第25講-簡單的三角恒等變換(講)(解析版)

第25講簡單的三角恒等變換思維導(dǎo)圖知識梳理題型歸納題型1三角函數(shù)式的化簡【例1-1】（2020春?臨渭區(qū)期末）已知，化簡：．【分析】由條件利用二倍角公式、以及三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號，化簡要求的式子，可得結(jié)果．【解答】解：，，故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋?淮安期末）設(shè)，則A． B． C． D．【分析】由，然后結(jié)合已知角的范圍進(jìn)行化簡即可．【解答】解：，則，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋?徐州期末）若為第四象限角，則可以化簡為A． B． C． D．【分析】由為第四象限角，結(jié)合已知條件利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解．【解答】解：為第四象限角，．故選：．【名師指導(dǎo)】1．三角函數(shù)式的化簡要遵循“3看”原則2．三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．題型2三角函數(shù)式的求值【例2-1】（2020春?青羊區(qū)校級期中）A． B．1 C． D．【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡即可求解．【解答】解：．故選：．【例2-2】（2020?遼寧模擬）若，則．【分析】由已知可得，代入所求利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可化簡求解．【解答】解：，，．故答案為：．【例2-3】（2020春?天心區(qū)校級月考）若為銳角，且，則A． B． C． D．【分析】先利用三角函數(shù)公式化簡，則，從而求出的值．【解答】解：，，又為銳角，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?雨花區(qū)校級月考）A．1 B． C． D．2【分析】由已知結(jié)合二倍角公式及和差角公式對已知進(jìn)行化簡即可求值．【解答】解：原式．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春?開江縣校級月考）化簡：的結(jié)果為．【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式直接化簡得解．【解答】解：．故答案為：2．【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2020春?駐馬店期末）化簡求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡即可求解；（Ⅱ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡即可求解．【解答】解：（Ⅰ）．（Ⅱ）．【跟蹤訓(xùn)練2-4】（2020?金鳳區(qū)校級模擬）若，是第三象限角，則．【分析】根據(jù)題意可得，，再化簡，代值計(jì)算即可．【解答】解：，，，為第三象限角，，故答案為：【跟蹤訓(xùn)練2-5】（2019秋?遼源期末）已知是方程的根，則．【分析】解一元二次方程求得的值，在老鷹利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡所給的三角函數(shù)式，可得結(jié)果．【解答】解：是方程的根，，，故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練2-6】（2020春?遼寧期中）已知，．（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值．（2）由題意利用三角函數(shù)的恒等變換及化簡所給的式子，結(jié)合（1）的結(jié)論，可得結(jié)果．【解答】解：（1）已知，，，平方可得，，．（2）．【跟蹤訓(xùn)練2-7】（2020?石家莊模擬）若，則的一個(gè)可能值為A． B． C． D．【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，比較各個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解答】解：，，的一個(gè)可能值為．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-8】（2020春?浦東新區(qū)校級期中）已知角，，，則．【分析】從．中解出，利用配角法化簡，即將其中的用，用代換，從而求出，利用三角函數(shù)值求解得的值．【解答】解：，，．，．．．．又，．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練2-9】（2020春?利通區(qū)校級期末）已知，，．（1）求的值；（2）求角的大?。痉治觥浚?）直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和同角三角函數(shù)的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用三角函數(shù)的角的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）已知，由于．所以，故．（2）．所以，由于，所以，故：．由于．所以．【名師指導(dǎo)】通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．(2)已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則選正弦較好．題型3三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3-1】（2020春?田家庵區(qū)校級期末）已知中，，則的形狀為A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．無法確定【分析】利用和角與差角的三角函數(shù)公式化簡，進(jìn)而分類討論即可判斷的形狀．【解答】解：因?yàn)椋?，可得：，?dāng)時(shí)，，為直角三角形，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，所以是等腰或直角三角形．故選：．【例3-2】（2020春?常熟市期中）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，且，求．【分析】（1）用正、余弦的差角公式展開，再用和角公式合并化簡，用周期公式得到答案；（2）先計(jì)算角的范圍，判斷余弦的符號，求出的值，再用角變換得求解；【解答】解：（1）函數(shù)；所以函數(shù)的最小正周期；（2），即，，，；；故．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?青島模擬）在中，如果，那么的形狀為A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【分析】結(jié)合和余弦的兩角和差公式，可將原不等式化簡為，即，又，，所以與一正一負(fù)，故而得解．【解答】解：，，，即與異號，又，，與一正一負(fù)，為鈍角三角形．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019秋?和平區(qū)校級期末）已知，，（1）求的值域；（2）若，求的值．【分析】（1）首先，化簡函數(shù)解析式：，然后，根據(jù)，，求解的值域；（2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式，因?yàn)?，先求解，然后求解．【解答】解：?）．，，，，當(dāng)，即時(shí)，有最小值0．當(dāng)時(shí)，有最大值．值域：，．（2），得，，，，，又，，得，．的值．【名師指導(dǎo)】解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟第一步：將f(x)化為asinx＋bcosx的形式；第二步：構(gòu)造f(x)＝eq\r(a2＋b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))·sinx＋