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文檔簡(jiǎn)介
第8章概率
8.1條件概率
8.1.2全概率公式
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組全概率公式的應(yīng)用
1.已知事件A,B,且P(A)q,P(B|A)4,P(B⑷下則P(B)等于()
311±
ARC
.---
553
15
2.(2022湖北聯(lián)考)若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)1x1的正方形,任何事件都對(duì)應(yīng)
樣本空間的一個(gè)子集,且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積,則如圖所示的陰影部分
的面積表示()
P出)
A.事件A發(fā)生的概率
B.事件B發(fā)生的概率
C.事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率
D.事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率
3.(2021江蘇無(wú)錫月考)設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品,由三家工廠生產(chǎn),其中甲廠生產(chǎn)右乙、
丙兩廠各生產(chǎn);,而且各廠的次品率依次為2%,2%,4%,現(xiàn)從中任取一件,則取到次
品的概率為()
A.0.025B.0.08C.0.07D.0.125
4.(2021江蘇啟東中學(xué)月考)某批播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子,1.5%
的三等種子,1%的四等種子.播種一、二、三、四等種子后長(zhǎng)出的穗含50顆以上
麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,則這批種子播種后所長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥
粒的概率為()
A.0.8B.0.8325
C.0.5325D.0.4825
5.(2021福建泉州期末)世衛(wèi)組織稱新型冠狀病毒可能造成“持續(xù)人傳人”的現(xiàn)象,通
俗點(diǎn)說(shuō)就是存在A傳B,B又傳C,C又傳D的現(xiàn)象,那么A、B、C就會(huì)被分別稱
為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個(gè)身體健康的人與第一代、第二代、
第三代傳播者接觸后被傳染的概率分別為090.8Q7,健康的小明參加了一次多人
宴會(huì),事后知道,參加宴會(huì)的人有5名第一代傳播者,3名第二代傳播者,2名第三代
傳播者,若小明參加宴會(huì)過(guò)程中,僅和這10個(gè)人中的一個(gè)發(fā)生了接觸,則其被傳染
的概率為.
6.(2022遼寧名校聯(lián)盟月考)2022年北京冬奧會(huì)的志愿者中,來(lái)自甲、乙、丙三所
高校的人員情況:甲高校學(xué)生志愿者7名,教職工志愿者2名;乙高校學(xué)生志愿者6
名,教職工志愿者3名;丙高校學(xué)生志愿者5名,教職工志愿者4名.
(1)從這三所高校的志愿者中各任取一名,求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工
的概率;
(2)先從這三所高校中任選一所,再?gòu)倪@所高校的志愿者中任取一名,求這名志愿者
是教職工志愿者的概率.
7.(2022山東臨沂期中)“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心,據(jù)考證,“青
團(tuán)”之稱大約始于唐代,已有1000多年的歷史.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外
觀均相同的“青團(tuán)”.已知甲箱中有4個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和3個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”,乙
箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和2個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”.
⑴若從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”,求這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率;
⑵若先從甲箱中任取2個(gè)青團(tuán)”放入乙箱中,再?gòu)囊蚁渲腥稳?個(gè)“青團(tuán)”,求取出
的這個(gè)“青團(tuán)''是肉松餡的概率.
8.(2022山東濰坊期末)如圖,有三個(gè)外形相同的箱子,分別編號(hào)為1,2,3,其中1號(hào)箱
裝有1個(gè)黑球和3個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球,3號(hào)箱裝有3個(gè)黑球,
這些球除顏色外完全相同.小明先從三個(gè)箱子中任取一箱,再?gòu)娜〕龅南渲腥我饷?/p>
出一球,記事件Ai(i=l,2,3)表示“球取自第i號(hào)箱”,事件B表示“取得黑球”.
OOOOO
OOOO@@
(1)分別求P(BAD,P(BA2),P(BA3)和P(B)的值;
⑵若小明取出的球是黑球,判斷該黑球來(lái)自幾號(hào)箱的概率最大,請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案與分層梯度式解析
8.1.2全概率公式
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
l.CP(B)=P(A)P(B|A)+P(Z)P(B⑷甘xg+(i言.
2.A由題意可知,題圖中陰影部分的面積為P(A|B)-P(B)+P(A|e)(l-
P(B))=P(AB)+P(A歷)-P@)=P(AB)+P(A萬(wàn))=P(A).故選A.
3.A設(shè)Ai,A2A3分別表示取到的是甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品,B表示取到的是次品,
則
,
P(AI)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|AI)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04,..P(B)=P(AI)
P(B|AI)+P(A2>P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.5X0.02+0.25X0.02+0.25X0.04=0.025.故選A.
4.D設(shè)從這批種子中任選一粒是一、二、三、四等種子分別是事件A,,A2,A3,A4,
則它們構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.設(shè)B=”從這批種子中任選一粒,播種后所長(zhǎng)出的
穗含50顆以上麥?!?,
4
貝ijP(B)=xP(Ai)P(B|Ai)=95.5%x0.5+2%x0.15+1.5%x0.1+l%x0.05=0.4825.故選D.
i=l
5.答案0.83
信息提取,①一個(gè)身體健康的人與第一代、第二代、第三代傳播者接觸后被傳
染的概率分別為0.9,0.8,0.7;②參加宴會(huì)的人有5名第一代傳播者,3名第二代傳播
者,2名第三代傳播者;③小明僅和10名傳播者中的一個(gè)發(fā)生了接觸.
數(shù)學(xué)建模本題以新型冠狀病毒傳染為背景構(gòu)建全概率模型.先根據(jù)參加宴會(huì)的
人有5名第一代傳播者,3名第二代傳播者,2名第三代傳播者,得與第一代、第二
代、第三代傳播者接觸的概率分別為050.3,0.2,然后結(jié)合一個(gè)身體健康的人與第
一代、第二代、第三代傳播者接觸后被傳染的概率分別為090.8,0.7和全概率公
式得小明被傳染的概率.
解析設(shè)事件A,B,C分別為和第一代、第二代、第三代傳播者接觸,事件D為小
明被傳染,由已知得
P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.9,P(D|B)=0.8,P(D|C)=0.7,
則P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)-P(C)=0.9x0.5+0.8x0.3+0.7x0.2=0.83.
所求概率為0.83.
6.解析(1)設(shè)事件A為“從這三所高校的志愿者中各任取一名,這三名志愿者全是
學(xué)生”,則P(A尸/*|=強(qiáng)
設(shè)事件B為“從這三所高校的志愿者中各任取一名,這三名志愿者全是教職工”,則
叫=衿⑥;
設(shè)事件c為“從這三所高校的志愿者中各任取一名,這三名志愿者中既有學(xué)生又
有教職工”,則P(C)=1-P(A)-P(B)=1-轟急嗤
(2)設(shè)事件D為這名志愿者是教職工志愿者,事件E.為選甲高校,事件E2為選乙高
校,事件E3為選丙高校,
則P(ED=P(E2)=P(E3)W,P(D|Ei)q,P(D|E2)q,P(D|E3)W
所以這名志愿者是教職工志愿者的概率
F(D)=P(Ei)P(D|Ei)+P(E2)P(D|E2)+P(E3)-P(D|E3)=lxHxMxi=l
7.解析⑴從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”的基本事件總數(shù)為學(xué)=21,
這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的基本事件個(gè)數(shù)為c;c;=12,
所以這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率P考4
(2)設(shè)事件A為“從乙箱中任取1個(gè),青團(tuán),,取出的這個(gè),青團(tuán),是肉松餡”,
事件B?為“從甲箱中取出的2個(gè),青團(tuán),都是蛋黃餡”,
事件B2為“從甲箱中取出的2個(gè),青團(tuán),都是肉松餡”,
事件B3為“從甲箱中取出的2個(gè),青團(tuán),為1個(gè)蛋黃餡1個(gè)肉松餡”,
則事件B1,B2,B3兩兩互斥,
所以P(B。4得昔P(B2)q得與P(B3)=警考喙
P(A|BIR,P(A|B2)=T,P(A|B3)弓,
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=/+衿+^W,
所以取出的這個(gè)“青團(tuán)”是肉松餡的概率為2
8.解析⑴由已知可得P(AI)=P(A2)=P(A3)=|,
P(B|AI)W,P(B|A2)=臺(tái),P(B|A3)=1,
P(BAD=P(Ai)P(B|Ai)=/U,
X
P(BA2)=P(A2)P(B|A2)4H
X
P(BA3)=P(A3)P(B|A3)41甘,
.?.P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)4+汨
(2)該黑球來(lái)自3號(hào)箱的概率最大.理由如下:
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