重難點04 圓錐曲線三角形面積與四邊形面積問題（六大題型）（解析版）

重難點04圓錐曲線三角形面積與四邊形面積問題【題型歸納目錄】題型一：三角形的面積問題之底·高題型二：三角形的面積問題之分割法題型三：三角形的面積比問題題型四：四邊形的面積問題之對角線垂直模型題型五：四邊形的面積問題之一般四邊形題型六：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化【方法技巧與總結(jié)】1、三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．2、三角形面積比處理方法（1）對頂角模型（2）等角、共角模型3、四邊形面積處理方法（1）對角線垂直（2）一般四邊形（3）分割兩個三角形4、面積的最值問題或者取值范圍問題一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積.【典型例題】題型一：三角形的面積問題之底·高例1．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點相同，且點在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，且與坐標(biāo)原點構(gòu)成三角形，求面積的最大值．【解析】（1）拋物線的焦點坐標(biāo)為，橢圓的半焦距由題可知解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點．三點構(gòu)成三角形，所以直線的斜率存在且不為則可設(shè)直線的方程為聯(lián)立消去整理得．由得即，=易知，點到直線的距離設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，面積的最大值為例2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知橢圓左右焦點分別為，上頂點為，直線被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過的直線與橢圓交于兩點，若，求三角形的面積.【解析】(1)由題意，得上頂點為，設(shè)故直線的方程為，由消去解得：，，解得，故橢圓的方程為；(2)由(1)及題意知，直線不過點且與軸不重合設(shè)直線的方程為由得：，變形化簡得：由消去整理得：恒成立由韋達(dá)定理，得：，代入式得：化簡得：，由及上式解得，直線的方程為，，由弦長公式及求根公式得：，又點到直線的距離為.例3．（2023·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點的直線的距離為，橢圓的長軸長為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，P為橢圓的左焦點，求三角形PAB的面積.【解析】（1）經(jīng)過兩點的直線為：，即.由已知：原點到直線的距離，即又，則所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）當(dāng)直線斜率不存在時，線段的中點在軸上，不合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)為，則直線，即，設(shè)聯(lián)立，整理得：顯然由韋達(dá)定理得：，又的中點為，則，解得，則所以又到直線l：的距離為，所以變式1．（2023·江西南昌·高二江西師大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓短軸頂點與焦點所組成的四邊形面積為2，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，求三角形OAB面積的最大值．【解析】（1）由題意可得，又，即，又，解得，，則橢圓的方程為；（2）可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，則△，化為，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，則，而到直線的距離為，則，設(shè)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，三角形面積取得最大值．變式2．（2023上·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知點到直線：的距離和它到定點的距離之比為常數(shù)．(1)求點的軌跡的方程；(2)若點是直線上一點，過作曲線的兩條切線分別切于點與點，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點處的切線為）【解析】（1）設(shè)，則，化簡得：，所以點M的軌跡E的方程為.（2）設(shè)，，，則切線為，切線為，將點分別代入得，所以直線為，點到的距離，當(dāng)時，．另一方面，聯(lián)立直線與得，所以，則，當(dāng)時，．所以．故時，最小值為.題型二：三角形的面積問題之分割法例4．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點為，過軸正半軸上一點的直線與拋物線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，且.(1)求點的坐標(biāo)；(2)設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，需滿足，設(shè)，則，由于，由可得，解得或（舍去），則過軸正半軸上一點，即點的坐標(biāo)為.（2）由題意知，結(jié)合（1）知，不妨設(shè)，則，由于關(guān)于對稱，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為.例5．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期末）已知橢圓，焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，是橢圓的左、右頂點，為直線上的動點，直線，分別交橢圓于M，N兩點，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）∵，∴，∴，，∵經(jīng)過點，∴，∴．所以橢圓的方程為．（2）∵橢圓及直線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，，，，，，則直線，直線，由，消去得，解得，同理由，得，則四邊形的面積為，設(shè)(，當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立)，，，時，，是增函數(shù)，所以時，最小值為，S最大為，.例6．（2023·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線上的任意一點到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.【解析】（1）根據(jù)題意，拋物線上的任意一點到焦點的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義可知：，，拋物線C的方程為.（2）設(shè)動點，切點，.設(shè)過A的切線PA方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去x整理得，，所以，所以切線PA方程為，同理可得切線PB方程為，聯(lián)立解得兩切線的交點，所以有.因為，又G在定直線，所以有，即P的軌跡為，因為P在拋物線外，所以.如圖，取AB中點Q，則，所以，因為，所以，所以，所以當(dāng)時，.變式3．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知橢圓的離心率為．(1)點P是橢圓上異于左、右頂點的任意一點，A1（﹣a，0），A2（a，0），證明點P與A1，A2連線的斜率的乘積為定值，并求出該定值；(2)若橢圓的短軸長為2，動直線l與橢圓交于A，B兩點，且坐標(biāo)原點O在以AB為直徑的圓上．①判斷是否存在定圓與直線l恒相切，若存在，求定圓的方程，若不存在，請說明理由；②求三角形OAB的面積的取值范圍．【解析】（1）設(shè)P（x0，y0），則，整理可得，則，所以＝，因為橢圓的離心率為，則，所以，則，故點P與A1，A2連線的斜率的乘積為定值.（2）因為橢圓的短軸長為2，則b＝1，由（1）可知，a＝2，所以橢圓的方程為，因為坐標(biāo)原點O在以AB為直徑的圓上，所以O(shè)A⊥OB，①假設(shè)存在定圓與直線l相切，由對稱性可知定圓的圓心在坐標(biāo)原點O，當(dāng)直線l的斜率不存在時，有對稱性設(shè)A（t，t），則t2+4t2＝4，解得，此時坐標(biāo)原點O到直線l的距離的平方為，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，消去y可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，則△＝16[（4k2+1）﹣m2]＞0，消去x可得，（4k2+1）y2﹣2my+m2﹣4k2＝0，因為OA⊥OB，則，即5m2＝4（k2+1），此時，坐標(biāo)原點O到直線l：y＝kx+m的距離的平方為．綜上所述，存在定圓與直線l恒相切；②當(dāng)直線l的斜率不存在時，△OAB的面積，當(dāng)直線l的斜率存在時，△OAB的面積S＝＝＝，令t＝4k2+1，t≥1，則S＝＝，所以．綜上所述，△OAB的面積的取值范圍為.變式4．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，上頂點為D，且三角形的面積為6，過點的直線交橢圓與A，B兩點，點（1）證明：直線和直線關(guān)于y軸對稱；（2）求三角形面積的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則由已知有，.又由，a，b，解得，，所以橢圓的方程為.設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為（顯然，不存在時直線和與軸重合，滿足題意）.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消法y，整理得，由此可得，①直線的斜率為，，直線的斜率為，因此有.又因為，同理，故，將①帶入可得.所以，，故直線和直線關(guān)于軸對稱.（2）由已知可得，三角形的面積等于.而.將（1）帶入，整理得，記，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.因此的最大值為，故三角形的面積的最大值為.題型三：三角形的面積比問題例7．（2023·天津·校聯(lián)考二模）已知橢圓右焦點為，已知橢圓短軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓相交于M、N兩點，線段MN垂直平分線與直線及軸和y軸相交于點D、E、G，直線GF與直線相交于點，記三角形EFG與三角形GDH的面積分別為，，求的值.【解析】（1）由題意可得，即，又，且，解得：，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知橢圓的方程為，所以右焦點，由直線，且線段MN的垂直平分線與x，y軸都相交，所以，聯(lián)立消去并化簡得：，此時需滿足，設(shè)，，則，，所以，線段MN的垂直平分線的方程為，令，解得，則有，令，解得，則有，，關(guān)于點對稱，所以，直線GF的方程為，即，令，解得，則有，所以，關(guān)于對稱，所以，所以.例8．（2023上·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓（）的左右焦點分別為，，左右頂點分別為A，B，，.(1)求橢圓的方程；(2)已知P為橢圓上一動點（不與端點重合），直線交y軸于點Q，O為坐標(biāo)原點，若四邊形與三角形的面積之比為，求點P坐標(biāo).【解析】（1）因為，，所以，所以，所以，所以橢圓方程為；（2）如下圖所示：因為四邊形與三角形的面積之比為，所以三角形與三角形的面積比為，所以，所以，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，所以，所以，，所以，解得，當(dāng)時，，，所以，所以，當(dāng)時，，，所以，所以，綜上可知，點坐標(biāo)為或.例9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【解析】（1）如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.題型四：四邊形的面積問題之對角線垂直模型例10．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，雙曲線，過原點O的直線與雙曲線分別交于A、C、B、D四點，且．(1)若，P為雙曲線的右頂點，記直線、、、的斜率分別為、、、，求的值；(2)求四邊形面積的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，的斜率都存在且不為0，令，則，所以，即，聯(lián)立與雙曲線，得，不妨令，同理，由，則、、、，所以.（2）由題設(shè)且同（1）得，聯(lián)立，則，所以，聯(lián)立，同理可得，所以四邊形面積，則，令，所以，而且，故，，當(dāng)時，，當(dāng)趨向于時，趨向于0，即趨向于正無窮，所以四邊形面積的取值范圍是.例11．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，點滿足.記的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線交于，兩點，，為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）因為，由橢圓定義，軌跡是以點，為焦點，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，∴又∵，則，∴橢圓的方程為；（2）由，解得或，因此.設(shè)直線的方程為，設(shè)，.由得.，故.又，的交點在，之間，故.因為直線的斜率為1，所以.又四邊形的面積，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以四邊形面積的最大值為.例12．（2023·安徽銅陵·高二校聯(lián)考期中）已知圓的圓心在坐標(biāo)原點，面積為．(1)求圓的方程；(2)若直線，都經(jīng)過點，且，直線交圓于，兩點，直線交圓于，兩點，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題可知圓的圓心為，半徑．所以圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，則，，同理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．當(dāng)直線的斜率不存在時，，，此時．當(dāng)直線的斜率為0時，根據(jù)對稱性可得．綜上所述，四邊形面積的最大值為14．變式5．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左右兩個焦點為，且，橢圓上一動點滿足．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)如圖，過點作直線與橢圓交于點，過點作直線，且與橢圓交于點，與交于點，試求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題意，又因為，所以，橢圓方程為，離心率為．（2）①當(dāng)直線斜率不存在或者為時，易得，從而四邊形的面積為4．②當(dāng)直線斜率存在且不為時，設(shè)，直線，聯(lián)立，易知，由韋達(dá)定理得，，，同理，所以，從而四邊形面積的最大值為．變式6．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過原點的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由，得，則，故橢圓方程可化為，將代入上式得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意得，四邊形為菱形，則菱形的面積當(dāng)直線的斜率不存在或為0時，易得當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，則的方程為，設(shè)，將代入，得，則，則．綜上，的最大值為．變式7．（2023·山西朔州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，由，有.又由，有（O為坐標(biāo)原點），可得，，可得橢圓E的方程為，代入點N的坐標(biāo)，有，解得，，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在或為0時，為長軸長或，不妨設(shè)，，故；②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB：，，，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，同理可得，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，而，綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.題型五：四邊形的面積問題之一般四邊形例13．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，橢圓的上頂點和右頂點分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個動點，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）因為，所以，又離心率為，所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因為，所以，所以，設(shè)直線的方程為，，，由，得，由得，則，，故，直線方程為，，所以，直線與之間的距離為，故四邊形的面積為，令，則，令，則，，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，即時，四邊形面積的最大值為4；（3）由第（2）問得，，，故直線與的斜率之積為定值，且定值為.例14．（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考期中）已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，焦距為2，上、下頂點分別為、，A為橢圓上的點，且滿足.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過、作兩條相互平行的直線，交C于M，N和P，Q，順次連接構(gòu)成四邊形PQNM，求四邊形PQNM面積的取值范圍.【解析】（1）由條件，設(shè)，則C：，又，，∵，∴，∴，.即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由對稱性可知，四邊形PQNM為平行四邊形，設(shè)MN：，與橢圓方程聯(lián)立得：.設(shè)，，則，.設(shè)點到直線的距離為d，則，所以四邊形PQNM面積為：.設(shè)，則，在單調(diào)遞減，所以S的取值范圍為.例15．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期中）動點P與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，記點P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)已知，過點的直線與曲線E交于不同的兩點A，B，點A在第二象限，點B在x軸的下方，直線，分別與x軸交于C，D兩點，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）設(shè)點，依題意可得，所以，化簡得，即E的方程為.（2）如圖所示：設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立方程組，可得，則，由韋達(dá)定理有，，且由求根公式有，直線的方程為，，同理，∵，，∴，，∴，又，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大值為4.變式8．（2023·山東青島·高二青島二中校考期中）橢圓與雙曲線有相同的焦點，且過.(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為，，當(dāng)動點在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點，.（i）證明：點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【解析】（1）由題知，橢圓的焦點為，，故可設(shè)橢圓的方程為，將點代入可得，解得，所以橢圓得方程為.（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且，；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以時，四邊形的面積最大為6，此時點的坐標(biāo)為，由對稱性可知，即當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，四邊形的面積最大，最大值為6.題型六：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線，由雙曲線的定義可得，又因為，，，因為，所以，，軸，點的橫坐標(biāo)為，所以，，，可得，即點，過點且與漸近線平行的直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，點到直線的距離為，且，因此，四邊形的面積為；（2）四邊形的面積為定值，理由如下：設(shè)點，雙曲線的漸近線方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，即，點到直線的距離為，且，因此，（定值）.例17．（2023·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點，直線不經(jīng)過原點.（1）求面積的最大值；（2）設(shè)為線段的中點，延長交橢圓于點，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.【解析】解法一

當(dāng)直線