(噴/6),記為C1,它與x軸交于兩點(diǎn)O,A；

將G繞A旋轉(zhuǎn)180。得到C?,交X軸于&；將C2繞為旋轉(zhuǎn)180。得到G，交X軸于A，過(guò)

拋物線C1,G頂點(diǎn)的直線與CI、c?G圍成的如圖中的陰影部分，那么該陰影部分的

面積為.

【答案】108

【分析】

由函數(shù)＞=-彳。-6)=--+6尢,求出0(3⑼,再G(9,-9),C3(15,9),利用由圖像可

知陰影部分的面積=；C￡X點(diǎn)C2到C03距離，求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=-1(X-6)=*+6%

所以，對(duì)稱軸：x=3，則當(dāng)％=3時(shí),產(chǎn)9,即G(3,9),由題意知G(9L9),G05,9)

所以，=3x4=12

由圖像可知陰影部分的面積=SMQQ=氐&X點(diǎn)G到GG距離=；C4-(9+9)=

1x12x18=108

2

故答案為108.

試卷第14頁(yè)，共51頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)得綜合性題目，解題的關(guān)鍵是，掌握拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、

函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等點(diǎn)所代表的意義、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等.

192

13.如圖，拋物線-的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、D,頂點(diǎn)為E,以AB

為直徑畫(huà)半圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C,圓心為M,P是半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EP,N

是PE的中點(diǎn)，當(dāng)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

【答案】1.5萬(wàn)

【分析】

求出A、B、E坐標(biāo)，由題意可知點(diǎn)N在以EM為直徑的圓上，當(dāng)尸沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑是半圓，求弧長(zhǎng)即可.

【詳解】

192

解：當(dāng)>>=0時(shí)，0=—%2——X——)

解得，x\=-2,M=4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0),

所以M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

由拋物線可知，E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),貝IJ

?.?N是PE的中點(diǎn)，

ZMNE=90°,

.?.點(diǎn)N在以EM為直徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)P與8重合時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,-1.5),當(dāng)點(diǎn)尸與4重合時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(-0.5,

-1.5),故點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑是以為直徑的半圓，

由坐標(biāo)可知EM=3,

點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：yx3^=1.57r,

故答案為：1.5萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式，解題關(guān)鍵是確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用弧長(zhǎng)公式

準(zhǔn)確求解.

14.如圖，拋物線y=：x2-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C(0,3)為圓心，2

為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連接OQ,則線段OQ的最小值是.

【答案】|3

【分析】

連接8P,如圖，先解方程:4=0得A(-4,0),B(4,0),再判斷。。為AABP

的中位線得到利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，連接BC交圓于P時(shí)，P8最小，

然后計(jì)算出BP的最小值即可得到線段OQ的最小值.

【詳解】

試卷第16頁(yè)，共51頁(yè)

解：連接8P,如圖,

當(dāng)y=0時(shí)，-/-4=0,解得%i=4,X2=-4,則A(-4,0),B(4,0),

4

是線段外的中點(diǎn)，

二。。為A48P的中位線，

：.OQ=^BP,

當(dāng)8P最小時(shí)，。。最小，

連接交圓于尸時(shí)，P3最小，

?.皿=^77=5,

的最小值=5-2=3,

；?線段OQ的最小值為g.

3

故答案為：~■

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)

來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.也考查了三角形中位

線.

15.已知二次函數(shù))，=底+法+°的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)與(-1,0),關(guān)于x的方程

ox?+Z?x+c+〃?=0Q">0)有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是5,若關(guān)于x的方程

ajc2+bx+c+n=0(0<n<m)有兩個(gè)整數(shù)根，則這兩個(gè)整數(shù)根分別是.

【答案】4或-2

【分析】

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可以得到關(guān)于x的方程

a^-+bx+c+n=Q(0<”</w)的兩個(gè)整數(shù)根，從而可以解答本題.

【詳解】

???二次函數(shù)y=#+法+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)與(-1,0),

/.ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為3和-1,函數(shù)y=ox2+〃x+c的對(duì)稱軸是直線x=l,

?關(guān)于x的方程加+陵+。+布=0(.m>0)有兩個(gè)根，

.,.方程ax2+bx+c+m=Q(?n>0)的兩個(gè)根為函數(shù)與直線y=-m的兩個(gè)交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，

二?方程加(/n>0)一個(gè)根是5,函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=l,

方程“K+〃X+C+/M=0(/n>0)的另一個(gè)根為-3,函數(shù).La^+fex+c的圖象開(kāi)口向下，

:方程ax2+bx+c+n=0兩個(gè)根是函數(shù)y=ax1+bx+c與直線y=-n的兩個(gè)交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，

，方程以2+以+。+”=0(0<n<m)兩個(gè)根，一個(gè)在在5和3之間，另一?個(gè)在-3和-1之

間，

...關(guān)于X的方程以2+灰+c+〃=0(0<"<〃z)的兩個(gè)整數(shù)根是4或-2,

故答案為：4或-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明

確題意，利用二次函數(shù)的關(guān)系解答.

16.已知二次函數(shù)y=(x-㈤2一1(m為常數(shù))，如果當(dāng)自變量x分別取-3,—1,1時(shí)，

所對(duì)應(yīng)的y值只有一個(gè)小于0,那么m的取值范圍是.

【答案】-A<m<2S,m^-2,m^0

【分析】

題目中給定三個(gè)x的取值，-3,-1,1,對(duì)應(yīng)的y值只有一個(gè)小于0,由二次函數(shù)可得其

對(duì)稱軸為*=%開(kāi)口向上，需對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，①m>0=—詈時(shí)，x=l時(shí)取最

2

小值，對(duì)應(yīng)的”->0,”=一3>0；②-3+(-)=-2<、?<0=土?xí)r,x=-l

22

取最小值，對(duì)應(yīng)的匕一<0,人=|>0，”—>°；③加>_2=_3+(―1)時(shí),》=一2取最

2

小值，對(duì)應(yīng)的"7<o，y=i>。，>7>o,綜合①②③，同時(shí)根據(jù)樹(shù)形結(jié)合思想，得

〃，的解集，即可得出答案.

【詳解】

二次函數(shù)y=(x-nt)2T對(duì)稱軸為x=〃,.

①〃z>0時(shí)，x=l時(shí)取最小值，

試卷第18頁(yè)，共51頁(yè)

1(-1-w)2-1>0,解得0</M<2；

(-3-W)2-1>0

②-2Vm<0時(shí)，x=-l時(shí)取最小值，

<(1-m)2—1>0,解得一2<7n<0；

(-3-施)2-1>0

③m<-2時(shí)，x=—3時(shí)取最小值，

'(-3-w)2-l<0

*(―1—/n)2—1>0,解得—4<〃?<—2.

(1-/M)2-1>0

當(dāng)機(jī)=一2時(shí)，y=0有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值為：x=-l,x=-3,當(dāng)x=l時(shí)，y>0與題意矛盾，

/.m*—2；

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，N=0有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值為：x=-l,x=l,當(dāng)x=-3時(shí)，y>0與題意矛盾，

綜上可得：，”的取值范圍為：且加力-2,相片().

故答案為：Y<m<2且〃?x-2,mr0.

【點(diǎn)睛】

題目主要考察分類討論、樹(shù)形結(jié)合思想及二次函數(shù)基本性質(zhì)、解不等式組等，根據(jù)題意，

對(duì)m進(jìn)行分類討論、考慮臨界值是否滿足題意是解題關(guān)鍵.

17.已知二次函數(shù)丫=犬2-2取+/-34+6的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，且當(dāng)x<-l時(shí)，y

隨x的增大而減小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】-L,，Y2

【分析】

由題意得：△<(),解得a<2,當(dāng)x<-l時(shí)，>隨x的增大而減小，則。…-1,即可求解.

【詳解】

解：由題意得：△=(一2。)2-4(/-3。+6)<0,解得a<2,

vl>0,故拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=a

當(dāng)xv—i時(shí)，y隨工的增大而減小，則

二實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為：-L,"<2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)），=62+云+,（“，人，c是常數(shù)，4*0）

與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于X的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

18.如圖，在矩形ABCD中，A8=2cm,AQ=5cm,點(diǎn)P為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

CP,點(diǎn)P繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)產(chǎn)，連接CP并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使C￡=2CP,以

CP、CE為鄰邊作矩形PCEF,連接DE、DF,則△￡＞防和面積之和的最小值為

31

【答案】v

【分析】

過(guò)點(diǎn)。作。于H,設(shè)PZ）=x,然后利用勾股定理求出尸C,CH,EF的長(zhǎng)，然后

表示出面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。HLPC于"，設(shè)

???四邊形A8C。是矩形，

：.AB=CD=2cm,/POC=90°,

PC=JDP2+CD2=j4+x%m，

,：DH1.PC,

；.gpCgPH=；CD#D

：.CH=yJCD2-DH2=,4cm,

:四邊形PCEF是矩形，

,"EF=PC—5/4+x2cm，

試卷第20頁(yè)，共51頁(yè)

EC=2PC=2>/4+x2cm，

131

.,?當(dāng)X二萬(wàn)時(shí)，S&DEF+5ADC￡有最小值—,

31

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在

于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

19.已知關(guān)于x的方程,+2px-3P2+5卜9=0,其中P、q都是實(shí)數(shù).若方程有三個(gè)

不同的實(shí)數(shù)根為、占、不，且,+―+—=0,則4的值為_(kāi)_________.

X]x2x3

【答案】3

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可得g>0,根據(jù)題意方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2

個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定一個(gè)根，進(jìn)而可得

q=4p2-5,根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得

小三的和與積的值，進(jìn)而求得p2的值，進(jìn)而求得g的值.

【詳解】

依題意，卜?+2p氏-3/r+5|-g=0

??x2+2px—3p，+5=±4

設(shè)y=f+2px-3P2+5

%=±q

???方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根占、￡、工，

則%與為的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

=x2+2px-3p2+5

a=l>0,對(duì)稱軸為x=-P

??,則M與片的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

貝|Jy=-q經(jīng)過(guò))1的頂點(diǎn)

設(shè)XLP,則_六4(5-3P2)-4"

=5-4p2

即g=4/?_5

設(shè)為'》2是X?+2px-3/?2+5=4的兩根，

則x2+2px_3/+5=4p2_5

即x2+2px-lp2+10=0

2

/.X]+x2=-2p,x1x2=10-7p,x3=-p

111c

—i------1—=0

x2x3

.、+/I],-2/??[=]0—5//二0

毛10-7/?2-p(Ip2-10)p

p2=2

?/A=(2p)2-4(10-7p2)=32p2-40>0

解得p2>0

4

p?=2

q=4p2-5=3

故答案為：3

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，根與系數(shù)的關(guān)系，二

試卷第22頁(yè)，共51頁(yè)

次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，將方程的解轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

20.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)A叫做“整

點(diǎn)”如：仇3,0)、C(-l,3)都是“整點(diǎn)”.當(dāng)拋物線y="2_46+1與其關(guān)于x軸對(duì)稱拋物

線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界)共有9個(gè)整點(diǎn)時(shí)，”的取值范圍______.

23

【答案】

【分析】

通過(guò)拋物線的解析式可得對(duì)稱軸為x=2,過(guò)點(diǎn)(0,1),對(duì)。分情況討論或分

別求解即可.

【詳解】

解：由y=d-4ax+l可得x=2,過(guò)點(diǎn)(0,1),

當(dāng)”0時(shí)，開(kāi)口向下，如下圖:

此時(shí)整點(diǎn)有(0,0)，(1,0)，(2,0),(3,0),(4,0),(0/),(1,1),(2,1),(3/),(4,1)…等等，顯然超過(guò)9個(gè),

不符合題意；

要保證封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界)共有9個(gè)整點(diǎn)，需要滿足

fx=1[x=2

c,,c,,此時(shí)整數(shù)點(diǎn)為(1,0),(2,0),(3,0),(1,-1),(2,T),(3,-1),

(1,1),(2,1),(3,1)

試卷第24頁(yè)，共51頁(yè)

-2<-3a+l<-l解得2冷3

-2<-4a+l<-l

故答案為:23

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次函數(shù)的新定義問(wèn)題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元一次不等式組的求解,

解題的關(guān)鍵是理解題意，并列出不等式組.

三、解答題

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax?-bx+2a過(guò)點(diǎn)A(-2,0).

(2)當(dāng)OWxWl時(shí)，y的最小值為4,求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)B(n-3,yi)、C(n,y2),D(n+2,y3)都在該拋物線上，且總有yi<y3

<y2<-4.求n的取值范圍.

4

-3ai5

【答案】(1)x=-］；(2)(,--)；(3)--<n<-1

【分析】

(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得服〃的關(guān)系，從而可求得拋物線的對(duì)

稱軸；

(2)首先0M1在對(duì)稱軸的右側(cè)，就。的符號(hào)討論，根據(jù)拋物線的增減性質(zhì)即可求得

頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)根據(jù)條件易得拋物線的開(kāi)口向下，且點(diǎn)8在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)。在對(duì)稱軸的右側(cè)，

則就點(diǎn)C的位置討論，并結(jié)合圖象即可求得〃的范圍.

【詳解】

(1)：拋物線y=ax2—-+2a過(guò)點(diǎn)A(-2,0)

4ei+2b+2a=0

b=-3a

/.y=ax2+3ac+la

拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=-半=-w

2a2

(2)①當(dāng)。>0時(shí)，

???當(dāng)0人1時(shí)，)，隨x的增大而增大，

，當(dāng)戶0時(shí)，y取得最小值4,

???拋物線過(guò)點(diǎn)(0,4)

2a=4

/.a=2

②當(dāng)“VO時(shí)，y隨x的增大而減小，

???當(dāng)戶1時(shí)，y取得最小值4,

，拋物線過(guò)點(diǎn)(1,4)

a+3a+2a=4

2

?*.?=-(舍去)

綜上所述：〃二2

,31

y=2,x+6x+4=2(x+—)~9——

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-|，-g)

(3);拋物線y=OT2+3QX+2。

頂點(diǎn)坐標(biāo)為-4)

24

,總有yi<y3<y2<——

.??拋物線開(kāi)口向下，且點(diǎn)8始終位于對(duì)稱軸的左邊，點(diǎn)。始終位于對(duì)稱軸的右側(cè).

.??①當(dāng)點(diǎn)C在對(duì)稱軸上或左邊時(shí)，如圖，

試卷第26頁(yè)，共51頁(yè)

..——<n<——

22

②當(dāng)點(diǎn)C在對(duì)稱軸右邊時(shí)，如圖,

2

綜上所述：一|<“<-1

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性等性質(zhì)，涉及分

類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想.

22.如圖1,拋物線y=/x2+bx-4交x軸于A,B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)C,且OC=2OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AC,BC,點(diǎn)P在拋物線上，且滿足NPBC=NACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線1：y=x+t(-4<t<0)交y軸于點(diǎn)E,過(guò)直線1上的一動(dòng)點(diǎn)M作

MN〃y軸交拋物線于點(diǎn)N,直線CM交拋物線于另一點(diǎn)D,直線DN交y軸于點(diǎn)F,試

求OE+OF的值.

.3()44

【答案】(1)y—萬(wàn)爐+x-4；(2)(——,—)；(3)8

【分析】

(1)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由拋物線的解析式可得出b的值，拋物線的解析式即可求解；

(2)延長(zhǎng)CA、8P交于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n),求出直線AC的解析式為y=-x-4,

m+2n+3-0

解方程組可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，聯(lián)立直線8Q和拋物線的解析式，則可得

n=-tn-4

出答案;

(3)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(s,+5-4),可求。(0,-4),由題意得出;=1+4,

y=mx+n

設(shè)直線0M由《12得出=-8—2〃，貝=-4一〃,可

y=-x+x-42

2

得出“力=8,由點(diǎn)的坐標(biāo)可得出0E+0F=8

【詳解】

解：(1)對(duì)于拋物線y=Jf+陵-%當(dāng)戶0時(shí)，y=-4,

；?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4),即。。=4,

OC=2OB

：?OB=2,即點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0),

1、

.,.-X22+2/?-4=0,

2

解得解1,

試卷第28頁(yè)，共51頁(yè)

拋物線的解析式為尸方/+》-4；

（2）延長(zhǎng)CA、BP交于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m,n）,

?;NPBC=ZACB,

QC=QB,

QC2=QB2,即/??+(〃+4>=(2廣+后

整理得：m+2〃+3=0,

解方程gf+x-4=0得：5=-4,%=2,

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

—4k+b=0k=-l

則I,解得

〃=-4'

，直線AC的解析式為y=-x4

???點(diǎn)。在直線AC±,

/.n=-m-4

機(jī)+2〃+3=0m=-5

，，解得

n=-m-4n=1

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5,1）,

設(shè)直線BQ的解析式為y=px+q,

1

p=~l

-5；p+(7=1'解得

則2+q=0

2

q”

12

.,?直線BQ的解析式為y=--x+-,

1230

y=——x+—“2=一~Z-

「,得X,=2一7

解方程組7

44

y=—x2+x-471=°

2%=而

3044

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，-）

(3)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(s,^?+5-4),可求C(0,-4),

...直線CQ的解析式為y=gs+l)x-4,

聯(lián)立卜=j+D>4,得X+,=(}+DA4,

y=x+t

?'"+4=-sx,

2

?，?'+4=gsxM,

設(shè)直線ON：y=rwc+n,

y=mx+n

Ji

聯(lián)立1、^-x2+(l-zn)x-(7?+4)=0,

y=-x-+x-42、/

2

一(枕+4)

S"N=—^-：——-=-8-2n

1,

2

1)

5"4=-4-〃，

?.?MN//y軸,

：*XN

r+4=-4-n,BP-r-n=8,

?：OErOF=-n

：.OE+OF=S.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)解析式的求法及二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作

出輔助線，用待定系數(shù)法求出相關(guān)關(guān)系式并聯(lián)立求解.

23.如圖，拋物線y=ax?+x+c交y軸于點(diǎn)A(0,2),交x軸于點(diǎn)B(-1,0)及點(diǎn)

C.

(1)填空：a=,c=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

試卷第30頁(yè)，共51頁(yè)

（2）把△ABO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△APO（其中點(diǎn)A與A，,B與B，分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），

當(dāng)4ABCT恰好有兩點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)A，的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P（m,n）是位于x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，APAB的面積記為Si,△PAC的

面積記為Sz,APBC的面積記為S3,若滿足Si+S2=S3,求m的值.

【答案】（1）1.2,（2,0）;（2）電，益⑶字或當(dāng)」

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)A'（玉,yj,B'（x2,y2）,的解析式為y=-gx+6,求出A0的解析式聯(lián)立方

程求解即可；

（3）連接3P交y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作PE_Lx軸，交AC于N,則E（〃?,0）,求出BP

和4c的解析式，根據(jù)$+S2=S3計(jì)算即可；

【詳解】

⑴將A（0,2）,代入尸加+x+c,得，

c=2

小解得

c=2

拋物線的解析式為y=-V+X+2,

當(dāng)y=0時(shí),即-f+x+2=0,

解得：玉=2,X2=-1,

?.?點(diǎn)C在正半軸，

；?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）；

故答案是：-1,2,（2,0）；

（2）如圖所示,

/.A'B'=ylOB2+OA2=^(-1)2+22=,

設(shè)4（%,乂），8'（馬,力），A?的解析式為y=-；x+Z>,

)―2X+b,整理得2/-3x+2匕-4=0,

則

y=-x2+x+2

31

/.Xj+x2=—,XjX2=b-2,k=-—,

：?A9==w+wq+x2y

解得：〃=2￥5

16

1?5

???A?的解析式為y=-三+孑,

216

125

y=——x+—

：.<216,

y=-x2+2