廣東省深圳市南山區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

南山區(qū)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1．本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼．3．作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)答案的選項涂黑．4．非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．5．考試結(jié)束后，考生上交答題卡．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義,可直接得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】是焦點(diǎn)位于軸上的拋物線所以即焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)求法,屬于基礎(chǔ)題.2.若構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的為（）A，， B.，，C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，可得答案.【詳解】對于A，設(shè)，則，顯然不存在使得等式成立，故A正確；對于B，設(shè)，則，解得，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，即，解得，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，解得，故D錯誤.

故選：A.3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，且，則的公差為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，即可求得數(shù)列的公差.【詳解】因為，，則，因此，等差數(shù)列的公差為.故選：B.4.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，解得.故選：A.5.已知、，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與線段有交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合可得出直線的斜率的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如圖所示：設(shè)直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時，直線的傾斜角逐漸增大，此時；當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.6.如圖，在直三棱柱中，，且，已知E為BC的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱的幾何性質(zhì)，補(bǔ)形成正方體，利用異面直線夾角的定義，結(jié)合余弦定理，可得答案.【詳解】由題意，可得該三棱柱可看作正方體的一半，補(bǔ)形如下圖所示：記的中點(diǎn)為，連結(jié)，因為在正方形，是的中點(diǎn)，所以，又，所以，故四邊形是平行四邊形，則，則為直線與的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)該正方體的邊長為，在中，，在中，，在中，，在中，.故選：B.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與的左支交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，求出、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的齊次等式，即可解得雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，易知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，連接，所以，，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，，，由雙曲線的定義可得，因此，雙曲線的離心率為.故選：C.8.著名的斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，又稱兔子數(shù)列，記該數(shù)列為，則，，且．已知斐波那契數(shù)列有諸多特殊的性質(zhì)，例如：（1）；（2）斐波那契數(shù)列中各項的個位數(shù)是以為周期變化的，則由上述性質(zhì)可知的個位數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩個性質(zhì)可得出，計算出的個位數(shù)，即可求出的個位數(shù)，即可得解.【詳解】由性質(zhì)（1）可知，，，，，上述等式全部相加可得，，所以，，由性質(zhì)（2）可知與的個位數(shù)相同，與的個位數(shù)相同，且不難知道，，，所以，的個位數(shù)為，則的個位數(shù)也為，因此，的個位數(shù)為.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)圓C：，直線l：，則下列結(jié)論正確的為（）A.C的半徑為2 B.l恒過定點(diǎn)C.l可能與C相切 D.當(dāng)時，l被C截得的弦長最短【答案】ABD【解析】【分析】化簡圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A，令，代入直線方程即可判斷B，將代入圓方程即可判斷C，當(dāng)直線與定點(diǎn)與圓心連線所在直線互相垂直時，弦長最短，即可判斷D.【詳解】對A，，所以的半徑為2，故A正確；對B，當(dāng)時，，故直線恒過定點(diǎn)，故B正確；對C，將代入圓方程有，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓一定相交；對D，圓心，設(shè)直線恒過定點(diǎn)，則當(dāng)直線與直線相互垂直時，被截得的弦長最短，故，即，則，故D正確.故選：ABD.10.如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.為平面的一個法向量【答案】BC【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷各項的正誤.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、.對于A選項，，，則，A錯；對于B選項，，，則，B對；對于C選項，，故，C對；對于D選項，，故不是平面的一個法向量，D錯.

故選：BC.11.已知公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為，且，，則下列結(jié)論正確的為（）A.為遞增數(shù)列 B.為等差數(shù)列C.當(dāng)取得最大值時， D.當(dāng)時，d的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】通過等差數(shù)列前項和公式和下標(biāo)和性質(zhì)即可得到，，，，則可判斷AC，而則可判斷B，而通過，，則可得到關(guān)于的不等式組，即可判斷D.【詳解】對A，，即，，即，，則，而，故，故為遞減數(shù)列，故A錯誤；對B，設(shè)的首項為，則，，故數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，故B錯誤；對C，由A知，即，則，而，即，則，而，當(dāng)取得最大值時,，故C錯誤；對D，當(dāng)時，由A知，，即，即，解得，故D正確.故選：BD.12.已知橢圓和，點(diǎn)在上，且直線與交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)在上，使得，則下列結(jié)論正確的為（）A.、的離心率相等 B.C.直線、的斜率之積為定值 D.四邊形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】計算出兩橢圓的的離心率，可判斷A選項；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，可判斷B選項；利用斜率公式以及橢圓方程可判斷C選項；利用三角形的面積公式求出四邊形的面積，可判斷D選項.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，橢圓、的離心率分別為、.對于A選項，，，A對；對于B選項，聯(lián)立可得，所以，，由題意可知，則，因為，則點(diǎn)在橢圓上，所以，，B錯；對于C選項，由B選項可知，橢圓的方程為，，則，，由已知可得，兩式作差可得，C對；對于D選項，顯然四邊形為平行四邊形，其面積記為，的面積記為，因為，所以，直線與軸必有交點(diǎn)，不妨設(shè)為，且，，故，由韋達(dá)定理可得，且，所以，，D對.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，，若，則，解得.故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，且，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞推公式求出、的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因為數(shù)列滿足，且，則，可得，，因此，.故答案為：.15.已知圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，當(dāng)四邊形的面積最小時，________．【答案】【解析】【分析】證明出，計算出的最小值，可得出的最小值，可得出四邊形的面積最小值，可求得的值，進(jìn)而可得出的值.【詳解】如圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，又因為，，所以，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，當(dāng)與直線垂直時，取最小值，且，所以，，所以，，此時，因此，.故答案為：.16.如圖，在直角中，，，為斜邊上異于、的動點(diǎn)，若將沿折痕翻折，使點(diǎn)折至處，且二面角的大小為，則線段長度的最小值為________．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，垂足為點(diǎn)，記，則，利用空間數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，即可求得的最小值.【詳解】過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：，，記，則，，則，，因為二面角的大小為，則、的夾角為，，且，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，線段長度的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓：，若與相交，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】由題意可知，圓的半徑為，所以，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】易知，圓的圓心為，半徑為，根據(jù)兩圓相交可知，，又，解得，即的取值范圍是18.已知數(shù)列，滿足，，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項和，求．【答案】（1）（2）130【解析】【分析】（1）首先證明是等差數(shù)列，求出其公差，寫出通項即可；（2）當(dāng)時，，則，利用等差數(shù)列求和公式即可.【小問1詳解】由題可知,,都有,數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)的公差為,【小問2詳解】由(1)可知，令，則,當(dāng)時，，當(dāng)時,,19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，且，，已知側(cè)棱平面ABCD，設(shè)點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面ABP；（2）若，求點(diǎn)P到平面BCE的距離．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)為的中點(diǎn),連接,，利用中位線的性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，則可得平面.（2）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可.【小問1詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接,，是的中點(diǎn)，，,且，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面,平面.【小問2詳解】由于側(cè)棱平面，面，，，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量,則有，即，令,則，點(diǎn)到平面的距離.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且點(diǎn)在C上．（1）求C的方程；（2）設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且，求l的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用漸近線方程可得，再將點(diǎn)代入即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程并與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并根據(jù)向量定比即可求得l的斜率．【小問1詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其漸近線方程為，所以，可得，將代入可得，解得；所以雙曲線C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，上焦點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為，，則直線l的方程為，聯(lián)立整理得；所以又，即，可得，所以，即，解得；所以直線l的斜率為21.在四棱柱中，底面ABCD為正方形，側(cè)面為菱形，且平面平面ABCD．（1）證明：；（2）設(shè)點(diǎn)P在棱上運(yùn)動，若，且，記直線與平面PBC所成的角為，當(dāng)時，求的長度．【答案】（1）見解析（2）1【解析】【分析】（1）連接，利用面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，根據(jù)菱形對角線互相垂直有，則可證平面，則.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面平面的一個法向量，則可求出線面夾角的正弦值，則可求得的值.【小問1詳解】連接，平面平面平面平面,平面,平面，,與為菱形的對角線，，，面平面，又平面,.【小問2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,設(shè)平面的一個法向量為,則即，令，則,，，又,即的長度為1.22.已知點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，定點(diǎn)（其中常數(shù)滿足），動點(diǎn)在上，且的最小值為．（1）求的方程；（2）過作兩條斜率分別為、的直線、，記與的交點(diǎn)為、，與的交點(diǎn)為、，且線段、的中點(diǎn)分別為、．（i）當(dāng)，且時，求面積的最小值；（ii）當(dāng)時，證明：直線恒過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可知，數(shù)形結(jié)合可求得的最小值，可求得的值，可得出拋物線的方程；（2）（i）分析可知，，設(shè)直線，的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最小值；（ii）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線的方程，可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：易知拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，等號成立，所以，，可得，拋物線的方程為.【小問2詳解】解：若與軸平行，則與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，，同理可知，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，易知，，且.（i）因為，且，所以，，且，不妨設(shè)、，聯(lián)立得，恒成立，由韋達(dá)定理可得，且，所以，點(diǎn)，同理可