第09講-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(講義版)

第09講-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考情分析1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；2.通過具體實(shí)例，了解對數(shù)函數(shù)的概念．能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； 3.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)(a>0，且a≠1)．知識梳理1.對數(shù)的概念一般地，對于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，數(shù)a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，讀作“b等于以a為底N的對數(shù)”.2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.[微點(diǎn)提醒]1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限.經(jīng)典例題考點(diǎn)一對數(shù)的運(yùn)算【例1-1】(1)計(jì)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100－eq\f(1,2)＝________.(2)計(jì)算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.【解析】(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100eq\f(1,2)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22×52)))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝eq\f(1－2log63＋(log63)2＋log6\f(6,3)·log6(6×3),log64)＝eq\f(1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2,log64)＝eq\f(2(1－log63),2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.規(guī)律方法1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2-1】(1)若函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是()(2)當(dāng)x∈(1，2)時，不等式(x－1)2<logax恒成立，則a的取值范圍是()A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】(1)由f(x)在R上是減函數(shù)，知0<a<1.又y＝loga(|x|－1)是偶函數(shù)，定義域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴當(dāng)x>1時，y＝loga(x－1)的圖象由y＝logax向右平移一個單位得到.因此選項(xiàng)D正確.(2)由題意，易知a>1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的圖象.若y＝logax過點(diǎn)(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.根據(jù)題意，函數(shù)y＝logax，x∈(1，2)的圖象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.結(jié)合圖象，a的取值范圍是(1，2].規(guī)律方法1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例3－1】已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則()A.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減C.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱D.y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱解析由題意知，f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定義域?yàn)?0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，C正確，D錯誤.答案C【例3－2】(1)(一題多解)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是()A.(0，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】(1)法一因?yàn)閍＝log2e>1，b＝ln2∈(0，1)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.法二logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝log23，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝log2x，y＝lnx的圖象，由圖知c>a>b.(2)由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同時2a>1，∴a>eq\f(1,2).綜上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).【例3－3】已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax).(1)當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.【解析】(1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3－2a，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0，2]時，3－ax>0恒成立.∴3－2a>0.∴a<eq\f(3,2).又a>0且a≠1，∴a的取值范圍是(0，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù).∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)，∴a>1，x∈[1，2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,loga（3－a）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.規(guī)律方法1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行.2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤.3.在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.在利用單調(diào)性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件.[方法技巧]1.對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時，logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時，logab<0.2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.3.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.4.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y＝1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.5.在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應(yīng)為(0，＋∞).對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，要分0<a<1與a>1兩種情況討論.6.在運(yùn)算性質(zhì)logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件，在無M>0的條件下應(yīng)為logaMα＝αloga|M|(α∈N+，且α為偶數(shù)).7.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.課時作業(yè)1．（2020·土默特左旗金山學(xué)校高一開學(xué)考試（文））設(shè)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．（2020·長春市第二十九中學(xué)高三期末（理））函數(shù)y＝ln|x|＋1的圖象大致為（）A． B．C． D．3．（2020·陜西省高三開學(xué)考試（文））若，則（）A． B． C． D．4．（2020·九臺市第四中學(xué)高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）5．（2020·海南省海南中學(xué)高三月考）已知實(shí)數(shù)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A． B．C． D．6．（2020·肥東縣綜合高中高三二模（理））已知函數(shù)，若，且，則（）A． B． C． D．隨值變化7．（2020·榆林市第二中學(xué)高三零模（理））等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．8．（2020·甘肅省甘谷第一中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知，且，則函數(shù)與函數(shù)的圖像可能是（）A．B．C． D．9．（2020·湖南省寧鄉(xiāng)一中高一期末）設(shè)函數(shù)，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．310．（2020·甘肅省甘谷第一中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若，則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（） B． C． D．11．（2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)集寧一中高二月考（文））已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對稱，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．（2020·甘肅省高三一模（文））若函數(shù)為奇函數(shù)（其中為常數(shù)），則不等式的整數(shù)解的個數(shù)是（）A． B． C． D．13．（2020·湖南省寧鄉(xiāng)一中高一期末）計(jì)算：的值是________．14．（2020·江蘇省鹽城中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值是_______．15．（2020·海南楓葉國際學(xué)校高一期末）不用計(jì)算器求下列各式的值（1）；（2）．16．（2020·甘肅省甘谷第一中學(xué)高一開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，且．（1）求的值；（2）令，將表示成以t為自變量的函數(shù)；并由此，求函數(shù)的最大值與最小值及與之對應(yīng)的x的值．17．（2020·四川省樂山沫若中學(xué)高一月考）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，函數(shù)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使