高級運(yùn)籌學(xué)課件

1

模糊集合2.0引論一、模糊集合產(chǎn)生的原因

1、現(xiàn)實(shí)世界中存在大量的模糊現(xiàn)象和模糊概念。如“青年人”、“高個子”等。

2、研究模糊性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。如“做化學(xué)實(shí)驗(yàn)”、“炒萊”等。

3、資訊科學(xué)和人工智慧的發(fā)展促進(jìn)了模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。如“電視圖像的調(diào)節(jié)”等。人腦思維活動的特點(diǎn)之一：就是能對模糊事物進(jìn)行識別和判斷。如：要找一個人，只知道他是“高個子，大鬍子”，無須知道他的身高究竟具體是多少米，以及臉上有多少根鬍子、平均有多粗。二、模糊性與隨機(jī)性的區(qū)別

1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合給出的概念不明確。

2、隨機(jī)性：事物的概念本身是明確的，只是發(fā)生的條件不充分，使條件與事物的發(fā)生無因果關(guān)係，從而事物的發(fā)生與否表現(xiàn)出不確定性，但有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。三、起源

1965年，(美)著名控制論教授紮德(L.A.Zadeh)發(fā)表論文“模糊數(shù)學(xué)(fuzzy)”。

給定量研究客觀世界中的模糊性開闢了新途徑。22.1模糊集合的定義

一、普通集合論知識：確定概念→普通集合→特徵函數(shù)

1、集合的概念：符合某個確定概念的對象的全體。常用字母A、B、C

等表示。因此，確定概念可用集合來表示，集合是確定概念的外延。

2、論域：某議題範(fàn)圍內(nèi)被討論的全部對象。常用字母U、V、X、Y

等表示。論域中的每個對象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大學(xué)的學(xué)生}就可以成為一個論域。⑴有限論域：元素個數(shù)為有限個或可列個的論域。⑵無限論域：元素個數(shù)為無限個的論域。

3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個集合。

用A、B、

等表示。如論域U={中南大學(xué)的學(xué)生}，則A={中南大學(xué)的男學(xué)生}就是論域U中的一個集合。二、模糊子集的定義：模糊概念→模糊集合→隸屬函數(shù)給定論域

U，稱A是論域

U上的模糊子集(記為?)：如果對x∈U，都有一個確定的數(shù)

A(x)∈[0,1]與之對應(yīng)。此時，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)稱為

A的隸屬函數(shù)；數(shù)

A(x)稱為論域U中的元素x對模糊子集A的隸屬度，表示x屬於A的程度。

特例：當(dāng)

A(x)=0、1時，模糊子集?蛻化為普通集合A；

?的隸屬函數(shù)

A(x)蛻化為A特徵函數(shù)CA(x)，即

3

例2-1組成一個100人的評比小組，對五種商品X1,X2,X3,X4,X5進(jìn)行評比。結(jié)果是：認(rèn)為商品X1“品質(zhì)好”的有81人，占81%=0.81；認(rèn)為商品X2“品質(zhì)好”的有53人，占53%=0.53；認(rèn)為商品X3“品質(zhì)好”的有100人，占100%=1；認(rèn)為商品X4“品質(zhì)好”的有0人，占0%=0；認(rèn)為商品X5“品質(zhì)好”的有24人，占24%=0.24。對論域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限論域)中的每一個元素均規(guī)定了一個隸屬度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它們確定了U中的一個模糊子集A，表示商品“品質(zhì)好”這一模糊概念。

例2-2考查某商店商品銷售利潤的經(jīng)濟(jì)效益論域U=[0，k](無限論域)表示該商品銷售利潤額的範(fàn)圍，則表示商品銷售利潤的“經(jīng)濟(jì)效益好”這一模糊概念的模糊子集?，用以下隸屬函數(shù)表示：

其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤效益最好時刻的利潤率。

4

例2-3取年齡為論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”，表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數(shù)定義為：

0150

100x0125

100x

若你的年齡x=30歲，則

52.2模糊子集的運(yùn)算：?仍記為

A(除非特別申明)

1.關(guān)係運(yùn)算：對論域U

⑴模糊空集：對xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：對xU，均有E(x)=1⑶模糊冪集

(U)：U中的全體模糊子集(含普通子集)構(gòu)成的普通集合(其元素是模糊子集)。⑷A=B：對

xU，均有A(x)=B(x)⑸A

B：對

xU，均有A(x)≤B(x)

2.並、交、餘運(yùn)算：對論域U

⑴並(A∪B)：設(shè)A,B(U),對

xU，則A∪B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）⑵交(A∩B)：設(shè)A,B(U),對

xU，則A∩B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）⑶餘(Ac)：設(shè)A(U),對

xU，則Ac是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示

“商品品質(zhì)好”這個模糊概念的模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

“商品品質(zhì)差”這個模糊概念的模糊子集為：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。則：①表示“商品品質(zhì)或好或差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；②表示“商品品質(zhì)又好又差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；③表示“商品品質(zhì)不好”這個模糊概念的模糊子集為：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；6例2-5年齡論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”,對應(yīng)的模糊子集Y與O,隸屬函數(shù)為

0150

100x0125

100x

則：表示“又老又年輕”這個模糊概念的模糊子集為O∪Y：隸屬函數(shù)為

0125

100x

50x*

7

3.運(yùn)算性質(zhì)：⑴對偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc；(

A∩B)c=Ac∪

Bc⑵冪等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺兩極律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻還原律：(

Ac)c=A

⑼不滿足互補(bǔ)律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽偽補(bǔ)律：A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥?

；A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤?

例2-6設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

則：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，並且其隸屬度均大於1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，並且其隸屬度均小於1/2

8

4.幾種常用的模糊算子：須同時滿足對偶律、交換律、結(jié)合律、兩極律⑴普通實(shí)數(shù)乘法

與最大∨算子M(

,∨)：

A∪B(x)=A(x)∨B(x)；A∩B(x)=A(x)

B(x)⑵普通實(shí)數(shù)乘法

與有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中有界和⊙：對a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通實(shí)數(shù)乘法

與概率和△算子M(

,△)：

A∪B(x)=A(x)△B(x)；A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中概率和△：對a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界積☆與有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；A∩B(x)=A(x)☆B(x)

其中有界積☆：對a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。採用算子M(☆,⊙)，得：則：A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}

92.4模糊集合與普通集合的關(guān)係：模糊集合是普通集合的推廣

1.模糊子集A的水準(zhǔn)截集A

給定模糊子集A(U)，對

[0,1]，稱普通集合A

={x|xU,且A(x)≥}為模糊子集A的水準(zhǔn)截集。

即：A

由U中哪些隸屬度大於或等於的元素組成，其特徵函數(shù)為：1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五種商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“品質(zhì)好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，進(jìn)一步研究：有50%以上的人認(rèn)為“品質(zhì)好”，稱為“合格”，則“合格”商品的集合為

A0.5={X1,X2,X3}，

=0.5

有80%以上的人認(rèn)為“品質(zhì)好”，稱為“優(yōu)良”，則“優(yōu)良”商品的集合為

A0.8={X1,X3}，

=0.8

A0.5與A0.8

均是A按一定水準(zhǔn)確定的普通子集(截集)。

10

2.水準(zhǔn)截集A

的性質(zhì)

①

(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；③設(shè)

1,2[0,1]，且1≤2，則A1

A2

3.模糊子集A的核A1、支撐架SuppA、邊界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；②A的支撐架SuppA

={x|A(x)＞0}

；③A的邊界SuppA-A1={x|0＜A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五種商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，則

A的核

A1={X3}；

A的支撐架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的邊界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA11114.由A

生成的模糊子集設(shè)A(X)，其水準(zhǔn)截集為A

，

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隸屬函數(shù)

結(jié)論：任何模糊數(shù)學(xué)問題，均可通過分解定理用經(jīng)典集合論方法處理；從概念上講，模糊數(shù)學(xué)是經(jīng)典數(shù)學(xué)的推廣和發(fā)展；

A(x)xoA

U1122.5實(shí)數(shù)域上的模糊集

論域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隸屬函數(shù)稱為模糊分佈。

1.戒上型：

1

，x＜a

0

，x≥a

①降半矩形分佈

②降半

分佈

,x＞a

1,x≤a

，其中k＞0

③降半正態(tài)分佈

,x＞a

1,x≤a

④降半柯西分佈

,x＞a

1,x≤a

,其中k,

＞0

⑤降半梯形分佈

0,x≥a1

1,x＜a2

,a2＜x≤a113

2.戒下型：

0

，x≤a

1

，x＞a

①升半矩形分佈

②升半

分佈

0,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

③升半正態(tài)分佈

0,x≤a

,x＞a

④升半柯西分佈

0,x≤a

,x＞a

,其中k,

＞0

⑤升半梯形分佈

0,x≤a1

1,x＞a2

,a1＜x≤a214

3.對稱型：

①矩形分佈

②尖

分佈

③正態(tài)分佈

④柯西分佈

⑤梯形分佈

0

，x≤a-b

1

，a-b＜x≤a+b

0

，x＞a+b

,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

0,x≤a-a2

,a-a2＜x≤a-a11,a-a1＜x≤a+a1

,a+a1＜x≤a+a2

0,x＞a+a2

15

由擴(kuò)張?jiān)碛?/p>

解：U={0,2,4,6,8,10}，V={a,b,c,d}

a

，x=0,2,4b

，x=6,8

c

，x=10

16

第三章模糊關(guān)係

3.1模糊關(guān)係的定義

從普通集合A到普通集合B的一個模糊關(guān)係R是指：以笛卡爾積

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}為論域的一個模糊子集

R，

記作R：AB，或R∈(A×B)

其隸屬函數(shù)為

R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關(guān)係R的程度。

R：A×B[0,1](a,b)A(a,b)

若A=B

，則稱R：A×A[0,1](a1,a2)A(a1,a2)

為A上的模糊關(guān)係。

例3-1設(shè)A={品質(zhì)好,品質(zhì)一般,品質(zhì)差}，B={價格高,價格中等,價格低}是兩個普通集合，則表示“質(zhì)價相符”這個模糊關(guān)係R，就是笛卡爾積A×B上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

R價格高價格中等價格低品質(zhì)好10.70品質(zhì)一般0.810.5品質(zhì)差00.6117

例3-3設(shè)X，Y為兩個坐標(biāo)軸，則表示“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大於y”這個模糊關(guān)係R，就是笛卡爾積X×Y上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

0,x≤y

,x＞y

若取x=101，y=1，則x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大於y的程度是：

例3-2設(shè)A={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}，則表示這五種幾何圖形“相似關(guān)係”

R，就是笛卡爾積A×A上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

R直線園橢圓雙曲線拋物線直線100.10.20.3園010.90.50.4橢圓0.10.910.70.6雙曲線0.20.50.710.8拋物線0.30.40.60.8118

3.2模糊矩陣一、概念

當(dāng)論域A、B為有限集時，模糊關(guān)係R可用矩陣表示，記為R=(rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

例如:“質(zhì)價相符”這個模糊關(guān)係的模糊矩陣為：

五種幾何圖形“相似”這個模糊關(guān)係的模糊矩陣為：

特例：當(dāng)隸屬度為0和1時，模糊矩陣變?yōu)槠胀ň仃嚒Ｈ?19

二、幾種特殊的模糊矩陣：①表示A×B上的“零關(guān)係”的零矩陣O：

(a,b)A×B，

o(a,b)=0。即A與B中任意元素之間具有關(guān)係O的程度為0。

②表示A×A上的“恒等關(guān)係”的恒等矩陣I：

(a,b)A×A，當(dāng)a=b時,I(a,b)=1；當(dāng)a≠b時,I(a,b)=0。即A中任意元素自己與自己具有關(guān)係I的程度為1，與其餘元素具有關(guān)係I的程度為0。

③表示A×B上的“全稱關(guān)係”的全矩陣E：

(a,b)A×B，

E(a,b)=1。即A與B中任意元素之間具有關(guān)係E的程度均為1。

20

三、模糊矩陣的運(yùn)算：設(shè)有模糊矩陣R=(rij)n×m

，S=(sij)n×m

①R與S的並：R∪S=(rij∨sij)；②R與S的交：R∩S=(rij∧sij)；③R的餘：Rc=(1-rij)；④R與S相等：R=S，

i,j，均有rij=sij

；⑤R包含於S：R

S，

i,j，均有rij≤sij

。

例如：

21

四、模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)：⑴冪等律：R∪R=R，R∩R=R；⑵交換律：R∪S=S∪R，R∩S=S∩R；⑶結(jié)合律：(R∪S)∪T=R∪(S∪T)，(R∩S)∩T=R∩(S∩T)；⑷分配律：(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)，(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)；⑸吸收律：(R∪S)∩S=S，(R∩S)∪S=S；⑹兩極律：O∪R=R，O∩R=O，E∪R=E，E∩R=R；

⑺還原律：(Rc)c=R⑻R

S

R∪S=S，R∩S=R；⑼R

S

Rc

Sc

；⑽R1

S1,R2

S2

(R1∪R2)

(S1∪S2),(R1∩R2)

(S1∩S2)⑾O

RE

五、模糊矩陣R的截矩陣R

：是一個普通矩陣設(shè)R=(rij)，對

[0,1]，稱R

=(rij(

))為R的截矩陣。

1,rij≥

0,rij＜

六、R

的運(yùn)算性質(zhì)：⑴對

[0,1]，有R

S

R

S

；⑵(R∪S)

=R

∪S

，(R∩S)

=R

∩S

。22

例3-4設(shè)有模糊矩陣：

則：

例3-5商品“質(zhì)價相符”模糊關(guān)係的模糊矩陣為：

若參加者都認(rèn)為“質(zhì)價相符”,則記為100%=1；無人認(rèn)為“質(zhì)價相符”,則記為0%=0；有70%的人認(rèn)為“質(zhì)價相符”,則記為70%=0.7。而質(zhì)檢和物價部門確定商品“質(zhì)價關(guān)係”時，把全部的人認(rèn)為“質(zhì)價相符”定為“完全相符”;80%以上的人認(rèn)為“質(zhì)價相符”定為“相符”;50%以上的人認(rèn)為“質(zhì)價相符”定為“基本相符”。

取

=1，0.8，0.5得截矩陣：

23

3.3模糊關(guān)係的合成

1、模糊關(guān)係合成的概念：

設(shè)有論域X、Y、Z，Q∈(X×Y)、R∈(Y×Z)

，則Q對R的合成Q

R∈(X×Z)，即Q

R是一個由X到Z的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)定義為：

特例：若X=Y=Z，則對X上的一個模糊關(guān)係R，記R

R=R2

2、對有限論域，模糊關(guān)係的合成可用模糊矩陣的運(yùn)算表示：設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}、Y={y1,y2,…,ym}、Z={z1,z2,…,zl}，

Q=(qij)n×m∈(X×Y)、R=(rjk)m×l∈(Y×Z)

，則Q對R的合成S=Q

R=(sik)n×l∈(X×Z)，並且24

例3-7設(shè)有模糊矩陣：

則：

253、模糊矩陣合成的運(yùn)算性質(zhì)：

⑴(Q

R)

=Q

R

；

例4-8設(shè)有模糊矩陣：取

=0.6

則：

⑵(Q

R)S=Q(RS)

；⑶Rm+n=Rm

Rn

；⑷Q

R

QS

RS

；

Q

R

SQ

SR

；

Q

RQn

Rn⑸O

R=RO=O

；I

R=RI=R；

26⑹(Q∪R)

S=(Q

S)∪(R

S)，S

(Q∪R)

=(S

Q)∪(S

R)；

⑺(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)，S

(Q∩R)

≠(S

Q)∩(S

R)；

例3-9設(shè)有模糊矩陣：

則:(Q∩R)

S

(Q

S)∩(R

S)

(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)

⑻Q

R≠R

Q；

例3-10設(shè)有模糊矩陣：

則:

Q

R≠R

Q

27

3.4幾種常見的模糊關(guān)係

1、模糊倒置關(guān)係：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到

Y上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，則RT∈(Y×X)，是Y到

X上的模糊關(guān)係，稱為R的倒置關(guān)係，其隸屬函數(shù)定義為：

特例，對有限論域X、Y，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，則RT的模糊矩陣為RT=(rji)n×m

例3-11商品“質(zhì)價相符”模糊矩陣為：則商品“價質(zhì)相符”模糊矩陣為：2、模糊對稱關(guān)係：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對x1,x2

X

，均滿足

則稱R是模糊對稱關(guān)係。特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若滿足RT=R，則R為模糊對稱矩陣。

例3-12模糊矩陣

則由RT=R，知R為模糊對稱矩陣。283、模糊自反關(guān)係：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對xX

，均滿足

則稱R是模糊自反關(guān)係。特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R主對角線上的元素均為1，則模糊矩陣R為模糊自反矩陣。

例3-13模糊矩陣

則R為模糊自反矩陣。4、模糊相似關(guān)係：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若R既是對稱關(guān)係又是自反關(guān)係，則稱R是X上的模糊相似關(guān)係，其隸屬函數(shù)滿足：對x1,x2,xX

，均有

特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R對稱且主對角線上的元素均為1，則R為模糊相似矩陣。29

例3-14論域U={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}上的模糊矩陣因?yàn)镽既是模糊對稱矩陣又是模糊自反矩陣，所以R為U上五種幾何圖形間的模糊相似矩陣。

轉(zhuǎn)置模糊矩陣運(yùn)算性質(zhì)：⑴(RT)T=R；⑵(R∪Q)T=RT∪QT

，(R∩Q)T=RT∩QT

；

⑶

R

Q

RT

QT

；⑷(RT)

=(R

)T；⑸(Q

R

)T=QT

RT，(Rn)T=(RT)n；⑹對

模糊矩陣R：R∪RT必是對稱矩陣,

且R∪RT被所有包含R的對稱矩陣所包含。

305、模糊傳遞關(guān)係：⑴普通傳遞關(guān)係R：對x,y,zX，若(x,y)

R,(y,z)

R

(x,z)

R

如幾何中的平行關(guān)係就普通傳遞關(guān)係：若ab,bcac⑵模糊傳遞關(guān)係R：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞關(guān)係，其隸屬函數(shù)滿足：對x1,x2,x3

X

，均有

特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)n×n，其隸屬度為rij

，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞矩陣，其隸屬度滿足：

例3-15影響企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的主要因素構(gòu)成論域

U={銷售額(X1),購銷費(fèi)用(X2),零售利潤(X3)},

它們彼此影響的模糊關(guān)係矩陣為：即RR

R，所以R為模糊傳遞矩陣。31⑶模糊關(guān)係R的截關(guān)係

R

：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到Y(jié)上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，

對

[0,1]，R的截關(guān)係R

是X到Y(jié)上的普通關(guān)係，其特徵函數(shù)為

特例，當(dāng)X=Y時，稱R

是X上的截關(guān)係。1,

R(x,y)

≥

0,

R(x,y)

＜

⑷模糊傳遞關(guān)係與普通傳遞關(guān)係的聯(lián)繫：

[定理]：設(shè)R∈(X×X)，即R是X到X上的模糊關(guān)係，則：

R是模糊傳遞關(guān)係

對

[0,1]，R的截關(guān)係R

均是普通傳遞關(guān)係。326、模糊等價關(guān)係：⑴普通等價關(guān)係R：若普通關(guān)係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是普通等價關(guān)係。⑵模糊等價關(guān)係R：若模糊關(guān)係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是模糊等價關(guān)係。特例，對有限論域，模糊等價關(guān)係R可表示為模糊等價矩陣R=(rij)n×n，

例3-16上例中的模糊關(guān)係矩陣：為模糊自反、對稱、傳遞矩陣。故R為模糊等價矩陣。[定理]模糊矩陣R是模糊等價矩陣

對

[0,1],R的截矩陣R

均是普通等價矩陣。33第四章模糊綜合評判

4.1模糊綜合評判數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用一、綜合評判數(shù)學(xué)模型

設(shè)有二個論域：X={X1,X2,…,Xn}表示綜合評判多種因素的集合，

Y={Y1,Y2,…,Yn}表示評語集合，則模糊變換AR=B稱為綜合評判數(shù)學(xué)模型。其中：R(X×Y)，是X×Y上的模糊關(guān)係矩陣；

A是X上的模糊子集，即各評判因素的權(quán)重，

B是Y上的模糊子集，即評判結(jié)果。二、綜合評判步驟

1、確定R：對因素集X中各個因素，用各種可行方法分別作出對評語集Y中各個評語的單因素評判，進(jìn)而得到一個實(shí)際上表示X和Y間模糊關(guān)係的模糊矩陣R。

2、確定A：對因素集X中各個因素，確定其在被評判事物中的重要程度(權(quán)重)，且權(quán)重之和為1。

3、確定B：作模糊變換B=AR，則B正好表示被評判事物在評語集Y上的綜合評判結(jié)果。R輸入A輸出BAR=B34

例4-1市場調(diào)查與銷售預(yù)測時，欲知某商品受歡迎的程度?，F(xiàn)確定顧客從品質(zhì)、價格、花色、式樣、包裝五個方面評判該商品受歡迎的程度。取評判因素集為X={品質(zhì)、價格、花色、式樣、包裝}，取評語集為Y={很受歡迎、較受歡迎、不大受歡迎、不受歡迎}，試就這五個因素對該商品受歡迎程度作出綜合評判。

解：①確定R：對該商品進(jìn)行單因素評判用隨機(jī)抽樣的方法，組成一個100人的有各方代表人物參加的評判小組，讓他們各自獨(dú)立對該商品“品質(zhì)”作出獨(dú)立評判，結(jié)果是：有60人表示該商品“很受歡迎”，有30人表示該商品“較受歡迎”，有10人表示該商品“不大受歡迎”，無人表示該商品“不受歡迎”。於是得：A質(zhì)=(0.6，0.3，0.1，0)

同理有：A價=(0.2，0.4，0.3，0.1)A花=(0.5，0.3，0.2，0)A式=(0.4，0.3，0.2，0.1)A包=(0.1，0.2，0.4，0.3)

這樣就可得模糊矩陣：35②確定A：確定五項(xiàng)單因素在總評判中的權(quán)重經(jīng)分析研究確認(rèn)，對這100名代表人物，該商品受歡迎程度的五項(xiàng)因素中：

“品質(zhì)”占30%，“價格”占25%，“花色”占20%，“式樣”占20%，“包裝”占5%，於是得因素權(quán)重：A=(0.3，0.25，0.2，0.2，0.05)(帶主觀因素，隨時間、場合和對象不同而變化)

③確定B：進(jìn)行綜合評判，採用算子M(⊙,)，可將結(jié)果歸一化

結(jié)論：對該商品，顧客表示“很受歡迎”的比重為41.5%；顧客表示“較受歡迎”的比重為32%；顧客表示“不大受歡迎”的比重為20.5%；顧客表示“不受歡迎”的比重為6%；

36

例4-2企管人員管理能力素質(zhì)綜合評判，從行政組織能力、企管水準(zhǔn)、科技知識、知人善任意識四個方面評判企管人員管理能力素質(zhì)。取評判因素集為X={行政組織能力、企管水準(zhǔn)、科技知識、知人善任意識}，取評語集為Y={很好、較好、一般、較差、很差}，試就這四個因素對該企管人員管理能力素質(zhì)作出綜合評判。

解：①確定R：對該企管人員管理能力素質(zhì)進(jìn)行單因素評判，得：

A行=(0.6，0.2，0.1，0.1，0)A企=(0.4，0.3，0.2，0.1，0)A科=(0.2，0.2，0.3，0.1，0.1)A知=(0.5，0.4，0.1，0，0)

這樣就可得模糊矩陣：②確定A：確定四項(xiàng)單因素在總評判中的權(quán)重

A=(0.3，0.3，0.3，0.1)③確定B：進(jìn)行綜合評判，採用算子M(⊙,)，並將結(jié)果歸一化

綜合這四個因素，認(rèn)為對該企管人員管理能力“很好”的比重為41%，“較好”的比重為25%，“一般”的比重為19%，“較差”的比重為3%。37

例4-3對教師教學(xué)能力綜合評判，從清楚易懂、教材熟練、生動有趣、板書整齊四個方面評判教師教學(xué)能力。取評判因素集為X={清楚易懂、教材熟練、生動有趣、板書整齊}，取評語集為Y={很好、較好、一般、不好}，試就這四個因素對該教師教學(xué)能力作出綜合評判。

解：①確定R：對某教師進(jìn)行單因素評判就“清楚易懂”因素，作出獨(dú)立評判，結(jié)果是：全班學(xué)生中有40%人表示“很好”，有50%人表示“較好”，有10%人表示“一般”，無人表示“不好”。於是得：A清=(0.4，0.5，0.1，0)

同理有：A教=(0.6，0.3，0.1，0)A生=(0.1，0.2，0.6，0.1)A板=(0.1，0.2，0.5，0.2)

這樣就可得模糊關(guān)係矩陣：②確定A：確定四項(xiàng)單因素在總評判中的權(quán)重

A=(0.5，0.2，0.2，0.1)③確定B：進(jìn)行綜合評判，採用算子M(∨,∧)，可將結(jié)果歸一化

38

結(jié)論：對該教師教學(xué)能力，學(xué)生表示“很好”的比重為33%；學(xué)生表示“較好”的比重為42%；學(xué)生表示“一般”的比重為17%；學(xué)生表示“不好”的比重為8%；

39

例4-4對商店“文明禮貌”評比，現(xiàn)確定清潔衛(wèi)生、禮貌待客、秤平尺足、商品陳設(shè)作為評比因素，取評判因素集為X={清潔衛(wèi)生、禮貌待客、秤平尺足、商品陳設(shè)}，需要評比的有甲、乙、丙三個商店，“文明禮貌”活動開得好的優(yōu)劣，故取評語集為Y={甲商店好、乙商店好、丙商店好}，試就這四個因素對三個商店“文明禮貌”活動開得好的優(yōu)劣作出綜合評判。

解：①確定R：進(jìn)行單因素評判組成一個100人的評比小組，到甲、乙、丙三個商店對“清潔衛(wèi)生”作單因素評判，結(jié)果是：有80人認(rèn)為甲商店“清潔衛(wèi)生”好，有60人認(rèn)為乙商店“清潔衛(wèi)生”好，有40人認(rèn)為丙商店“清潔衛(wèi)生”好，於是得：A清=(0.8，0.6，0.4)

同理有：A禮=(0.5，0.6，0.7)A秤=(0.7，0.9，0.6)A商=(0.9，0.4，0.3)

這樣就可得模糊矩陣：40②確定A：確定四個因素在總評判中的權(quán)重經(jīng)分析研究，確認(rèn)在這四個因素中：“清潔衛(wèi)生”占20%，“禮貌待客”占30%，“秤平尺足”占40%，“商品陳設(shè)”占10%，於是得因素權(quán)重

A=(0.2，0.3，0.4，0.1)③確定B：進(jìn)行綜合評判，採用算子M((⊙,)

結(jié)論：商店甲“文明禮貌”活動開得好的程度為0.68，商店乙“文明禮貌”活動開得好的程度為0.70，商店丙“文明禮貌”活動開得好的程度為0.56，故商店乙“文明禮貌”活動開得最好，商店甲其次，商店丙最差。

41

4.2多層模糊綜合評判模型及其應(yīng)用

複雜系統(tǒng)中，對某事物進(jìn)行評判，需考慮的因素很多，因素之間還有不同的層次，這時可採用多層綜合評判模型。對二層模型，綜合評判步驟如下：

第一步：對因素集

X作一劃分，分成n個子集X1,X2,…,Xn，使X=X1∪X2∪…∪Xn，且對

i≠j

，Xi∩Xj=

其中Xi為第i個子因素集，有ki個評判因素，即：

Xi={Xi1,

Xi2,…Xiki}，i=1,2,…,n，(k1+k2+…+kn為總因素個數(shù))

第二步：對每個子因素集

Xi={Xi1,

Xi2,…Xiki}，i=1,2,…,n作單層綜合評判子因素集

Xi到評語集

Y上的模糊矩陣為Ri

，Xi

中各因素的權(quán)重為Ai，可得Xi上的單層綜合評判結(jié)果為Bi=AiRi=(bi1,

bi2,…biki)，將Bi作為上層綜合評判中總因素集X與評語集Y的模糊矩陣R中第i行元素。第三步：對上步劃分的n個因素X=(X1,X2,…,Xn)，再按單層綜合評判法作出綜合評判，便得多層綜合評判結(jié)果B。

因素集

X

到評語集

Y上的模糊矩陣為R，X中各因素的權(quán)重為A，

R輸入A1輸出BR1Rn…輸入AnB1Bn…輸出輸出輸入A42

例4-4為促銷，對商店設(shè)計(jì)進(jìn)行評價，決定設(shè)計(jì)好壞的因素有：色彩、光線、音響、溫度、清潔衛(wèi)生、貨位分佈、商品陳列、營業(yè)面積八種，今對商店設(shè)計(jì)進(jìn)行綜合評價?，F(xiàn)確定：評判因素集為X={色彩、光線、音響、溫度、清潔衛(wèi)生、貨位分佈、商品陳列、營業(yè)面積}；評語集為Y={很好、較好、一般、不好}

解：第一步：對因素集

X劃分為X={X環(huán)、X貨、X陳、X營}

其中X環(huán)={色彩、光線、音響、溫度、清潔衛(wèi)生}，(商店環(huán)境因素)X貨={貨位分佈}，

X陳

={商品陳列}，

X營

={營業(yè)面積}

第二步：分別對X環(huán)、X貨、X陳、X營四個子因素集作單層綜合評判①對“商店環(huán)境”子因素集X環(huán)={色彩、光線、音響、溫度、清潔衛(wèi)生},採用算子M(⊙,)

43②對“貨位分佈”子因素集X貨={貨位分佈},採用算子M(⊙,)③對“商品陳列”子因素集X陳={商品陳列},採用算子M(⊙,)④對“營業(yè)面積”子因素集X營={營業(yè)面積},採用算子M(⊙,)

第三步：對商店設(shè)計(jì)X={X環(huán)、X貨、X陳、X營}進(jìn)行綜合評判，採用算子M(⊙,)44

結(jié)論：對該商品設(shè)計(jì)，認(rèn)為“很好”的比例為28.5%，認(rèn)為“較好”的比例為26.2%，認(rèn)為“一般”的比例為24.8%，認(rèn)為“不好”的比例為21.5%。

45習(xí)題四

二、試用算子M(∨,∧)、M(∨,)、M(⊙,)

計(jì)算模糊變換(合成)

三、湘江第二大橋，曾提出三個工程方案確定甲、乙、丙三個橋位，關(guān)於這三個橋位的工程方案的原始資料中，共列入了損失、造價和受益三大類的12項(xiàng)評判因素，即：

X造={引線工程造價、複蓋層厚度、橋位地形地貌、附屬工程設(shè)施}X損={佔(zhàn)用良田、折遷房屋、繞道通過地帶、由下攝司去易俗河繞行年損失}，

X益={引出過境交通、對區(qū)域發(fā)展的影響、橋位與建設(shè)大道的聯(lián)繫、由板攝路口至易河營運(yùn)里程}。取評判因素集

X={X損、X造、X益},評語集為Y={-3，-2，-1，0，1，2，3}，經(jīng)專家評價後整理為權(quán)：A=(0.22,0.18,0.6)A造=(0.5,0.1,0.1,0.3),A損=(0.5,0.3,0.1,0.1),A益=(0.5,0.25,0.1,0.15)一、判斷下列模糊矩陣是否為模糊等價矩陣

46X造引線工程造價複蓋層厚度橋位地形地貌附屬工程設(shè)施甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙000000000000000000.250000.2500.250.2500.250.2500.50.2500.250.50.250.50.50.250.50.50.250.250.50.250.50.250.50.250.250.50.250.250.500.250.50.2500.25000.25000.25000.25000000000000000047X損佔(zhàn)用良田折遷房屋通過地帶繞行損失甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙0000000000000.250.250.25000000.250000.50.50.50.2500.250.250.250.500.250.50.250.250.250.50.250.50.50.50.2500.50.50000.250.50.250.250.2500.250.250.2500000.2500000.5000000000000.250048X益過境交通區(qū)域發(fā)展影響與建設(shè)大道聯(lián)繫營運(yùn)里程甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙0000000000000.2500000.2500.2500.25000.500.250.2500.50.250.50.250.50.2500.250.250.50.50.250.250.50.250.50.250.50.2500.50.250.250.500.2500.2500.250.500.25000.250000000.25000000000000

試分別採用算子M(∧,∨)、M(,⊙)進(jìn)行多層次綜合評判，以決定甲、乙、丙哪個方案最好？。

49第五章模糊模式識別

5.1模糊子集的內(nèi)積和外積一、內(nèi)積和外積的定義設(shè)A,B∈(X)，其隸屬函數(shù)為

A(x),B(x)，則稱：

為A與B的內(nèi)積；

為A與B的外積。

例5-1A1、A2是實(shí)數(shù)域R上兩個正態(tài)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

xo1

a1a2C(小中取大，故為交點(diǎn)C)(大中取小，故為0)50

二、有限論域內(nèi)積和外積定義

設(shè)X是有限論域，且A,B∈(X)，A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，則稱：

為A與B的內(nèi)積；

為A與B的外積。

例5-2設(shè)A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

則A·B=(0.4∧0.1)∨(0.6∧0.7)∨(0.3∧0.5)∨(0.5∧0.2)=0.1∨0.6∨0.3∨0.2=0.6A

B=(0.4∨0.1)∧(0.6∨0.7)∧(0.3∨0.5)∧(0.5∨0.2)=0.4∧0.7∧0.5∧0.5=0.4

三、性質(zhì)

1、(A·B)c=Ac

Bc

，(A

B)c=Ac

·Bc

2、對任意模糊向量A均有：A·Ac≤1/2，A

Ac≥1/251

四、模糊向量的笛卡爾積設(shè)模糊向量A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，

則稱A×B=ATοB為A與B的笛卡爾積(是一個模糊矩陣)。

例5-3設(shè)A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

52

五、A·B與A×B

幾何意義

1、A·B=AοBT：表示同一個論域X上二個模糊概念與的相關(guān)程度(模糊關(guān)係)。

A可看成是由單元素論域{