八年級數(shù)學上冊全等三角形培優(yōu)綜合練習題

全等三角形培優(yōu)綜合練習題

一、單選題

I.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，^BAF=^CAG=90°>AB=AF,

AC=AG.連接FG，交DA的延長線于點E,連接BG,CF.則下列結(jié)論:①BG=CF；

②BGJ.CF；③BC=2AE；?EF=EG,其中正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①

②③④

2.如圖，在ZkABC中，NBAC和NABC的平分線AE,BF相交于點O,AE交BC于E,BF

交AC于F,過點。作。D_LBC于D,下列四個結(jié)論：?ZAOB=90=+1ZC;②當/C

=60°時，AF+BE=AB;③若OD=a,AB+BC+CA=2b,則SAABC=ab.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①②

③D.①③

3.如圖，在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=30°,

連接AC,BD交于點M,AC與OD相交于E,BD與OA相交于F,連接OM.則下列結(jié)論

中：①AC=BD;②NAMB=30。；③△OEM名ZxOFM;④MO平分NBMC.

正確的個數(shù)有（）

A.4個B.3個C.2

個D.1個

4.如圖，點P為定角NAOB平分線上的一個定點，且NMPN與/AOB互補.若NMPN在繞

點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、0B相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：①PM=PN;

②OM+ON的值不變；③MN的長不變；④四邊形PMON的面積不變，其中，正確結(jié)論的

是（）

A.①②③B.①②④C.①③

④D.(2)@@

5.如圖，ZACB=90°,AC=BC.AD±CE,BE±CE,垂足分別是點D,E,AD=3,BE=1,

則DE的長是（）

A.1B.2C.3D

.4

6.如圖，AD是AABC的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F,若EF=AF,

A.2.5B.2C.1.5D

.1

7.如圖四邊形ABCD中，AD〃BC,ZBCD=90°,AB=BC+AD,ZDAC=45°,E為CD上一

點，且NBAE=45。.若CD=4,則AABE的面積為（）

A.-B.巴D.

77

50

~7

8.如圖，點A,C,D,E在RtaMON的邊上，ZMON=90°,AE_LAB且AE=AB,BC±CD

且BC=CD,BHJ_ON于點H,DF_LON于點F,OM=12,OE=6,BH=3,DF=4,FN=8,

80

9.如圖，過邊長為1的等邊ZkABC的邊AB上一點P,作PELAC于點E,Q為BC延長線

上一點，當PA=CQ時，連結(jié)PQ交AC邊于D,則DE的長為（）

D..

5

10.如圖，點P在/MAN的角平分線上，點B,C分別在AM,AN±,作PRLAM,PS±

AN,垂足分別是R,S.若/ABP+NACP=180。，則下面三個結(jié)論：①AS=AR;②PC〃AB;

③AERP絲4CSP.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①

②③

二、填空題

1.在AABC中，AC=5,中線AD=7,則AB邊的取值范圍是—.

2.如圖，△ABC中，NABC、NEAC的角平分線BP、AP交于點P,延長BA、BC,PM

1BE,PNJ_BF,則下列結(jié)論中正確的是—.

①CP平分NACF;@ZABC+2ZAPC=180°;③NACB=2NAPB;@SAPAC=SAMAP+

SANCP.

3.如圖，在直角三角形EFD中，直角邊EF=4,DF=3,以它的三邊分別作出了正

方形ABDE、CDFL、EFGH,把△AEH、△BDC、△GFL的面積分別記為51、

$2、$3，則$1+$2+$3=___"

4.如圖，在四邊形ABCD中，AC1BC于點C,且4C平分ZBAD，若△4DC的

面積為10cm2,則△ABD的面積為—cm2.

5.如圖，在AABC中，/ABC=2NC，AD、BE分別為ZBAC和^ABC的角平

分線，AABE的周長為20,BD=4,則AB的長為一.

6.如圖，在銳角△ABC中，AC=10,5aBe=25，/BAC的平分線交BC于點D,點

M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是一

c

7.如圖，AD是△ABC的角平分線，DFJ.AB，垂足為F,DE=DG,^ADG和^AED

的面積分別為52和36,則4EDF的面積為.

8.如圖，AB//CD，點E是邊AD上的點，BE平分/ABC,CE平分/CD,有

下列結(jié)論：①AD=AB+CD，②E為4D的中點，?BC=AB+CD,?BEICE,

其中正確的有.(填序號)

三、解答題

I.如圖，在AABC中，AB=BC,ZB=90°,AD是NBAC的平分線，CELAD于點E.求

證：AD=2CE.

2.如圖，在4ABC中，AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線，AD、CE相交于點F.

(1)求證：ZEFA=90°--ZB;

2

(2)若NB=60。，求證：EF=DF.

將三角板放在正方形ABCD±,使三角板的直角頂點P在對角線AC

上，一條直角邊經(jīng)過點B,另一條直角邊交邊DC與點E,求證：PB=PE

分析問題：學生甲：如圖1,過點P作PM_LBC,PN_LCD,垂足分別為M,N通過證明兩

三角形全等，進而證明兩條線段相等.

學生乙：連接DP,如圖2,很容易證明PD=PB,然后再通過”等角對等邊“證明PE=PD,就

可以證明PB=PET.

解決問題：請你選擇上述一種方法給予證明.

問題延伸：如圖3,移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，?條直角邊經(jīng)過

點B,另一條直角邊交DC的延長線于點E,PB=PE還成立嗎？若成立，請證明；若不成立,

請說明理由.

4.如圖，已知AOMN為等腰直角三角形，ZMON=90°,點B為NM延長線上一點，OCL

OB,且OC=OB,連接CN.

(1).如圖1,求證：CN=BM;

(2).如圖2,作NBOC的平分線交MN于點A,求證：AN2+BM2=AB2;

(3).如圖3,在⑵的條件下，過點A作AELON于點E,過點B作BF_LOM于點F,

EA,BF的延長線交于點P,請?zhí)骄浚阂跃€段AE,BF,AP為長度的三邊長的三角形是何種

三角形？并說明理由.

5.在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且ZEAF=/CEF=45°.

(1).將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AABG(如圖1),求證：

BE+DF=EF；

(2)若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M、N(如圖2),求證：

EF2=ME2+NF2；

(3).將正方形改為長與寬不相等的矩形，其余條件不變(如圖3),直接寫出線段EF、

BE、DF之間的數(shù)量關系.

6.如圖，在4ABC/ACB=90°>AC=BC,E是AB上一點，BD_LCE于D,

F是BC上一點，AF1CD于H?

(1).如圖1,求證：CH=BD；

(2).如圖2,在射線AF上有一點G,連接CG,/DBE=^CGA,求ZACG的

度數(shù)；

(3).在(2)的條件下，如圖3,連接BG,若BG=CG=3,求BE的長.

7.課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖1,在AABC中，若48=12,47=8,求8c邊上的中線AD的取值范圍.

小穎在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法:如圖2,延長AD到點E,使DE=AD,

連接BE,可證得AADC/EDB,即AC=BE,請根據(jù)小穎的方法思考下列問題.

(1).由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是—.

(2)?解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分

散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.

完成上題之后，小穎善于探究，她又提出了如下的問題，請你解答.

如圖3,在AABC中，若4D是AABC的中線，E是力。上一點，連接BE并延長交

邊AC于點F,且4F=EF,求證：AC=BE-

(3).如圖4,在△A8C中，D是AC的中點，分別以AB,BC為直角邊向△A8C外

作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中ZABM=/NBC=Z90°，

連接MN,試探索BD與MN之間的數(shù)量與位置關系，并說明理由.

圖4

8.在等邊三角形ABC中，點E為線段AB上一動點，點E與A,B不重合，點D在CB的

延長線上，且ED=EC.

(1)當E為邊AB的中點時，如圖1所示，確定線段AE與BD的大小關系，并證明你的

結(jié)論；

(2)如圖2,當E不是邊AB的中點時，(1)中的結(jié)論是否成立？若不成立，請直接寫出

BD與AE的數(shù)量關系；若成立，請給予證明；(提示：過E作EF//BC交AC于點F)

(3)在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC,△ABC

的邊長為1,AE=2,請直接寫出CD的長.

9.如圖

(1)［發(fā)現(xiàn)］：

如圖1.在AABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,過點A作A"_L8c于點“，求證：AH=

-BC.

2

(2)［拓展］:

如圖2.在△ABC和△A3E中，AB=AC,AD=AE,且/8AC=NZME=90。，點。、B、

C在同一條直線上，AH為4ABe中BC邊上的高，連接CE.則/OCE的度數(shù)為,

同時猜想線段A"、CD.CE之間的數(shù)量關系，并說明理由.

⑶應用］:

在圖3、圖4中.在"BC中，A8=AC,且/8AC=90。，在同一平面內(nèi)有一點尸,滿

足PC=1,28=6,且N8PC=90。，請求出點4到BP的距離.

10.如圖

(1)問題背景：如圖①，在四邊形ABCD中，

4B=4D,/B4D=120°,NB=4DC=90°.E,尸分別是BC,CD上的點，且

44廣=60。，請?zhí)骄繄D中線段BEEEDF之間的數(shù)量關系.小明同學探究此問題的方法

是：延長FD到點G,使DG=BE.連接AG，先證明△ABEADG,得

AE=AG;再由條件可得^EAF=^GAF,證明△4EF三△AGF,進而可得線段

BE.EF.DF之間的數(shù)量關系是.

(2)探索延伸：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=4D,+4)=180。.E,F

分別是BC,CD上的點，且^EAF=-^BAD.問⑴中的線段BE.EF.DF之間的

2

數(shù)量關系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)實際應用：如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西20。的月

處，艦艇乙在指揮中心南偏東80°的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動

指令后，艦艇甲向正東方向以50海里〃卜時的速度前進，艦艇乙沿北偏東30°的方向以60

海里〃卜時的速度前進.2小時后，甲、乙兩艦艇分別到達E,F處，此時在指揮中心觀測

到兩艦艇之間的夾角為60°,試求此時兩艦艇之間的距離.

11.在AABC中，=,點D是直線BC上一點(不與B,C重合)，以4D為

一邊在AD的右側(cè)作AADE，使AD=HE,^DAE=^BAC，連接CE.

(1)如圖1,當點D在線段BC上，如果^BAC=90°,則^BCE=________度；

(2)如圖2,如果^BAC=60°,求/BCE的度數(shù)是多少?

(3)設ZBAC=a,4CE=§.

①如圖3,當點D在線段BC上移動，則a,§之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由;

②當點D在直線BC上移動，請直接寫出a,6之樣的數(shù)量關系，不用證明.

12.⑴.猜想：如圖1,已知：在△4BC中，/BAC=90°AB=AC,直線m經(jīng)

過點A,BDJ.直線m,CEJ,直線m,垂足分別為點D、E試猜想DE、BD、CE有

怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出；

(2).探究：如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2,將(1)中的條件改為：

在AABC中，AB=AC,D,A、E三點都在直線m上，并且有

/BDA=ZAEC=^BAC=a(其中a為任意銳角或鈍角)如果成立，請你給出證明；

若不成立，請說明理由.

(3).解決問題：如圖3,F是角平分線上的一點，且△A8F和△4CF均為等邊三角形,

D、E分別是直線m上A點左右兩側(cè)的動點D、E、A互不重合，在運動過程中線段DE的

長度始終為n,連接8D、CE,若ZBDA=/AEC=ZBAC，試判斷△DEF的形

狀，并說明理由.

13.據(jù)圖回答問題:

(1)感知：如圖①.AB=AD,AB1AD,BFJ_AF于點F,DGJ_AF于點G.求證：AADG

^△BAF;

(2)拓展：如圖②，點B,C在/MAN的邊AM,AN上，點E,F在NMAN在內(nèi)部的射

線AD上，Zl,N2分別是AABE,ACAF的外角，已知AB=AC,ZI=Z2=ZBAC.求證:

△ABE^ACAF;

(3)應用：如圖③，在AABC中，AB=AC,AB>BC,點在D邊BC上，CD=2BD,點E,

F在線段AD上，Z1=Z2=ZBAC.若^ABC的面積為12,則4ABE與^CDF的面積之和

為.

圖①圖②圖③

答案解析部分

一、單選題

1.D2,C3.B4.B5.B6.C7,D8.B9.A

10.C

二、填空題

1.9<AB<192.①②③④3.1814.20

5.86.57.8②③④

三、解答題

1.【答案】證明：延長AB、CE交于點F,

VZABC=90°,CE1AD,ZADB=ZCDE,

.\ZBAD=ZECD,

在AABD和4CBF中,

^BAD=^BCF

{AB=CB，

^ABD=4BF

/.△ABD^ACBF(SAS),

；.AD=CF,

「AD是/BAC的平分線，

.\ZCAE=ZFAE,

在ACAE和AFAE中，

^CAE=4AE

{AE=AE，

^AEC=^AEF

/.△CAE^AFAE(ASA),

.,.CE=EF,

；.AD=CF=2CE.

2【答案】(1)UE^:VZBAC+ZBCA=180°-ZB,

XVAD,CE分別是/BAC、NBCA的平分線，

ZFAC=-ZBAC,ZFCA=-ZBCA,

22

.'.ZFAC+ZFCA=1x(180°-ZB)=90°-iZB,

22

ZEFA=ZFAC+ZFCA,

ZEFA=90°-iZB.

2

(2)證明：如圖，過點F作FGJ_BC于G,作FH_LAB于H,作FM_LAC于M.

???AD、CE分別是/BAC、NBCA的平分線,

AFG=FH=FM,

VZEFH+ZDFH=120°,

ZDFG+ZDFH=360°-90°x2-60°=120°,

.".ZEFH=ZDFG,

在△EFH和4DFG中，

/HF=GF=90°

(^EFH=^DFG，

FG=FH

.".△EFH^ADFG(AAS),

AEF=DF.

3.【答案】證明：如圖1,

.四邊形ABCD為正方形，

.".ZBCD=90°,AC平分NBCD,

VPM1BC,PN1CD,

???四邊PMCN為矩形，PM=PN,

VZBPE=90°,ZBCD=90°,

.".ZPBC+ZCEP=180°,

而NCEP+NPEN=180。，

.\ZPBM=ZPEN,

在ZkPBM和ZkPEN中

^PMB=^PNE

1/BM=NPEN

PM=PN

.,.△PBM^APEN(AAS),

.\PB=PE;

如圖2,連結(jié)PD,

???四邊形ABCD為正方形，

.\CB=CD,CA平分/BCD,

.,.ZBCP=ZDCP,

在ZkCBP和ACDP中

CB=CD

SCP=^DCP,

CP=CP

AACBP^ACDP(SAS),

.\PB=PD,NCBP二NCDP,

VZBPE=90°,ZBCD=90°,

.,.ZPBC+ZCEP=180°,

而NCEP+NPEN=180。，

.\ZPBC=ZPED,

.\ZPED=ZPDE,

.\PD=PE,

；?PB=PD;

如圖3,PB=PE還成立.

理由如下：過點P作PMLBC,PN1CD,垂足分別為M,N,

??,四邊形ABCD為正方形，

.\ZBCD=90o,AC平分NBCD,

VPM1BC,PN1CD,

???四邊PMCN為矩形，PM=PN,

.".ZMPN=90°,

VZBPE=90°,ZBCD=90°,

/.ZBPM+ZMPE=90°,

而NMEP+NEPN=90。，

???NBPM=NEPN,

在△PBM和APEN中

^PMB=2NE

{/PM=NEPN、

PM=PN

/.△PBM^APEN(AAS),

.".ZBOC=90°,

VZMON=90°,

???ZBOC一ZCOM=ZMON-ZCOM,

.\ZBOM=ZCON,

OC=OB

在^CON和ABOM中，{4:ON=ZBOM，

ON=OM

.?.△CON之△BOM(SAS),

ACN=BM;

(2)證明：連接AC,

Af

VOA平分NBOC,

.,.ZBOA=ZCOA,

OB=OC

在ABOA和ACOA中，｛々BOA=/COA,

OA=OA

.二△BOA絲△COA(SAS),

AAB=AC,

VAOMN是等腰直角三角形，

，ZONM=ZOMN=45°,

：△CON絲△BOM,

ZONC=ZOMB=135°,

ZANC=ZONC-ZONM=135°—45°=90°,

/.AN2+CN2=AC2,

.*.AN2+BM2=AB2.

(3)解：以線段AE,BF,AP為長度的三邊長的三角形是直角三角形，理由如下:

；AE1ON,^ONM=45°，

由勾股定理得：AN=>/2AE>

；BF1OM,^OMN=4S°，

々MB=^FBM=45°，

由勾股定理得：BM=V2FB，

/PAB=/NAE=ZPBA=45°，

4=90°,

由勾股定理得：AB=42AP>

VAN2+BM2=AB2,

(VZ4E)2+(V2FB)2=(V2AP)2,

AE2+FB2=AP2,

以線段AE,BF,AP為長度的三邊長的三角形是直角三角形.

vAADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AABG,

AF=AG,^FAG=90°，

vZEAF=45°，

^GAE=45°,

在AAGE與AAFE中，

AG=AF

{^GAE=^FAE=45°,

AE=AE

：.AAGEAAFE(SAS},

；?EG—EF，

vEG—EB+BG=BE4-DF?

???EF=EB+DF-

⑵證明：如圖2中，設正方形ABCD的邊長為Q.將AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)

90°,得至UAABG,連接GM.則AADF邕AABG,DF=BG.

D

G<;?S

由⑴知AAEGAAEF,

EG=EF

v^CEF=45°,

:"BME、ADNF、4CEF均為等腰直角三角形,

CE=CF,BE=BM,NF=>/2DF,

a—BE=a—DF，

BE=DF，

BE=BM=DF=BG,

ZBMG=45°>

:.Zt；ME=45o+45o=90o，

EG2=ME2+MG2,

EG=EF,MG=y/2BM=V2DF=NF,

:.EF2=ME2+NF2.

⑶解：EF2=2BE2+2DF2

6.【答案】（1）證明：：AFICD,

ZAHC=4cB=90。，

?'-/ACH+/CAH=NACH+ZBCD=90°,

???^CAH=ZBCD，

,/BDICE,

???^AHC=/CDB=90°,

?/AC=BC,

&ACHgACBD(AAS),

CH=BD?

(2)解：由(1)可知：^AHE=Z7DB=90。，

/AEH+々AH=/DEB+ZDBE=90°>

???^AEH=/DEB，

々AH=ABE，

/DBE=^CGA，

/DBE=^CGA=ZBAG,

???BA//CG,

???^BAC+^ACG=180°，

'/^ACB=90°，AC=BC,

ZBAC=^ABC=4S°，

?'-/4CG=135°-

(3)解：延長GB、CD交于K,過點C作C/_LAB于/,如圖所示:

由(1)(2)可證BA//CG,ZBAC=^ABC=45°，4cB=^GAC，

ZBCG=^ABC=45°，BI=AI,

BG=CG=3,

ZBCG=/CBG=45°，

???〃BC=180。-4跖=135。=/GCA，

,/AC=BC,

/.ABKC絲XGCA(ASA),

BK=CG=BG=3,

V△8/CZX8GC都為等腰直角三角形，且BC為它們的公共斜邊，

/.CI=BI=BG=CG=3,

：■BK=CI=B1=AI=3,

；^KBC=13S°,^ABC=4S°,

?'-/KBE=/KBC-^ABC=90°=/CIE，

；/CE1=/KEB,

△BKEg△ICE(AAS),

?*-BE=El=^B1=1.5-

7.【答案】(l)2<AD<10

(2)證明：如圖，延長AD到點G,使DG=4D,連接BG,

AD=DG,^ADC=/GDB,CD=DB,

???△ADCGDB(SAS),

AC=BG,4AC=ZG，

AF=EF,

?'-^FAE=^AEF，

?'-"BEG=ZG，

?**BE=BG,

???AC=BE；

(3)解：2BD=MN,BD1MN,理由如下：

如圖，延長BD至點E,使DE=BD,連接CE,

E

AD=DC

由題意得；{^ADB=/CDE,

BD=ED

h△ABD/CED(SAS)

?*./ABD=4，AB=CE,

^ABM=ZJV5C=90°>

???ZABC+^MBN=180°，

即ZABD+^CBD+ZMBN=180°

々+4BD+ZBCE=180°,

?'-/BCE=^MBN，

AABM和ABCN是等腰直角三角形,

AB=MB,BC=BN,

CE=MB,

在ABCE和△N8M中，

CE=BM,

{ZBCE=ZMBN,

BC=NB.

△BCE=△NBM(SAS),

BE=MN,ZEBC=^MNB，

，2BD=MN,

延長DB交MN于點G,

/NBC=90。>

ZEBC+ZNFG=90°>

^MNB+ZNBG=90°,

???ZBGN=90°，

???BD1MN.

8.【答案】(1)解：AE=BD;

證明：:△ABC為等邊三角形，AE=BE,

.'.CE平分NACB,

.\ZECB=30°.

?.,DE=CE,

???ND=NECB=30。.

ZABC=ZD+ZDEB=60°,

.\ZDEB=30°,

???ND=NDEB,

??.BD=BE.

?.,AE=BE,

???AE=BD;

(2)解：當E為邊AB上任意一點時，AE=BD仍成立;

證明：如圖1,過E作EF〃BC交AC于點F.

VAABC是等邊三角形，

AZABC=ZACB=ZA=60°,AB=AC=BC,

.,.ZAEF=ZABC=60°,ZAFE=ZACB=60°,即NAEF=NAFE=NA=60。,

???△AEF是等邊三角形，

???AE=EF=AF.

VZABC=ZACB=60°,

???ZDBE=ZEFC=120°,ND+NBED=ZFCE4-ZECD=60°.

VDE=EC,

???ND=NECD,

.".ZBED=ZECF,

.,.△DEB^AECF(AAS),

???BD=EF,

???AE=BD;

(3)解：CD的長為3或1

如圖2,作EF〃BC交CA的延長線于點F,則ZkAEF為等邊三角形,

???AF=AE=EF=2,NBEF=60。，

.\ZCEF=60°+ZBEC.

?.,NEDC=NECD=NB+NBEC=60°+ZBEC,

ZCEF=ZEDB.

又??，EB=CF=3,ZF=ZB=60°,

AACEF^AEDB(AAS),

???BD=EF=2,

ACD=BD-BC=1,

如圖3,同理可得CD=3,

9.【答案】(1)證明：

VAH±BC,ZBAC=90°,

/.ZAHC=90°=ZBAC.

.,.ZBAH+ZCAH=90°,ZBAH+ZB=90°.

.\ZCAH=ZB,

在ZkABH和ACAH中，

NCAH=N

{^AHC=^BHA,

AB=CA

/.△ABH^ACAH.(AAS).

；.BH=AH,AH=CH.

，AH=-BC

2

(2)解：/DCE的度數(shù)為90。，線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關系為：CE+2AH=CD,

理由如下：VZDAB+ZBAE=90°,ZEAC+ZBAE=90°,AZDAB=ZEAC,:

AD=AE,AB=AC,.".AADB^AAEC(SAS),AZABD=ZACE,：AB=AC,Z

BAC=90°；.NABC=NACB=45°,AZABD=135°,.\ZDCE=90°；：D、B、C三點共

線，；.DB+BC=CD,VDB=CE,AH=-BC,；.CE+2AH=CD

2

(3)解：點A到BP的距離為：三或乙.

22

理由如下：

如圖3,過點A作AHLBP于點H,連接AP,作NPAD=90。，交BP于點D,

A

.\ZBAC=ZDAP=90°,

???NBAD=/CAP,

?/ZBDA=ZAPC=90°+ZAPD,

.".△APC^AADB(AAS),

.\BD=CP=1,

.\DP=BP-BD=6-1=5,

VAH±DP,

AAH=iDP=5;

22

如圖4,過點A作AHLBP于點H,

作NPAD=90。，交PB的延長線于點D,

AZBAD=ZCAP,

VZBAC=90°,ZBPC=90°,

.\ZACP+ZABP=180°,

.,.ZACP=ZABD,

VAB=AC,

.,.△APC^AADB(AAS),

.\BD=CP=1

.\DP=BP+BD=6+1=7.

VAH1DP,

，AH=iDP=-.

22

綜上所述：點A到BP的距離為：號或7

22

10.【答案】(1)EF=BE+DF

(2)解：EF=BE+DF仍然成立.

證明：如圖1,延長FD到G,使DG=BE,連接4G,

???NB+4DC=180。，4DC+/4DG=180。，

JZB=4DG?

在△ABE和△月DG中，

BE=DG

=^ADG,

AB=AD

：.^ABE^ADG(SAS),

?*-AE=AG,^BAE=^DAG,

?/^EAF=^^BAD,

???ZBAE+^DAF=^EAF=\^BAD,

2

?/44F="4G+NTJAF,

/.^GAF=々AE+^DAF,

^EAF=^GAF,

在△AEF和△AGF中,

AE=AG

{^EAF=^GAF,

AF=AF

???△AEFAGF(SAS),

???EF=GF,

???GF=DG+DF=BE+DF,

???EF=BE+DF

(3)解：如圖2,

連接EF,延長AE、BF相交于點G.

VZAOB=20°+90°+(90°-80°)=120°,ZEOF=60°,

；?^EOF=\^AOB,

又；OA=OB,ZOhG+ZOBG=(90°-20°)+(80°+30°)=180°,

；?符合(2)中探索延伸中的條件，

結(jié)論EF=AE+BF成立，

即EF=2x(50+60)=220海里.

答：此時兩艦艇之間的距離是220海里.

11.【答案】⑴90

(2)解：VZBAC=60°,AB=AC,

.?.△ABC為等邊三角形，

.,.ZABD=ZACB=60°,

VZBAC=ZDAE,

???NBAD=NCAE,

在△ABD和△ACE中，

VZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,

AAABD^AACE(SAS),

???NABD=NACE=60。，

???ZBCE=ZACE+ZACB=60°+60°=120°,

故答案為：120.

⑶解：①a+0=18O。，

理由：VZBAC=ZDAE,

AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

即NBAD=