高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過(guò) 專題18 平面向量的概念及其線性運(yùn)算（含解析）理試題

18平面向量的概念及其線性運(yùn)算1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念（1）了解向量的實(shí)際背景.（2）理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.（3）理解向量的幾何表示.2．向量的線性運(yùn)算（1）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.（2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.（3）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.一、平面向量的相關(guān)概念名稱定義表示方法注意事項(xiàng)向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的記作零向量方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量的相反向量為二、向量的線性運(yùn)算1．向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義、運(yùn)算律2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得.【注】限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性． 考向一平面向量的基本概念解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下六點(diǎn)：(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談．(6)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小.典例1設(shè)a0為單位向量，給出下列命題：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a|a0；②若a與a0平行，則a=|a|a0；③若a與a0平行且|a|=1，則a=a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1C．2 D．3【答案】D綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.故選D. 1．設(shè)都是非零向量，下列四個(gè)條件，使成立的充要條件是A． B．C．且 D．且方向相同考向二向量的線性運(yùn)算平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略：(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)．(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.典例2如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),BC=3A．13ABC．-13【答案】D【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)向量加法、減法運(yùn)算的考查，重在對(duì)加法法則、減法法則的理解，要特別注意首尾順次相接的若干向量的和為的情況.一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見(jiàn)的有三角形、四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、梯形）、正六邊形等.在解決這類問(wèn)題時(shí)，要注意向量加法、減法和共線（相等）向量的應(yīng)用.當(dāng)運(yùn)用三角形加法法則時(shí)，要注意兩個(gè)向量首尾順次相接，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，可以考慮用減法.2．已知的外心P滿足AP=13(A． B．3C．-13典例3如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，則____________.【答案】2【解析】由平行四邊形法則，得，故λ=2.3．在中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為A． B．C． D．考向三共線向量定理的應(yīng)用共線向量定理的主要應(yīng)用：(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A，B，C三點(diǎn)共線．【注】證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．典例4已知兩個(gè)非零向量a與b不共線.（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a?b),求證:A,B,D（2）試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）k=1或?1.又∵它們有公共點(diǎn)B,【名師點(diǎn)睛】利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí),一般是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明過(guò)同一點(diǎn)的兩條有向線段所在的向量共線.對(duì)于第（2）問(wèn),解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用向量共線的條件得出ka+b=λ(a+kb),再利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等這一條件,列出方程組,解出參數(shù).4．已知向量,,,若三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值等于A．10 B．-10C．2 D．-21．下列命題正確的是A． B．C． D．2．設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于A． B．C． D．3．如圖，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C、D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AB=aA．0 B．12C．-1 D．-4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB

=a，BC

=b，AC

=c，則|a+b+c|等于A．0 B．C． D．35．已知向量是兩個(gè)不共線的向量，若共線，則的值為A． B．?2C． D．26．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若，則=A． B．C． D．7．設(shè)向量=，=，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．若P為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)P的位置為A．P在的內(nèi)部 B．P在的外部C．P在AB邊所在的直線上 D．P在AC邊所在的直線上9．在中,D在AB上,AD:DB=1：2，E為AC中點(diǎn),CD、BE交于點(diǎn)P連接AP.設(shè)AP=xA． B．C． D．10．設(shè)O在的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且，則的面積與的面積的比值為A．3 B．4C．5 D．611．已知向量a,b不平行,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)t∈R，3a=c,2b=d,e=t(a+b),若C,D,E12．設(shè)D,E分別是的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ213．已知向量中任意兩個(gè)都不共線,且與共線,與共線,則向量________.14．若O是ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|OB-OC15．如圖，在中，為上不同于，的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足.若，則的最小值為_(kāi)_______.1．（2015年高考新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則A． B．C． D．2．（2015年高考北京卷）在中,點(diǎn)M,N滿足=2,.若=x+y,則x=________;y=________.3．（2015年高考新課標(biāo)Ⅱ卷）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．變式拓展變式拓展1．【答案】D【解析】表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位向量，因此成立的充要條件是與同向即可，故選D．2．【答案】A3．【答案】B【解析】如圖，因?yàn)?，所以，又B,P,N三點(diǎn)共線，所以，則.4．【答案】C【解析】因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線,所以,所以

,所以，,應(yīng)選C.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】D2．【答案】D【解析】因?yàn)镸為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),所以由向量加法的平行四邊形法則得，，所以.選D.3．【答案】D【解析】連接OC、OD、CD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，且AD=AO+4．【答案】B【解析】由題意知：故選B.5．【答案】A【解析】向量共線，則存在實(shí)數(shù)滿足：，據(jù)此可得：，解得.本題選擇A.6．【答案】C7．【答案】A【解析】充分性：當(dāng)時(shí)，，∴，∴成立，充分性成立；必要性：∵且，∴，解得，必要性不成立，故為充分不必要條件.8．【答案】D【解析】由得，，P在AC邊所在的直線上.故選D.9．【答案】C【解析】因?yàn)闉锳C中點(diǎn)，所以,.因?yàn)镈、P、C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得所以=.因?yàn)镋、P、B三點(diǎn)共線,同理存在實(shí)數(shù)，使得=，所以，解得.所以=，而，所以.選C.10．【答案】B【解析】∵D為AB的中點(diǎn)，則，又，∴，∴O為CD的中點(diǎn)，又∵D為AB中點(diǎn)，∴，則.11．【答案】【易錯(cuò)分析】本題可以根據(jù)向量共線滿足的條件列出等式解決,但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時(shí),容易忽視平面向量基本定理的使用條件,出現(xiàn)漏解,漏掉了當(dāng)a,b共線時(shí),t可為任意實(shí)數(shù)這個(gè)解.考生應(yīng)該注意向量共線與直線共線的區(qū)別,向量共線是指向量所在的直線平行或者重合,而直線共線是指它們重合.12．【答案】12【解析】由題意得DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=?16AB+23AC,所以λ1=?16,13．【答案】0【解析