2006年高考第一輪復習數(shù)學：4.2-兩角和與差、二倍角的公式(一)

4.2兩角和與差、二倍角的公式（一）●知識梳理1.C（α+β）的推導角α的始邊為Ox，交單位圓于P1，終邊OP2交單位圓于P2，角β的始邊為OP2，終邊－1］2+sin2（α+β）=［cos（－β）－cosα］2+［sin（－β）－sinα］2.∴cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ.2.S（α±β）、C（α－β）、T（α±β）以及推導線索（1）在C（α+β）中以－β代β即可得到C（α－β）.（2）利用cos（－α）=sinα即可得到S（α+β）；再以－β代β即可得到S（α－β）.（3）利用tanα=即可得到T（α±β）.說明：理清線索以及各公式間的內(nèi)在聯(lián)系，是記憶公式的前提.只有這樣才能記牢公式，才能用活公式.●點擊雙基1.（2004年重慶，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－ B. C.－ D.cos43°=cos60°=.答案：B2.（2005年春季北京，7）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB－sinAcosB=0.∴sin（B－A）=0.∴B=A.答案：B3.的值是A. B. C. D.解析：原式====.答案：C4.已知α∈（0，），β∈（，π），sin（α+β）=，cosβ=－，則sinα=_______.解析：由0＜α＜，＜β＜π，得＜α+β＜.故由sin（α+β）=，得cos（α+β）=－.由cosβ=－，得sinβ=.∴sinα=sin［（α+β）－β］=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=·（－）－（－）·=－.答案：－5.△ABC中，若b=2a，B=A+60°，則A解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin（A+60°）－2sinA=0cosA－3sinA=0sin（30°－A）=030°－A=0°（或180°）A=30°.答案：30°●典例剖析【例1】設cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）.剖析：=（α－）－（－β）.依上述角之間的關系便可求之.解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（α－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.解析：tan（α+）===3.答案：32.要使sinα－cosα=有意義，則應有A.m≤ B.m≥－1C.m≤－1或m≥ D.－1≤m≤解析：2sin（α－）=sin（α－）=.由－1≤≤1－1≤m≤.答案：D3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于A.2 B.2+ C.4 D.解析一：tan15°+cot15°=+===4.解析二：由tan15°=tan（45°－30°）===.∴原式=+=4.答案：C4.在△ABC中，若=，則△ABC的形狀為_______.=sin2A=sin2B2A=2B或2A=π－2BA=B或A+B=.答案：等腰三角形或直角三角形5.（2004年湖南，17）已知tan（+α）=2，求的值.解：由tan（+α）==2，得tanα=.于是====.6.已知cosα=，cos（α+β）=－，α、β∈（0，），求β.解：由cosα=，cos（α+β）=－，得cosβ=cos［（α+β）－α］=，得β=.培養(yǎng)能力7.已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值.分析：角之間的關系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角間的三角函數(shù)的關系便可求之.解：∵（－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）.又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x）cos（－x），∴=2cos（－x）=2×=.8.已知sinβ=msin（2α+β）（m≠1），求證：tan（α+β）=tanα.證明：∵sinβ=msin（2α+β），∴sin［（α+β）－α］=msin［（α+β）+α］.∴sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=msin（α+β）cosα+mcos（α+β）sinα.∴（1－m）sin（α+β）cosα=（1+m）cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=tanα.9.（2005年北京西城區(qū)抽樣測試）已知sin2α=，α∈（，）.（1）求cosα的值；（2）求滿足sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－的銳角x.解：（1）因為＜α＜，所以＜2α＜3π.所以cos2α=－=－.由cos2α=2cos2α－1，所以cosα=－.（2）因為sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－，所以2cosα（1－sinx）=－.所以sinx=.因為x為銳角，所以x=.探究創(chuàng)新10.sinα+sinβ=，求cosα+cosβ的取值范圍.解：令t=cosα+cosβ， ①sinα+sinβ=， ②①2+②2，得t2+=2+2cos（α－β）.∴2cos（α－β）=t2－∈［－2，2］.∴t∈［－，］.●思悟小結(jié)1.不僅要能熟練推證公式（建議自己推證一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，還要熟練掌握公式的變形應用.2.注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.3.注意倍角的相對性，如3α是的倍角.4.要時時注意角的范圍的討論.●教師下載中心教學點睛1.本節(jié)公式多，內(nèi)在聯(lián)系密切，建議復習時，要使學生理清公式間的推導線索，讓學生親自推導一下C（α+β）.2.公式應用講究一個“活”字，即正用、逆用、變形用，還要創(chuàng)造條件應用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意結(jié)合題目使學生體會其間的規(guī)律.

拓展題例【例1】已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），（a≠b）.求證：（a+b）⊥（a－b）.分析：只要證（a+b）·（a－b）=0即可.證法一：（a+b）·（a－b）=|a|2－|b|2=1－1=0，∴（a+b）⊥（a－b）.∴⊥.∴·=0，即（a+b）·（a－b）=0.∴（a+b）⊥（a－b）.【例2】α、β∈（0，），3sin2α+2sin2β=1，①3sin2α－2