第04講 絕對值（解析版）

第04講絕對值課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①絕對值的定義②絕對值的性質(zhì)③求絕對值④有理數(shù)的大小比較掌握絕對值的定義。掌握絕對值的性質(zhì)并解決相關(guān)題目。能夠求數(shù)或者式子的絕對值。掌握有理數(shù)比較大小的方法，能夠比較有理數(shù)大小。知識(shí)點(diǎn)01絕對值的定義與求法絕對值的定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是數(shù)的絕對值。數(shù)的絕對值記作||，讀作數(shù)的絕對值。絕對值的求法：求一個(gè)數(shù)的絕對值：由絕對值的定義可知，一個(gè)正數(shù)的絕對值是本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0?！炯磳W(xué)即練1】1．﹣的絕對值是（）A． B． C． D．【解答】解：﹣的絕對值是|﹣|＝；故選：C．【即學(xué)即練2】2．?dāng)?shù)軸上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中絕對值等于2的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【解答】解：∵絕對值等于2的數(shù)是﹣2和2，∴絕對值等于2的點(diǎn)是點(diǎn)A．故選：A．【即學(xué)即練3】3．已知a＝﹣2，b＝1，則|a|+|﹣b|的值為（）A．3 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：∵a＝﹣2，b＝1，∴|a|+|﹣b|＝|﹣2|+|﹣1|＝2+1＝3，故選：A．知識(shí)點(diǎn)02絕對值的性質(zhì)絕對值的非負(fù)性：由定義可知，絕對值表示到原點(diǎn)的距離，所以不能為負(fù)數(shù)。所以絕對值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以絕對值具有非負(fù)性。即若||≥0。幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)一定分別等于0。即：若||＋||＋...＋||＝0，則一定有＝＝...＝＝0。題型考點(diǎn)：根據(jù)絕對值的非負(fù)性求值。【即學(xué)即練1】4．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，則x﹣y的相反數(shù)為（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0，解得：x＝2，y＝1，則x﹣y＝2﹣1＝1，所以x﹣y的相反數(shù)為﹣1．故選：A．【即學(xué)即練2】5．若|a|+|b|＝0，則a與b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＝b＝0 B．a(chǎn)與b互為倒數(shù) C．a(chǎn)與b異號(hào) D．a(chǎn)與b不相等【解答】解：∵|a|+|b|＝0，|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＝0，|b|＝0，∴a＝0，b＝0．故選：A．知識(shí)點(diǎn)03絕對值與數(shù)軸絕對值與數(shù)軸：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)離原點(diǎn)越近，絕對值就越小，一個(gè)數(shù)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，絕對值越大。題型考點(diǎn)：根據(jù)絕對值與數(shù)軸進(jìn)行求解判斷?！炯磳W(xué)即練1】6．一個(gè)數(shù)的絕對值越小，則該數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)，離原點(diǎn)越．【解答】解：一個(gè)數(shù)的絕對值實(shí)際上就是該點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，因而一個(gè)數(shù)的絕對值越小，則該數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)，離原點(diǎn)越近．故答案為近．【即學(xué)即練2】7．如圖，四個(gè)有理數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，P，Q，若n+q＝0，則m，n，p，q四個(gè)有理數(shù)中，絕對值最小的一個(gè)是（）A．p B．q C．m D．n【解答】解：∵n+q＝0，∴n和q互為相反數(shù)，0在線段NQ的中點(diǎn)處，∴絕對值最小的點(diǎn)M表示的數(shù)m，故選：C．知識(shí)點(diǎn)04絕對值與相反數(shù)絕對值與相反數(shù)：①數(shù)軸上互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等，所以互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)他們的絕對值相等。即若與互為相反數(shù)，則||＝||。②絕對值等于某個(gè)正數(shù)的數(shù)一定有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即若||=，則＝＋或﹣。③絕對值相等的兩個(gè)數(shù)要么相等，要么互為相反數(shù)。即若||＝||，則有＝或＝﹣。題型考點(diǎn)：根據(jù)相反數(shù)的絕對值進(jìn)行求解?！炯磳W(xué)即練1】8．若|x|＝5，則x＝．【解答】解：|x|＝5，則x＝±5．故答案為：±5．【即學(xué)即練2】9．已知a＝﹣5，|a|＝|b|，則b的值為（）A．±5 B．﹣5 C．+5 D．0【解答】解：|b|＝|a|＝|﹣5|＝5，則b＝±5．故選：A．【即學(xué)即練3】10．絕對值等于5的數(shù)是，它們互為．【解答】解：∵一個(gè)數(shù)的絕對值等于5，設(shè)這個(gè)數(shù)位a，則|a|＝5，∴a＝±5，∵5+（﹣5）＝0，∴它們互為相反數(shù)，故答案為：±5，相反數(shù)．知識(shí)點(diǎn)05求式子的絕對值求式子的絕對值：先判斷式子與0的大小關(guān)系，再對式子進(jìn)行求絕對值。若式子大于等于0，則去掉絕對值符號(hào)等于它本身，若式子小于等于0，去掉絕對值符號(hào)等于它的相反數(shù)。即：。反之，若一個(gè)數(shù)的絕對值等于它本身，則這個(gè)數(shù)大于等于0，解||=，則≥0，若一個(gè)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，則這個(gè)數(shù)小于等于0。||=﹣，則≤0。題型考點(diǎn)：①根據(jù)絕對值求范圍?！炯磳W(xué)即練1】11．若|x|＝x，則x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜0【解答】解：∵|x|＝x，∴x的取值范圍是：x≥0．故選：C．【即學(xué)即練2】若不為零的有理數(shù)a滿足|a|＝﹣a，則a的值可以是（）A．6 B．4 C．2 D．﹣2【解答】解：∵|a|＝﹣a，a≠0，∴a＜0．故選：D．【即學(xué)即練3】13．已知|a|＝a，|b|＝﹣b，|a|＞|b|，用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示a、b，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵|a|＝a，|b|＝﹣b，∴a≥0，b≤0，∵|a|＞|b|，∴a＞﹣b．．故選：C．知識(shí)點(diǎn)06有理數(shù)的大小比較有理數(shù)的大小比較：①定義法：正數(shù)＞0，0＞負(fù)數(shù)，所以正數(shù)＞負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)進(jìn)行比較時(shí)，絕對值大的負(fù)數(shù)反而小。②數(shù)軸比較法：數(shù)軸上右邊所表示的數(shù)一定＞數(shù)軸上左邊所表示的數(shù)。③兩個(gè)負(fù)數(shù)進(jìn)行比較時(shí)，絕對值大的數(shù)反而小。題型考點(diǎn)：①根據(jù)絕對值求范圍。【即學(xué)即練1】14．畫一條數(shù)軸，然后在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)；并比較大?。?，2，3，﹣2.7，1，﹣3，0．【解答】解：畫出數(shù)軸并在數(shù)軸上表示出各數(shù)：按照數(shù)軸的特點(diǎn)用小于號(hào)從左到右把各數(shù)連接起來為：﹣3＜﹣2.7＜﹣1＜0＜1＜2＜3．故答案為：﹣3＜﹣2.7＜﹣1＜0＜1＜2＜3．【即學(xué)即練2】15．a(chǎn)、b兩數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，將a、b、﹣a、﹣b用“＜”連接，其中正確的是（）A．a(chǎn)＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.5，則﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.5，則可得：﹣b＜a＜﹣a＜b．故選：B．題型01根據(jù)絕對值的性質(zhì)求取值范圍【典例1】若|a|＝﹣a，a一定是（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【解答】解：∵非正數(shù)的絕對值等于他的相反數(shù)，|a|＝﹣a，a一定是非正數(shù)，故選：C．【典例2】若|1﹣a|＝a﹣1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≤1【解答】解：∵|1﹣a|＝a﹣1，∴1﹣a≤0，∴a≥1，故選：B．【典例3】若|a﹣5|＝a﹣5，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤5 B．a(chǎn)＜5 C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)＞5【解答】解：∵|a﹣5|＝a﹣5，∴a﹣5≥0，∴a≥5，故選：C．題型02利用絕對值求值【典例1】若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵ab≠0，∴有四種情況：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，+＝1+1＝2；②當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，+＝﹣1﹣1＝﹣2；③當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，+＝1﹣1＝0；④當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，+＝﹣1+1＝0；綜上所述，+的值為：±2或0．故選：C．【典例2】已知：有理數(shù)a，b，c滿足abc≠0，則的值不可能為（）A．3 B．﹣3 C．1 D．2【解答】解：當(dāng)a、b、c沒有負(fù)數(shù)時(shí)，原式＝1+1+1＝3；當(dāng)a、b、c有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，原式＝﹣1+1+1＝1；當(dāng)a、b、c有兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；當(dāng)a、b、c有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故選：D．【典例3】已知ab＞0，則++＝（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3【解答】解：∵ab＞0，∴ab同號(hào)，①ab同為正數(shù)時(shí)，原式＝1+1+1＝3；②ab同為負(fù)數(shù)時(shí)，原式＝﹣1+（﹣1）+1＝1，故選：C．題型03絕對值的非負(fù)性【典例1】如果|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求a+b的值．【解答】解：根據(jù)題意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，所以a+b＝3．【典例2】如果|a﹣|+|b﹣1|＝0，那么a+b等于（）A．﹣ B． C． D．1【解答】解：依題意得：|a﹣|＝0，|b﹣1|＝0，即a﹣＝0，b﹣1＝0，∴a＝，b＝1，∴a+b＝．故選：C．【典例3】若|x﹣3|+|y+2|＝0，則|x|+|y|＝．【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，∴|x|+|y|＝|3|+|﹣2|＝3+2＝5．故答案為：5．題型04絕對值與數(shù)軸【典例1】若有理數(shù)a、b在數(shù)軸的對應(yīng)位置如圖所示，則下列正確的是（）A．|b|＞﹣a B．|a|＞﹣b C．b＞a D．|a|＞|b|【解答】解：∵b＜a＜0，∴|b|＞|a|＝﹣a，故選：A．【典例2】如圖，四個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為M，P，N，Q．若點(diǎn)M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對值最大的數(shù)的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)Q B．點(diǎn)N C．點(diǎn)M D．點(diǎn)P【解答】解：由數(shù)軸知，M＜P＜N＜Q，∵M(jìn)＝﹣N，∴Q的絕對值最大，故選：A．【典例3】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若b+c＝0，則a，b，c三個(gè)數(shù)中絕對值最大的數(shù)是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．無法確定【解答】解：∵b+c＝0，∴原點(diǎn)在b，c中間位置，∴a距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，∴a，b，c三個(gè)數(shù)中絕對值最大的數(shù)是a．故選：A．題型05絕對值與相反數(shù)【典例1】如果，那么x＝（）A． B．或2 C． D．2【解答】解：∵∴．故選：C．【典例2】若|a|＝|b|，則a和b的關(guān)系為（）A．a(chǎn)和b相等 B．a(chǎn)和b互為相反數(shù) C．a(chǎn)和b相等或互為相反數(shù) D．以上答案都不對【解答】解：∵|a|＝|b|，∴a和b的關(guān)系為：相等或互為相反數(shù)．故選：C．【典例3】已知2x﹣3的絕對值與x+6的絕對值相等，則x的相反數(shù)為（）A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1【解答】解：∵|2x﹣3|＝|x+6|，∴2x﹣3＝x+6，或2x﹣3＝﹣（x+6），∴x＝9或x＝﹣1，∴x的相反數(shù)是﹣9或1．故選：C．題型06絕對值的化簡【典例1】如果1＜x＜2，化簡|x﹣1|+|x﹣2|＝．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1．故答案為：1．【典例2】如果a＜1，化簡：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝．【解答】解：∵a＜1，∴2﹣a＞0，∴|2﹣a|＝2﹣a，∵a＜1，∴a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝﹣a+1，∴原式＝2﹣a﹣（﹣a+1）＝2﹣a+a﹣1＝1，故答案為1．1．絕對值是（）A． B． C． D．【解答】解：||＝，故選：B．2．在﹣5，0，﹣2，4這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．4 B．﹣5 C．0 D．﹣2【解答】解：根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則，可得﹣5＜﹣2＜0＜4，所以在﹣5、﹣2、0、4這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是4．故選：A．3．計(jì)算|﹣2|的值是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【解答】解：|﹣2|的值是2．故選：D．4．下列有理數(shù)大小關(guān)系判斷正確的是（）A．﹣（﹣）＞﹣|﹣| B．0＞|﹣10| C．|﹣3|＜|+3| D．﹣1＞﹣0.01【解答】解：A、﹣（﹣）＝，﹣|﹣|＝﹣，所以﹣（﹣）＞﹣|﹣|；B、0＜|﹣10|＝10；C、|﹣3|＝3＝|+3|＝3；D、﹣1＜﹣0.01．所以選A．5．若|a﹣2|＝2﹣a，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≥2【解答】解：∵|a﹣2|＝2﹣a，∴a﹣2≤0，∴a≤2．故選：B．6．若|a﹣5|+|b+6|＝0，則﹣b+a﹣1的值是（）A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2【解答】解：因?yàn)閨a﹣5|+|b+6|＝0，所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6，所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10．故選：B．7．若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數(shù)，則a+b的值為（）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【解答】解：∵|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數(shù)，∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，a+b＝1+2＝3．故選：A．8．已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|a﹣1|+|a|的結(jié)果為（）A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1【解答】解：∵由數(shù)軸上a點(diǎn)的位置可知，0＜a＜1，∴a﹣1＜0，∴原式＝1﹣a+a＝1．故選：A．9．請舉出一個(gè)反例說明等式“|a|＝a”不成立：．【解答】解：舉出一個(gè)反例說明等式“|a|＝a”不成立：例如，a＝﹣2，則|a|＝﹣a（答案不唯一）．故答案為：a＝﹣2，則|a|＝﹣a（答案不唯一）．10．π﹣4的絕對值是．【解答】解：π﹣4的絕對值是|π﹣4|＝4﹣π，故答案為：4﹣π．11．若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數(shù)，則a+b的值為．【解答】解：由題意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0．∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0．∴a＝1，b＝2．∴a+b＝1+2＝3．故答案為：3．12．設(shè)y1＝|2+x|，y2＝2﹣|x|，當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，x的取值范圍是．【解答】解：若y1＝y(tǒng)2，即|2+x|＝2﹣|x|，化簡可得|x+2|+|x|＝2，根據(jù)絕對值的意義，即x表示的點(diǎn)到原點(diǎn)與﹣2表示的點(diǎn)的距離之和為2，觀察數(shù)軸，分析可得必有﹣2≤x≤0，故答案為﹣2≤x≤0．13．補(bǔ)全數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“＜”把它們連接起來．1.5，0，4，，﹣3．【解答】解：如圖所示，由圖可知，﹣3＜﹣＜0＜1.5＜4．14．為體現(xiàn)社會(huì)對教師的尊重，教師節(jié)這天上午，出租車司機(jī)小王在東西方向的公路上免費(fèi)接送老師．如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，出租車的行程如下（單位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．（1）若出租車每行駛100千米耗油10升，這天上午汽車共耗油多少升？（2）如果每升汽油7元，則出租車司機(jī)今天上午的油費(fèi)是