高中數(shù)學(xué)必修一第九章直線平面簡單幾何體(B)(第五課)空間的平行直線與異面直線公開課教案課件課時(shí)訓(xùn)練

課題：9．2空間的平行直線與異面直線(二)

教學(xué)目的：1.掌握兩異面直線的公垂線和距離的概念；2.掌握兩異面直線所成角及距離的求法．3.能求出一些較特殊的異面直線的距離教學(xué)重點(diǎn)：兩異面直線的公垂線及距離的概念.教學(xué)難點(diǎn)：兩異面直線所成角及距離的求法.授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面——不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；2.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式：．3.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等4.等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法6推理模式：與是異面直線7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）．為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：8．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線垂直，記作．9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求二、講解新課：兩條異面直線的公垂線、距離和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線理解：因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義．定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離．兩條異面直線的公垂線有且只有一條三、講解范例：例1設(shè)圖中的正方體的棱長為a（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA1成異面直線？（2）求直線BA1和CC1所成的角的大?。?）求異面直線BC和AA1的距離．解：（l）∵A1不在平面BC1，而點(diǎn)B和直線CC1都在平面BC1內(nèi)，且BCC1.∴直線BA1與CC1是異面直線．同理，直線C1D1、D1D、DC、AD、B1C1都和直線BA1（2）∵CC1∥BB1∴BA1和BB1所成的銳角就是BA1和CC1所成的角．∵∠A1BB1=45°，∴BA1和CC1所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA1，AB∩AA1=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA1的公垂線段．∵AB=a，∴BC和AA1的距離是a．說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時(shí)要注意書寫規(guī)范．例2已知分別是空間四邊形四條邊的中點(diǎn)，（1）求證四邊形是平行四邊形（2）若AC⊥BD時(shí)，求證：為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.證明（1）：連結(jié)，∵是的邊上的中點(diǎn)，∴，同理，，∴，同理，，所以，四邊形是平行四邊形證明（2）：由（1）四邊形是平行四邊形∵，∴由AC⊥BD得，∴為矩形.解（3）：由（1）四邊形是平行四邊形∵BD=2，AC=6，∴∴由平行四邊形的對角線的性質(zhì).解（4）：由（1）四邊形是平行四邊形∵BD=4，AC=6，∴又∵，，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，∴四邊形的面積.解（5）：分別取AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝∴∴MN是AC與BD的公垂線段且∴AC與BD間的距離為.例3平行四邊形ABCD的內(nèi)角C=60°,CD=2BC,沿對角線BD將平行四邊形所在平面折成直二面角;求AC、BD所成的角.解：如圖,折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a.由余弦定理得BD2=a2＋4a2－a·2a=3a2,∴BD=.∵AD2＋BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形.即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°.折起后∠ADB=∠CBD=90°.如圖,過A作AEBD,連結(jié)AC、CE、BE,四邊形AEBD是矩形,BD⊥BE,DB⊥BC.∴∠CBE是二面角A—BD—C的平面角.∴∠CBE=90°,EC2=2a2∵DB⊥平面EBC,∴DB⊥EC.∵AE⊥EC,AC2=AE2＋EC2=5a2由AE‖BD得∠CAE，即為AC與BD所成的角.在Rt△AEC中,cos∠CAE=.于是AC與BD所成角為arccos.例4空間四邊形中，，分別是的中點(diǎn)，，求異面直線所成的角解：取中點(diǎn)，連結(jié)，∵分別是的中點(diǎn)，∴且，∴異面直線所成的角即為所成的角，在中，，∴，異面直線所成的角為．說明：異面直線所成的角是銳角或直角，當(dāng)三角形內(nèi)角是鈍角時(shí)，表示異面直線所成的角是它的補(bǔ)角例5在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.例6．在長方體中，已知AB=a，BC=b，=c(a＞b)，求異面直線與AC所成角的余弦值解：在長方體的一旁，補(bǔ)上一個(gè)全等的長方體，則BE≠AC，（或其補(bǔ)角）即和CD所的角∵，，，∴＝∴與AC所成角的余弦值為.四、課堂練習(xí)：1．判斷題（對的打“√”，錯(cuò)的打“×”）（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條 （）（2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為60o （）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直 （）答案：（1）×（2）×（3）√（4）×EAFEAFBCMND①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角；④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 （） （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④答案：C3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點(diǎn)不在平面BCD上,而C平面BCD,∴AC過平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C,又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=AC.同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，Aa，Da，Bb，Ec求證：BD和AE是異面直線證明：假設(shè)__共面于，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面__內(nèi)Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，這與____矛盾∴BD、AE__________答案：假設(shè)BD、AE共面于，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面內(nèi)∵Aa，Da，∴a.∵Pa，P.∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴b，c，這與a、b、c不共面矛盾∴BD、AE是異面直線五、小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩條異面直線所成的角，以及兩條異面直線間的距離和有關(guān)概念．并學(xué)會(huì)如何求兩條異面直線所成角及距離，懂得將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決空間四邊形的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形、矩形、菱形的條件，以及與對角線的長度夾角有關(guān)的問題的解法六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：下課啦，咱們來聽個(gè)小故事吧:活動(dòng)目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動(dòng)過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會(huì)現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動(dòng)物可喜歡你了，沒有水我們會(huì)死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個(gè)快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們再不能浪費(fèi)水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點(diǎn)掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開小點(diǎn)，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機(jī)借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個(gè)電話，告訴她做飯時(shí)別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個(gè)小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個(gè)小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個(gè)同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動(dòng)關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會(huì)怎樣做呢？

齊：主動(dòng)關(guān)好。

小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會(huì)，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會(huì)你有什么想法，請談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費(fèi)一滴水。

小記者：請這位同學(xué)談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會(huì)我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個(gè)人做起。我想把每個(gè)廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們再見！

水跑上來說：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動(dòng)物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護(hù)我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動(dòng)物：小熊上場說：我代表動(dòng)物家族謝謝你了，我們也會(huì)保護(hù)你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會(huì)忘記你的貢獻(xiàn)！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因?yàn)槲姨吲d了，今后還請你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會(huì)做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學(xué)們，今天我們召開的班會(huì)非常生動(dòng)，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學(xué)們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會(huì)到此結(jié)束。

6.活動(dòng)效果：

此次活動(dòng)使學(xué)生明白了節(jié)約用水的道理，浪費(fèi)水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標(biāo)兵

活動(dòng)目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動(dòng)過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會(huì)現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動(dòng)物可喜歡你了，沒有水我們會(huì)死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬