湖北省孝感市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖北省孝感市2022-2023年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知空間向量，若，則（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，即可進(jìn)一步求解.【詳解】根據(jù)題意，由，設(shè)，即解得：，則有，由此得．故選：B.2.設(shè)不同直線：，：，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】當(dāng)m＝2時，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立．當(dāng)l1∥l2時，顯然m≠0，從而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時，兩直線重合，不合要求，故必要性成立，故選C.點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3.將字母，，分別填入標(biāo)號為，，的三個方格里，每格填上一個字母，則每個方格的標(biāo)號與所填的字母均不相同的概率是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概率的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】將字母，，填入標(biāo)號為，，的三個方格里有種不同的填法，這種情況發(fā)生的可能性是相等的而每個方格的標(biāo)號與所填的字母均不相同只有兩種不同的填法故所求概率．故選：B4.過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A5.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】如圖所示，設(shè)分別為，和的中點(diǎn)則,夾角為和夾角或其補(bǔ)角因異面直線所成角的范圍為可知，作中點(diǎn)，則直角三角形,中，由余弦定理得：,在中，在中，由余弦定理得

又異面直線所成角的范圍為異面直線與所成角的余弦值為故選6.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】分兩種情況焦點(diǎn)在軸上與焦點(diǎn)在軸上，再根據(jù)離心率公式即可得到答案.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，離心率；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時．故選：D.7.在等差數(shù)列中，其前項和為，若，，則中最大的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得數(shù)列的首項和公差的關(guān)系式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，所以，由，得到所以，，從而當(dāng)時有最大值．故選：C8.法國數(shù)學(xué)家、化學(xué)家和物理學(xué)家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創(chuàng)立的畫法幾何學(xué)推動了空間解析幾何的發(fā)展，被廣泛應(yīng)用于工程制圖當(dāng)中．過橢圓外的一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，若兩條切線互相垂直，則該點(diǎn)的軌跡是以橢圓的中心為圓心、以為半徑的圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過圓E上的動點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，分別與圓E交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.橢圓C的離心率為B.M到C的右焦點(diǎn)的距離的最大值為C.若動點(diǎn)N在C上，記直線AN，BN的斜率分別為，，則D.面積的最大值為【答案】D【解析】【分析】A.根據(jù)蒙日圓的定義，可求橢圓方程，即可判斷；B.根據(jù)橢圓方程和圓的方程，結(jié)合幾何意義，即可判斷；C.根據(jù)為圓的直徑，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用點(diǎn)在橢圓上，證明；D.利用圓的幾何性質(zhì)，確定面積的最大值.【詳解】A.因?yàn)闄E圓的蒙日圓為，根據(jù)蒙日圓的定義，，得，所以橢圓，，，則，所以橢圓的離心率，故A正確；B.點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)，則的最大值是，故B正確；C.根據(jù)蒙日圓的定義可知，則為圓的直徑,與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，，，，故C正確；D.因?yàn)闉閳A的直徑，，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時，的面積最大，此時最大值是，故D錯誤.故選：D二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A.數(shù)列的公差為 B.C.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，從而求出，，得到公差，A正確；利用等差數(shù)列求通項公式求出B正確；由，得到當(dāng)時，，結(jié)合，從而得到C正確；在C選項的基礎(chǔ)上，求出，結(jié)合，求出答案.【詳解】由題意知，又，故可看出方程的兩根，∵數(shù)列為遞減數(shù)列，，．公差，故A正確；又，，故B正確；由上可知，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故C正確；由C選項知：，故，∵，，故D錯誤．故選：ABC10.已知圓，直線，則下列命題中正確的有（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓被軸截得的弦長為C.直線與圓恒相離D.直線被圓截得最短弦長時，直線的方程為【答案】AD【解析】【分析】求出直線所過的定點(diǎn)即可判斷選項；求出圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出弦長可判斷選項；根據(jù)直線過的定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項；當(dāng)直線截得的弦長最短時，，，即可求出直線方程，進(jìn)而判斷選項.【詳解】將直線的方程整理為，由，解得：，則無論為何值，直線過都定點(diǎn)，故選項正確；令，則，解得，故圓被軸截得的弦長為，故不正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線與圓相交，故不正確；圓心，半徑為，，當(dāng)截得的弦長最短時，，，則直線的斜率為，此時直線的方程為，即，故正確．故選：.11.拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，斜率為，且交拋物線于、兩點(diǎn)點(diǎn)在軸的下方，拋物線的準(zhǔn)線為，交于，交于，點(diǎn)，為拋物線上任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A.若，則 B.的最小值為C.若，則 D.【答案】ABD【解析】分析】根據(jù)焦半徑結(jié)合圖形關(guān)系即可判斷A,根據(jù)三點(diǎn)共線即可判斷B，根據(jù)焦點(diǎn)弦即可求解C，聯(lián)立方程根據(jù)向量垂直即可求解.【詳解】對于A;設(shè)，過做于點(diǎn)，則，，易得，從而A正確對于過、分別作、于點(diǎn)、，則,當(dāng)三點(diǎn)共線時，此時最小值為,從而B正確對于由得,,，當(dāng)時，，C錯誤對于D,由得，，，從而，故D正確，故選：ABD12.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，有下列判斷，其中正確的是（）A.平面平面B.平面C.異面直線與所成角的取值范圍是D.三棱錐的體積不變【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；對于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；對于D，先利用線線平行得到點(diǎn)到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.【詳解】對于A，連接，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，平面，又平面，所以，因?yàn)樵谡叫沃?，又與為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面，又平面，從而平面平面，故A正確；.對于B，連接，，如圖，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面?nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以與所成角即為與所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，?dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時，與所成角取得最小值；當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時，與所成角取得最大值；所以與所成角的范圍是，故C錯誤；對于D，由選項B得平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，即點(diǎn)到面平面的距離不變，不妨設(shè)為，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化嚴(yán)密推理.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線l的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】設(shè)直線方程為，根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的方程組，解方程組后可得所求的直線方程.【詳解】設(shè)直線的方程為，則，且，解得或者，∴直線l的方程為或，即或.故答案為：或.14.圓與圓的公切線共有__________條【答案】4【解析】【分析】由兩圓的位置關(guān)系，判斷兩圓的公切線.【詳解】由，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以該兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3，因?yàn)?，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條.故答案為：4.15.設(shè)數(shù)列的前項和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項公式________．【答案】【解析】【分析】代入法求得，由表達(dá)式數(shù)列為等差數(shù)列，求得首項和公差后可得通項公式．【詳解】依題意得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)其公差為，則，所以．故答案為：.16.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最大值為__________．【答案】##【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的定義，在焦點(diǎn)三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.【詳解】不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，，所以，，，在△中，，由余弦定理得，化簡得，即．所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時等號成立．故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知在某次1500米體能測試中，甲、乙、丙3人各自通過測試概率分別為，，.求：（1）3人都通過體能測試的概率；（2）只有2人通過體能測試的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件的乘法公式直接計算作答.（2）把只有2人通過體能測試的事件分拆成三個互斥事件的和，再利用概率的加法公式、乘法公式求解作答.【小問1詳解】設(shè)事件“甲通過體能測試”，事件“乙通過體能測試”，事件“丙通過體能測試”，由題意有：，，.設(shè)事件“甲、乙、丙3人都通過體能測試”，即事件，而事件，，相互獨(dú)立，所以3人都通過體能測試的概率是.【小問2詳解】設(shè)事件“甲、乙、丙3人中只有2人通過體能測試”，則，由于事件，，，，，均相互獨(dú)立，并且事件，，兩兩互斥，因此，所以只有2人通過體能測試的概率是.18.已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得,聯(lián)立方程可得,代入等差數(shù)列的通項公式可求;(2)代入等差數(shù)列的前和公式可求,進(jìn)一步可得,然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得,從而可求.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，又是方程的兩個根，（2）由（1）可知，為等差數(shù)列，舍去)當(dāng)時，為等差數(shù)列，滿足要求【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前項和公式的綜合運(yùn)用,屬于中檔題.19.如圖，是過拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，為垂足，點(diǎn)N坐標(biāo)為.（1）求拋物線的方程；（2）求的面積（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由已知得準(zhǔn)線方程為：，由此可求得拋物線的方程；（2）設(shè)，代入拋物線的方程作差得，再由M是的中點(diǎn)，求得，由此求得直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立可求得弦長AB，由三角形的面積公式可求得答案.【小問1詳解】解：點(diǎn)在準(zhǔn)線上，所以準(zhǔn)線方程為：，則，解得，所以拋物線的方程為：；【小問2詳解】解：設(shè)，由在拋物線上，所以，則，又，所以點(diǎn)M縱坐標(biāo)為是的中點(diǎn)，所以，所以，即，又知焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，則直線的方程為：，聯(lián)立拋物線的方程，得，解得或，所以，所以.20.已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【解析】【分析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，設(shè)平面的一個法向量，則有，令得，而平面的一個法向量，依題意，，化簡整理得：而，解得，所以在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn)，使平面和平面所成角的余弦值為.21.已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為正數(shù)的直線與圓交于，.求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程，并與圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得的表達(dá)式，結(jié)合換元法以及基本不等式求得的最大值.【小問1詳解】由圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn)，設(shè)，直線的斜率為，則，所以