重難點(diǎn)04 圓錐曲線(xiàn)三角形面積與四邊形面積問(wèn)題（六大題型）（解析版）

重難點(diǎn)04圓錐曲線(xiàn)三角形面積與四邊形面積問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：三角形的面積問(wèn)題之底·高題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法題型三：三角形的面積比問(wèn)題題型四：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線(xiàn)垂直模型題型五：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形題型六：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化【方法技巧與總結(jié)】1、三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．2、三角形面積比處理方法（1）對(duì)頂角模型（2）等角、共角模型3、四邊形面積處理方法（1）對(duì)角線(xiàn)垂直（2）一般四邊形（3）分割兩個(gè)三角形4、面積的最值問(wèn)題或者取值范圍問(wèn)題一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線(xiàn)段參與運(yùn)算，靈活使用割補(bǔ)法計(jì)算面積.【典型例題】題型一：三角形的面積問(wèn)題之底·高例1．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成三角形，求面積的最大值．【解析】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的半焦距由題可知解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)．三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以直線(xiàn)的斜率存在且不為則可設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立消去整理得．由得即，=易知，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，面積的最大值為例2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求三角形的面積.【解析】(1)由題意，得上頂點(diǎn)為，設(shè)故直線(xiàn)的方程為，由消去解得：，，解得，故橢圓的方程為；(2)由(1)及題意知，直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)且與軸不重合設(shè)直線(xiàn)的方程為由得：，變形化簡(jiǎn)得：由消去整理得：恒成立由韋達(dá)定理，得：，代入式得：化簡(jiǎn)得：，由及上式解得，直線(xiàn)的方程為，，由弦長(zhǎng)公式及求根公式得：，又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.例3．（2023·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的距離為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，P為橢圓的左焦點(diǎn)，求三角形PAB的面積.【解析】（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)為：，即.由已知：原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即又，則所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，不合題意，所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為，則直線(xiàn)，即，設(shè)聯(lián)立，整理得：顯然由韋達(dá)定理得：，又的中點(diǎn)為，則，解得，則所以又到直線(xiàn)l：的距離為，所以變式1．（2023·江西南昌·高二江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)所組成的四邊形面積為2，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求三角形OAB面積的最大值．【解析】（1）由題意可得，又，即，又，解得，，則橢圓的方程為；（2）可設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，則△，化為，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，則，而到直線(xiàn)的距離為，則，設(shè)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，三角形面積取得最大值．變式2．（2023上·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離和它到定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)分別切于點(diǎn)與點(diǎn)，試求三角形面積的最小值．（二次曲線(xiàn)在其上一點(diǎn)處的切線(xiàn)為）【解析】（1）設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，所以點(diǎn)M的軌跡E的方程為.（2）設(shè)，，，則切線(xiàn)為，切線(xiàn)為，將點(diǎn)分別代入得，所以直線(xiàn)為，點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，．另一方面，聯(lián)立直線(xiàn)與得，所以，則，當(dāng)時(shí)，．所以．故時(shí)，最小值為.題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法例4．（2023·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)軸正半軸上一點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，需滿(mǎn)足，設(shè)，則，由于，由可得，解得或（舍去），則過(guò)軸正半軸上一點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由題意知，結(jié)合（1）知，不妨設(shè)，則，由于關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故四邊形面積的最小值為.例5．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮阎獧E圓，焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）∵，∴，∴，，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴．所以橢圓的方程為．（2）∵橢圓及直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)，，，，，，則直線(xiàn)，直線(xiàn)，由，消去得，解得，同理由，得，則四邊形的面積為，設(shè)(，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立)，，，時(shí)，，是增函數(shù)，所以時(shí)，最小值為，S最大為，.例6．（2023·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)過(guò)拋物線(xiàn)外一點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線(xiàn)上，求三角形ABP面積的最大值.【解析】（1）根據(jù)題意，拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義可知：，，拋物線(xiàn)C的方程為.（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，切點(diǎn)，.設(shè)過(guò)A的切線(xiàn)PA方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去x整理得，，所以，所以切線(xiàn)PA方程為，同理可得切線(xiàn)PB方程為，聯(lián)立解得兩切線(xiàn)的交點(diǎn)，所以有.因?yàn)?，又G在定直線(xiàn)，所以有，即P的軌跡為，因?yàn)镻在拋物線(xiàn)外，所以.如圖，取AB中點(diǎn)Q，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，.變式3．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知橢圓的離心率為．(1)點(diǎn)P是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，A1（﹣a，0），A2（a，0），證明點(diǎn)P與A1，A2連線(xiàn)的斜率的乘積為定值，并求出該定值；(2)若橢圓的短軸長(zhǎng)為2，動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上．①判斷是否存在定圓與直線(xiàn)l恒相切，若存在，求定圓的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②求三角形OAB的面積的取值范圍．【解析】（1）設(shè)P（x0，y0），則，整理可得，則，所以＝，因?yàn)闄E圓的離心率為，則，所以，則，故點(diǎn)P與A1，A2連線(xiàn)的斜率的乘積為定值.（2）因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為2，則b＝1，由（1）可知，a＝2，所以橢圓的方程為，因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上，所以O(shè)A⊥OB，①假設(shè)存在定圓與直線(xiàn)l相切，由對(duì)稱(chēng)性可知定圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，有對(duì)稱(chēng)性設(shè)A（t，t），則t2+4t2＝4，解得，此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離的平方為，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，消去y可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，則△＝16[（4k2+1）﹣m2]＞0，消去x可得，（4k2+1）y2﹣2my+m2﹣4k2＝0，因?yàn)镺A⊥OB，則，即5m2＝4（k2+1），此時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l：y＝kx+m的距離的平方為．綜上所述，存在定圓與直線(xiàn)l恒相切；②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，△OAB的面積，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，△OAB的面積S＝＝＝，令t＝4k2+1，t≥1，則S＝＝，所以．綜上所述，△OAB的面積的取值范圍為.變式4．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為D，且三角形的面積為6，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓與A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)（1）證明：直線(xiàn)和直線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；（2）求三角形面積的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則由已知有，.又由，a，b，解得，，所以橢圓的方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的方程為（顯然，不存在時(shí)直線(xiàn)和與軸重合，滿(mǎn)足題意）.聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，消法y，整理得，由此可得，①直線(xiàn)的斜率為，，直線(xiàn)的斜率為，因此有.又因?yàn)椋?，故，將①帶入可?所以，，故直線(xiàn)和直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).（2）由已知可得，三角形的面積等于.而.將（1）帶入，整理得，記，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.因此的最大值為，故三角形的面積的最大值為.題型三：三角形的面積比問(wèn)題例7．（2023·天津·校聯(lián)考二模）已知橢圓右焦點(diǎn)為，已知橢圓短軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線(xiàn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，線(xiàn)段MN垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)及軸和y軸相交于點(diǎn)D、E、G，直線(xiàn)GF與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，記三角形EFG與三角形GDH的面積分別為，，求的值.【解析】（1）由題意可得，即，又，且，解得：，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知橢圓的方程為，所以右焦點(diǎn)，由直線(xiàn)，且線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)與x，y軸都相交，所以，聯(lián)立消去并化簡(jiǎn)得：，此時(shí)需滿(mǎn)足，設(shè)，，則，，所以，線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)的方程為，令，解得，則有，令，解得，則有，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，直線(xiàn)GF的方程為，即，令，解得，則有，所以，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，所以.例8．（2023上·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為A，B，，.(1)求橢圓的方程；(2)已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形與三角形的面積之比為，求點(diǎn)P坐標(biāo).【解析】（1）因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以橢圓方程為；（2）如下圖所示：因?yàn)樗倪呅闻c三角形的面積之比為，所以三角形與三角形的面積比為，所以，所以，顯然直線(xiàn)的斜率不為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，所以，所以，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，綜上可知，點(diǎn)坐標(biāo)為或.例9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線(xiàn)的方程．【解析】（1）如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線(xiàn)斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線(xiàn)的方程為.題型四：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線(xiàn)垂直模型例10．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，雙曲線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)分別交于A、C、B、D四點(diǎn)，且．(1)若，P為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，記直線(xiàn)、、、的斜率分別為、、、，求的值；(2)求四邊形面積的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，的斜率都存在且不為0，令，則，所以，即，聯(lián)立與雙曲線(xiàn)，得，不妨令，同理，由，則、、、，所以.（2）由題設(shè)且同（1）得，聯(lián)立，則，所以，聯(lián)立，同理可得，所以四邊形面積，則，令，所以，而且，故，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于0，即趨向于正無(wú)窮，所以四邊形面積的取值范圍是.例11．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿(mǎn)足.記的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線(xiàn)，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，由橢圓定義，軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，∴又∵，則，∴橢圓的方程為；（2）由，解得或，因此.設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，.由得.，故.又，的交點(diǎn)在，之間，故.因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為1，所以.又四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以四邊形面積的最大值為.例12．（2023·安徽銅陵·高二校聯(lián)考期中）已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為．(1)求圓的方程；(2)若直線(xiàn)，都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，直線(xiàn)交圓于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題可知圓的圓心為，半徑．所以圓的方程為．（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則，，同理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，，此時(shí)．當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得．綜上所述，四邊形面積的最大值為14．變式5．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，且，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，且與橢圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，試求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題意，又因?yàn)?，所以，橢圓方程為，離心率為．（2）①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在或者為時(shí)，易得，從而四邊形的面積為4．②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，直線(xiàn)，聯(lián)立，易知，由韋達(dá)定理得，，，同理，所以，從而四邊形面積的最大值為．變式6．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過(guò)原點(diǎn)的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由，得，則，故橢圓方程可化為，將代入上式得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意得，四邊形為菱形，則菱形的面積當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，易得當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則的方程為，設(shè)，將代入，得，則，則．綜上，的最大值為．變式7．（2023·山西朔州·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線(xiàn)分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，由，有.又由，有（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得，，可得橢圓E的方程為，代入點(diǎn)N的坐標(biāo)，有，解得，，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)或，不妨設(shè)，，故；②當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB：，，，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，同理可得，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，而，綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.題型五：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形例13．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線(xiàn)與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又離心率為，所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，由，得，由得，則，，故，直線(xiàn)方程為，，所以，直線(xiàn)與之間的距離為，故四邊形的面積為，令，則，令，則，，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四邊形面積的最大值為4；（3）由第（2）問(wèn)得，，，故直線(xiàn)與的斜率之積為定值，且定值為.例14．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為2，上、下頂點(diǎn)分別為、，A為橢圓上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)、作兩條相互平行的直線(xiàn)，交C于M，N和P，Q，順次連接構(gòu)成四邊形PQNM，求四邊形PQNM面積的取值范圍.【解析】（1）由條件，設(shè)，則C：，又，，∵，∴，∴，.即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形PQNM為平行四邊形，設(shè)MN：，與橢圓方程聯(lián)立得：.設(shè)，，則，.設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為d，則，所以四邊形PQNM面積為：.設(shè)，則，在單調(diào)遞減，所以S的取值范圍為.例15．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期中）動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)已知，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在x軸的下方，直線(xiàn)，分別與x軸交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意可得，所以，化簡(jiǎn)得，即E的方程為.（2）如圖所示：設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，聯(lián)立方程組，可得，則，由韋達(dá)定理有，，且由求根公式有，直線(xiàn)的方程為，，同理，∵，，∴，，∴，又，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4.變式8．（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校E圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，且過(guò).(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)，分別交橢圓于兩點(diǎn)，.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【解析】（1）由題知，橢圓的焦點(diǎn)為，，故可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入可得，解得，所以橢圓得方程為.（2）（i）易知，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線(xiàn)斜率均存在，且，；所以直線(xiàn)的方程為，的方程為；聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以時(shí)，四邊形的面積最大為6，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對(duì)稱(chēng)性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為6.題型六：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化例16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對(duì)于更一般的雙曲線(xiàn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，又因?yàn)?，，，因?yàn)?，所以，，軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，，可得，即點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，且，因此，四邊形的面積為；（2）四邊形的面積為定值，理由如下：設(shè)點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，即，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，且，因此，（定值）.例17．（2023·浙江·高三競(jìng)賽）已知直線(xiàn)與橢圓：交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn).（1）求面積的最大值；（2）設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.【解析】解法一

當(dāng)直線(xiàn)