2021年高考數(shù)學(xué)高分秘籍導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含解析

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.已知曲線y=lnx的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為()

A.eB.-eC.-D.--

ee

【答案】c

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(a,Ina),

Vy=lnx,/.

切線的斜率是1

a

切線的方程為y-lna=，(x-a),

將(0,0)代入可得lna=La=e,

???切線的斜率是U；

ae

故選：c.

求曲線y=/U)的切線方程的類型及方法

(1)已知切點(diǎn)P(xo,yo),求尸=?r)過點(diǎn)P的切線方程：求出切線的斜率尸(xo),由點(diǎn)斜式寫出方程；

(2)已知切線的斜率為％,求y=/U)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(xo,yo),通過方程％'(xo)解得松，再由點(diǎn)

斜式寫出方程；

(3)己知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y=/(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)尸(xo,yo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率廣(xo),

再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得xo,最后由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.

(4)若曲線的切線與已知直線平行或垂直,求曲線的切線方程時(shí)，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，

再由k=7'(xo)求出切點(diǎn)坐標(biāo)(xo,yo)，最后寫出切線方程.

(5)①在點(diǎn)P處的切線即是以P為切點(diǎn)的切線，P一定在曲線上.②過點(diǎn)尸的切線即切線過點(diǎn)P,P不

一定是切點(diǎn).因此在求過點(diǎn)尸的切線方程時(shí)，應(yīng)首先檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在己知曲線上.

2.y=*-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[-1,1]B.(0,1)

C.[1,+8)D.(0,+8)

【答案】B

【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閤>O,y，=x-1,

令x」<0,由于x>0,從而得0<x<I,

X

函數(shù)y=1x2-Inx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

故選：B.

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，在某個(gè)區(qū)間3方)內(nèi)：

①如果f'(x)>0,函數(shù)7(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

②如果/'(為<0,函數(shù)人x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

③如果/'(x)=0,函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

3.函數(shù)/(x)=；o?—在口，2］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a>\B.a..\C.a>2I),a..2

【答案】D

【解答】解：對/(x)求導(dǎo)：f'(x)=ax2-2x；

函數(shù)f(x)=g/72+a在［1,2］上單調(diào)遞增，即導(dǎo)函數(shù)/'(X)在［1,2］上恒有/'(x)..O；

/'(x)為元二次函數(shù)，其對稱軸為：x=~,由選項(xiàng)可知a>0,開口朝上，

a

故r(x)在口，21匕為單調(diào)遞增函數(shù)；

了⑴..0，⑵..()

故只需滿足：1?,解得：a-2；或1。無解，

故選：D.

由函數(shù)/U)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

(1)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上/(x)K)(或/(x)WO)(T(x)在該區(qū)間的任意子區(qū)

間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；

(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是尸(x)>0(或/(工)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就

把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；

(3)若已知/U)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出式x)的單調(diào)區(qū)間，令/是其單調(diào)區(qū)

間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

m

4.設(shè)函數(shù)/(x)=Inx+—，meR.

x

(1)當(dāng)m=e(6為自然對數(shù)的底數(shù))時(shí)，求/(x)的極小值；

(2)若/食)在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，求〃，的取值范圍.

Ax—e

【解析】(1)當(dāng)機(jī)=6時(shí)，/(x)=lnx+—,則/'。)=——(x>0),

X

當(dāng)X￡(0,e),/'(1)<0，/(處在(0,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(e,+8),/'(%)>0,/(%)在(e,+oo)上單調(diào)遞增,

故當(dāng)x=e時(shí)，/(x)取得極小值，為/(e)=Ine+￡=2,

e

???/(x)的極小值為2.

(2)因?yàn)?⑶在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，所以/'(x)=土/20在(0,+8)上恒成立，

X

即對于Vxe(0,+oo)恒成立，貝|]團(tuán)40,

故〃1的取值范圍是(-8,()].

函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略

(1)函數(shù)極值的判斷：先確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號.

(2)求函數(shù)八x)極值的方法

①確定函數(shù)火X)的定義域.

②求導(dǎo)函數(shù)/(X).

③求方程r(x)=0的根.

④檢查廣㈤在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點(diǎn).如果左正右負(fù)，那么./U)在這個(gè)根處取得

極大值，如果左負(fù)右正，那么火X)在這個(gè)根處取得極小值，如果/(X)在這個(gè)根的左右兩側(cè)符號不變，

則/U)在這個(gè)根處沒有極值.

(3)利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)廣(x),求方程/(x)=0的根的情況，得關(guān)

于參數(shù)的方程(或不等式)，進(jìn)而確定參數(shù)的值或取值范圍.

5.函數(shù)/(x)=ox3_3x+l對于xe[-1,1]總有f(x)成立，則a的取值范圍為()

A.[2,+8)B.[4,+8)

C.⑷D.[2,4]

【答案】C

【解答】解：①當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=120,對于aWR皆成立.

②當(dāng)0<xWl時(shí)，若總有f(x)20,則0%3一3彳+120,一5，

令g(x)=4一3，g,(x)4+4=-6(x-》,令g，()=0,解得x=；.

z33x

XXXX*x42

當(dāng)OVxvg時(shí)，gf(x)>0；當(dāng)[VxWl時(shí)，gf(x)<0.

?*.g(X)在x=1時(shí)取得最大值，g(1)=4,Aa^4.

③當(dāng)-IWXVO時(shí)，若總有f(x)=0,則12?—3]+ieo,

令h(X)=4-W，則h，(x)=-6(xTeo,

23

XXx4

Ah(x)在[-1,0)上單調(diào)遞增，

??.當(dāng)x=-1時(shí)，h(x)取得最小值，h(-1)=4,.\a<4.

aER

由①②③可知：若函數(shù)f(x)=〃—3x+l對于x￡[-1,1]總有f(x)20成立，則a必須滿足a24,

,a<4

解得a=4.

，a的取值范圍為{4}.

故選：C.

利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法

（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，

根據(jù)要求得所求范圍.一般地，/（x）2a恒成立，只需/（無4加之。即可；/（幻＜。恒成立，只需

/（X）134a即可.

（2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值（最值）,

然后構(gòu)建不等式求解.

4

6.曲線y=M與直線y=5-x圍成的平面圖形的面積為（）

X

A15n15c

A.—B.—C.--4/?2D.--8/n2

2442

6.【答案】D

4

y=-

【解答】解：如圖:聯(lián)立x

、y=5-x

解得，兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,(4,1),

（?441,415

所以兩曲線圍成的圖形的面積為辿（5…產(chǎn)=（5'一即叫=萬-8叱

7?由曲線），=/和直線工=0,X=l,y=r,z€（0,1）所圍成的圖形（陰影部分）的面積的最小值為（）

7.【答案】A

【解答】解：根據(jù)題意，可得

S=J：(/一f四+\\x2-t2\ix

=-鏟3)匕+(—X3—t2X)|'

=-r3+(--r2)-(-/3-z3)=-r3-t2+-

33333

4i

記/⑺=_/_/+_,可得名，⑺=4產(chǎn)—2r=2t(2t-1)

33

???當(dāng)xe((),g)時(shí)，F(xiàn)(r)<0,當(dāng)xwg,1)時(shí)，F(xiàn)(0>0

./⑺在(0,g)上為減函數(shù)；在(；，1)上為增函數(shù)

因此，尸⑺的最小值為嗎=莪一冷=；,即圍成的圖形面積的最小值為:

故選：A.

利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略

(1)利用定積分求平面圖形面積的步驟

①根據(jù)題意畫出圖形；

②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；

③把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和；

④計(jì)算定積分，寫出答案.

(2)知圖形的面積求參數(shù)

求解此類題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù),

由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關(guān)于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值.

（3）與概率相交匯問題

解決此類問題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積，再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計(jì)算.

1.設(shè)/'（X）為定義在R,上的函數(shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù)，且/'（X）-儂>0恒成立，則（）

X

A.3/（4）>4/（3）B.3/（4）<4/（3）

C.3/(3)>4/(4)D,3/(3)<4/(4)

【答案】A

【解答】解：/'(刈-幺也>0,即礦(x)-"x)〉o

XX

設(shè)g(x)=3，則g，(x)=礦⑺；,

XX

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0恒成立，

即g(x)在(0,m)上單調(diào)遞增，

，g(4)>g(3)

.7(4)./(3)

43

：.3f(4)>4/(3),

故選：A.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)綜合問題的一般步驟

（1）確定函數(shù)的定義域，審清題意，確定解題方向，明確出發(fā)點(diǎn).

（2）進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，進(jìn)行求導(dǎo).

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值或最值，有參數(shù)時(shí)進(jìn)行分類討論.

（4）利用極值或最值，判斷函數(shù)的零點(diǎn)，得出正確結(jié)論.

（5）反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題過程的規(guī)范性.

2.函數(shù)/(x)=gV—￡在［i,3］上的最小值為()

24

A.—2B.0C.—D.—

33

【解答】解：函數(shù)，(x)=gx3-d在口，3］上

所以ff(x)=x2-2x=x(x-2),

所以(。)二12-2x=x(x—2)=0時(shí)，x=0(舍去)，或x=2,

當(dāng)xe(l,2)時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(x)=+3-d在(1,2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(2,3)時(shí)，/。)>0,函數(shù)〃x)=gx3-d在(2,3)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值為：f(2)=；8一4=一4三

33

f(1)=,

33

f(3)=0,

所以：函數(shù)/(0=#-》2在［1,3］上的最小值為/(2)=|-4=~；

故選：D.

求函數(shù)./U)在團(tuán)例上最值的方法

(1)若函數(shù)ZU)在［4,句上單調(diào)遞增或遞減，%)與他)一個(gè)為最大值,一個(gè)為最小值.

(2)若函數(shù)應(yīng)r)在［4切內(nèi)有極值，先求出函數(shù)_/U)在口力］上的極值，與人公、1A打比較，其中最大的一個(gè)

是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

(3)函數(shù)段)在伍必上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn).

注意：(1)若函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

(2)極值是函數(shù)的“局部概念”，最值是函數(shù)的“整體概念”，函數(shù)的極值不一定是最值，函數(shù)的最值

也不一定是極值.要注意利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象直觀研究確定.

3.定義在R匕的函數(shù)/'(x)滿足/'(1)=1,且2f'(x)<1,當(dāng)xe［0,2TT］時(shí)，不等式/'(2cosx)<2cos2；一2的解集

為

A?（-屋）B.（-輔）

C.[0,=)U(^,2K]D.[0,=)U(^,2n]

【答案】D

【解析】由題意得f(2cosx)<2cos2-|=cosx+

令t=2cosx,則/(t)<|+1，

構(gòu)造函數(shù)g(t)=/(t)-1-，則9⑴=f⑴-瀉=o,g'(t)=f(t)-1，

因?yàn)?f'(x)<1,所以g'(t)=f'(t)-：<0,即函數(shù)g(t)單減，

不等式轉(zhuǎn)化為g(t)=f(t)<o=g(l),所以t=2cosx>1,得cosx>I，

而無e[0,2n],求得Xe[0,=)U(Y，2TT].

即不等式f(2cosx)<2cos2/我解集為[0,$u(y,2n].

選D.

4.已知函數(shù)f(x)=2x-alnx(a€R),g(x)=^-.

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性：

(II)當(dāng)a=2時(shí)，證明：g(x)>f(x).

【解答】解：(I)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

：.f'(x)=2--X=—X,

當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)>0恒成立，即f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

當(dāng)a>0,則當(dāng)0Vx<；時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x溝時(shí)，f'(x)>0,

Af(x)在(0,3上為減函數(shù)，在《，+8)上為增函數(shù)，

綜上可得，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,上為減函數(shù)，在《，+8)上為增函數(shù)，

證明(II)a=2時(shí)，令h(x)=g(x)-f(x)=Y-2x+21nx,x>0,

.?.h，(x)xejx_2+JeX(x-l)-2x(x-l)(eX2x)(x-l),

令m(x)=ex-2x,(x>0),得m'(x)=ex-2,

當(dāng)0VxVln2時(shí)，m*(x)<0,m(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>ln2時(shí)，m'(x)>0,m(x)單調(diào)遞增,

Am(x)(ln2)=2-21n2>0,

AxG(0,1)時(shí)，h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

xG(1,+8)時(shí)，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，h(x)的取最小值h(1)=e-2>0,

???當(dāng)a=2時(shí)，g(x)>f(x).

x

5.已知函數(shù)f(%)=ax-be9且函數(shù)f(%)的圖象在點(diǎn)(0,/(0))處的切線斜率為Q-1.

(1)求b的值，并求函數(shù)/(%)的最值；

(2)當(dāng)aE[1,1+e]時(shí)，求證：/(%)<%.

【解析】(1)由題得，/'(%)=a-b鏟,

根據(jù)題意，得/'(0)=a—b=a—1,=

?,/'(%)=Q-e”.

當(dāng)Q40時(shí)，f(x)<0,f(x)在R上單調(diào)遞減,/(%)沒有最值;

當(dāng)Q>0時(shí)，令/'(%)<0,得x>Ina,令/'(%)>0,得％<Ina,

.,./(X)在(-8,Ina)上單調(diào)遞增，在(Ina,+8)上單調(diào)遞減，

/(%)在％=Ina處取得唯一的極大值，即為最大值，且f(%)max=/(Ina)=alna-a.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，/(x)沒有最值；

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)的最大值為alna-Q,無最小值.

(2)要證/(%)<%,即證(Q-l)x<ex,

令尸(%)=鏟一(a—1)%,

x

當(dāng)Q=1時(shí),F(x)=e>0,:.(a—l)x<e”成立;

xx

當(dāng)1VQW1+e時(shí)，F(xiàn)'(x)=e-(a-1)=e-

當(dāng)％Vln(a-l)時(shí),Fz(x)<0；

當(dāng)工〉仇(a-1)時(shí)，F(xiàn)z(x)>0,

???尸(乃在(一8,也((1一1))上單調(diào)遞減，在(ln(a—l),+8)上單調(diào)遞增，

AF(x)>F(ln(a-1))=eln<a_1)-(a-l)ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)].

V1<a<14-e,

：.a-l>0,1-ln(a-1)>1-ln[(l+e)-l]=0,

>0,即—成立,

故原不等式成立.

用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法

(1)利用單調(diào)性：若於)在［a,句上是增函數(shù),則①VxG［a用,則式a)0/(x)0/S),②對Vxi，x2^［a,b］,

且X1<X2,則兀n)勺伏2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論.

(2)利用最值：若於)在某個(gè)范圍。內(nèi)有最大值欣或最小值附，則對Vxd￡>,則以)WM(或於)之間.

(3)證明y(x)<g(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)三/(x)-g(x),證明尸(x)<0.

6.已知函數(shù)/(x)=sinx和gW=肝二￡的定義域都是［-萬，幻，則它們的圖象圍成的區(qū)域面積是(

)

【答案】C

【解答】解：g(x)=V^二，■的圖象為圓心為O半徑為死的圓的上半部分,

：y=sinx是奇函數(shù)，

.?./(X)在［-萬，0］上與x軸圍成的面積與在［0,7］上與“軸圍成面積相同,

則兩個(gè)函數(shù)圖象之間圍成的面積等價(jià)為圓的上半部分的面積

S=—EJT2^=—,

22

故選：C.

作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象的對稱性，利用割補(bǔ)法是解決本題的關(guān)鍵

1.已知函數(shù)〃X)=(X3-2X)/,則lim-/(1)的值為()

」x->o[_U

A.一eB.1C?eD.0

2.函數(shù)/(幻="-"〃/4>1)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(1,-K?)B.(0,4oo)C.(-<?,1)D.(-oo,0)

3.若函數(shù)八a=如？+2/-3尤-1存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)優(yōu)的值可以為

A.--B.--C.一正D.-亞

3339

4.己知函數(shù)/(X)與其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)="的單調(diào)遞減區(qū)間為(

e

R(0,2)

D?

C.(f0)和。,4)D.(0,3)

5.已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),滿足DxwR,/'(x)>/(x)且/(1)=e,則不等式/(加r)>x的

解集為()

A.(e,+oo)B.(l,+oo)C.(0,e)D.(0,1)

6.設(shè)三次函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),函數(shù)y=xQ1(x)的圖象的一部分如圖所示，則正確的是()

X

A./(X)的極大值為/(石)，極小值為/(-G)

B./(X)的極大值為/(-G),極小值為/(右)

C.的極大值為/(-3),極小值為/(3)

D./(X)的極大值為/(3),極小值為八-3)

7.設(shè)aw/?,若函數(shù)y=x+Rnx在區(qū)間(Le)有極值點(diǎn)，則。取值范圍為()

e

A.(-,e)B.(一e,」)

ee

C.(-oo,-)U(e,+oo)D.(-oo,+oo)

ee

8.函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a?在x=l處有極值10,則點(diǎn)(a,b)為()

A.(3,-3)B.(-4,11)

C.(3,-3)或(-4,11)D.不存在

9.設(shè)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)？(x)的圖象可能是()

10.已知實(shí)數(shù)a,b滿足OWaWl,OWbWl,則函數(shù)f(x)=x3-ax?+bx+I存在極值的概率為()

A.|B.1

3

C.j2D.8

9

f7-3)

11.已知三次函數(shù)/(幻=加+加+以+d的圖象如圖所示，則戈;=()

12.已知函數(shù)/(x)=x+Mix,且對于任意X>2,總有函數(shù)/(x)的圖象在函數(shù)y=k(x-2)圖象的上方，則

當(dāng)AwN時(shí)，化的最大值為()

A.3B.4C.2D.5

13.設(shè)廣(X)為定義在R"上的函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，且八x)-1@>0恒成立，則()

X

A.3/(4)>4/(3)B.3/(4)<4/(3)

C.3/(3)>4/(4)D.3/(3)<4/(4)

14.若/(x)=o/+涼+6滿足/'(1)=2,則D=

A.-4B.4C.-2D.2

15.若函數(shù)f(x)=gx3—r(i)k+2彳+5,則廣(2)=

16.已知函數(shù)/(外=/+加+cx-17(a,h,ceR)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),/'(%),,0的解集為｛%|-猿上3),若

f(x)的極小值等于-98,則a的值是.

17.若函數(shù)f(x)=ln(e*+1)+ax為偶函數(shù)，則，(,一二］dx=.

18.函數(shù)/(幻=/_7］_4山的最小值為.

2

19.若函數(shù)/(x)=/zu+x+—在區(qū)間上，f+2］上是單調(diào)函數(shù)，貝心的取值范圍是.

尤

20.若函數(shù)/(x)=2/-加+1(。eR)在(0,+oo)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則.f(x)在［-1,U上的最大值與最小

值的和為.

21.已知函數(shù)/(x)=X3-3X的圖象與直線y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是.

22.若函數(shù)/(x)=Asin(twx-2)(A>0，。>。)的圖象如圖所示，則圖中的陰影部分的面積為

23.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(/(x)—2*+」-)=?,/'(尤)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，且>=/'(尤)

2*2

無零點(diǎn)，則J：(/(x)+x)dr=.

24.已知函數(shù)f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,m@R.

(I)若m=2,寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)若對于任意的xG[-1,1],都有f(x)<4,求m的取值范圍.

25.已知函數(shù)/(x)=G?+(a+2)x+lnx,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(x)?0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

26.B知函數(shù)/(x)=4x(x2-ax).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2

(2)若f(x)在區(qū)間［0,2］的最小值為求a.

27.已知函數(shù)f(x)=x-l+二(aGR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

e

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(l))處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值；

(3)當(dāng)a=l時(shí)，若直線1：y=kx—1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn)，求k的最大值.

28.已知函數(shù)f(x)=alnx-bx2.

117'

⑴當(dāng)a=2,b=E時(shí)，求函數(shù)f(x)在|_e，e」上的最大值；

■3

(2)當(dāng)b=0時(shí)，若不等式f(x)Nm+x對所有的ae,xeqe?］都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

1.【答案】D

［解答］解：???/(》)=(/-2尤)"，

/.f\x)=(x34-3x2-2x-2)ex

,Hm=(l+3_2-2)e=0,

5UX

故選：D.

2.【答案】D

【解答】解：函數(shù)/(x)=a工->1)

f'(x)=axlna-Ina=(a*-\)lna；

令1f(x)=O,得：x=0

當(dāng)。>1時(shí),lna>0,若x<0,則("一1)<0,所以有廣(x)<0

若x>0,貝1」("一1)>0,所以有r(x)>0

綜上可知，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(7,0),

故選:D.

3.【答案】D

【解答】解：函數(shù)/(%)=蛆3+2/-3》—1,所以:。)=3儂2+4X-3,當(dāng)小〈0時(shí)導(dǎo)函數(shù)是開口向下的拋

物線，

4

要使/'(x)在R上存在子區(qū)間使/'。)>0，只需△=16+36〃?>0,解得0>相>—

當(dāng)m.0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)存在滿足廣⑺>0的”的區(qū)間,

4

所以m的取值范圍是(-大，+8).

因?yàn)橐粊喫浴?gt;正確：故選：D.

99

4.【答案】A

【解答】解：結(jié)合圖象：XG(0,1)和xe(4,+a>)時(shí)，/J(x)-/(x)<0,

而g'(x)=)(x)二,故g(x)在(0,1),(4,/)遞減，故選：A.

e

5.【答案】A

【解答】解：令t=Inx,則f(bvc)>x<=>/(r)>el,

令ga)=駕，則g")J(x)](x)>(),

ee

因?yàn)椋簼M足VxeA,r(%)>/(x),二.g(x)在R上單調(diào)遞增,

?)>do^^>log(f)>g(1)<=>/>l<=>/nx>l<=>x>e,

e

故選：A.

6.【答案】D

【解答】解：觀察圖象知，xv—3時(shí)，丫=阿'(*)>0,

-3vx<0時(shí)，y=xQ/''(x)<0,f'(x)>0.

由此知極小值為/(-3).0<x<3時(shí)，y=W(x)>0,.，x)>0.x>3時(shí)，y=4T(x)vO,.?J'(x)<0.

由此知極大值為/(3).

故選：D.

7.【答案】B

【解答】解：函數(shù)y=f(x)=x+a加r在區(qū)間(1，e)有極值點(diǎn)=y=0在區(qū)間(1,e)有零點(diǎn).

ee

X+a

ff(x)=1+—=.(x>0).f'(-)L/(^)<0,A(-+a)(e+a)<0,解得一e<a<」.

xxeee

a取值范圍為(-a」).

e

故選：B.

8.【答案】B

【解答】解：對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(x)=3x2-2ax-b,

又??,在x=l時(shí)f(x)有極值10,

./⑴=3-2a-b=0

??1/(1)=1-a—Z?+a2=10，

解得仁力魄：、

驗(yàn)證知，當(dāng)a=3,b=-3時(shí)，在x=l無極值，

故選：B.

9.【答案】B

【解答】解：由f(x)的圖象可得，在y軸的左側(cè)，圖象下降，f(x)遞減，

即有導(dǎo)數(shù)小于0,可排除C,D；

再由y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，

函數(shù)f(x)遞減，再遞增，后遞減，

即有導(dǎo)數(shù)先小于0,再大于0,最后小于0,

可排除A；

則B正確.

故選:B.

10.【答案】A

【解答】解：對f(x)=x3-ax2+bx+l求導(dǎo)數(shù)可得f(x)=3x2-2ax+b,

由函數(shù)有極值可得4=42?-12b>0,即b<|a2,

，滿足OWaWl,OWbWl的點(diǎn)(a,b)的區(qū)域?yàn)檫呴L為1正方形，

.??滿足OWaWl,OWbWl且b<%2的點(diǎn)3,b)的區(qū)域?yàn)檎叫蝺?nèi)曲線b=a?下方的部分，

由定積分可得S=[ia2da=ia3|J=i,而正方形的面積為1,

二所求概率為P=3

故選：A.

II.【答案】C

【解答】解：由三次函數(shù)的圖象可知，x=2函數(shù)的極大值，x=-l是極小值，

即2,-1是/'(x)=0的兩個(gè)根，

/(x)=ax3+bx2+cx+d,f\x)=3ax2+2bx+c,

-2hc

由/'(x)=3加+2Z?x+c=0,得2+(—1)=----=1,-1x2=—=-2,HPc=-6a,2b=—3a,

3a3a

即=3ax2+2bx+c=3dx2-3ax-6a=3a(x-2)(x+1),

e1(-3)3a(-3-2)(-3+1)-5x(-2)_

/XI)3a”2)(1+1)-2

故選：C.

12.【答案】B

【解答】解：函數(shù)/(x)=x+x版,且對于任意x>2,總有函數(shù)/(幻的圖象在函數(shù)丁=收]一2)圖象的上方,

/(X)=x+xlnx,所以k(x-2)</(x)對任意x>2恒成立，

即%<￡±四對任意x>2恒成立.

x-2

人/、x+xlnx，/、x-2/nx-4

令g(x)=PT，

2r-2

令"x)=x-2lnx-4a>2),則"(x)=l--=------>0,所以函數(shù)人(%)在(2,母)上單調(diào)遞增.

xx

因?yàn)?/(8)=4一6歷2v0,h(9)=5-4Z//3>0,

所以方程以了)=0在(2,鐘)卜.存在唯?實(shí)根與,且滿足與￡(8,9).

當(dāng)2cx</時(shí)，h(x)<0,即g'(x)<0,當(dāng)尢>/時(shí)，h(x)>0,即g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(2,X。)上單調(diào)遞減，在(X。，+8)上單調(diào)遞增.

所以區(qū)—(刈=^^=止至/■

$-2%-22

x919

4)€(8,9)，，4<十<萬所以Z<[g(x)]“而=萬/e(4,-).

故整數(shù)人的最大值是4.

故選：B.

13.【答案】A

【解答】解：r(x)-△*>(),即礦(幻一/⑴〉。

XX

設(shè)g(x)=四，則g，(x)=M''(x)；/a),當(dāng)x>0時(shí)，g'(X)>0恒成立，即g(x)在(0,+?)匕單調(diào)遞增,

XX

??.g(4)>g(3),/.牛〉與，：.3/(4)>4/(3),

故選：A.

14.【答案】C

【解答】解：：/(x)=ox4+Zur?+6,(x)=4a)?+2版

此函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，又/'(1)=2,故/'(-1)=-2

故選：C.

15.【答案】2

【解答】解：由/(x)=；v-r⑴比2+2》+5,得/(了)=/一2/(i)x+2.

取x=l得：f(I)=F一2r(1)+2，所以/(1)=1.

則/8)=爐-2x+2，所以/'(2)=22-2x2+2=2

16.【答案】2

(解答]解：依題意得f'(x)=3汗+2bx+c?0的解集是[-2,3],

1Q

于是有3a>0,-2+3=---，—2x3=—，解得。=---->c=—1Sci,

3a3a2

\?函數(shù)/(X)在x=3處取得極小值，二有/(3)=274+96+女、-17=-98,

:.a=2

17.【答案】e2

【解析】???f(x)=ln(ex+1)+QX為偶函數(shù)，/(I)=/(-I),ln(e+1)+Q=In(，+1)-a,解得Q=-p

則JG-；)d*=((5+2x)dx=(Inx4-x2)|f=e2.

18.【答案】-81n2-12

【解析】函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),f\x)=2x-7--=(—4)(2-+1),

XX

令/'(x)=0,解得％=4或%=-;(舍去)，

當(dāng)xe(0,4)時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(4,+8)時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)的最小值為/(4)=4?一7x4—41n4=-81n2-12.

19.【答案】口，+oo)

【解答】解：由/(%)=加得ra)='+]_彳=％十;一/,

Xxx~x~

由函數(shù)/(乃=歷x+x+42在區(qū)間上，r+2]上是單調(diào)函數(shù)，

x

得g(?=f+X_2在h/+2]上恒大于等于0或恒小于等于0.

fr>0、

則「工，、n'①或《廠+/一2,。,②

Z-VI—Z,.A),

I|^(Z+2)2+r+2-2,,0

解①得工」;解②得/W0.

綜上，r的取值范圍是［1,+8)

20.【答案】-3

【解答】解：?.?函數(shù)〃x)=2d一以2+KaeR)在(0收)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

f'{x)=2x(3x-a),xe(0,+oo),

①當(dāng)&0時(shí)，八x)=2x(3x-a)>0,函數(shù)/(x)在(0,物)上單調(diào)遞增，/(0)=1,

/(x)在(0,E)上沒有零點(diǎn),舍去：

②當(dāng)a>0時(shí)，/")=2武3;<:-〃)>0的解為》>5，，/(;0在(0,會上遞減，在0，+8)遞增,

又f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，二嗎)=-，+1=0,解得，=3,

f(x)=2x3-3X2+1,f'(x)=6x(x-l),xe[-l,1],

r(x)＞o的解集為(T,O),

f(x)在(TO)上遞增,在(0,D匕遞減，

/(—1)=-4,/(0)=1,f(1)=0■

=/(-I)=-4,/(x)_=/(0)=1,

???/(X)在［-1,1］上的最大值與最小值的和為：/U),mv+/(x)??.?=-4+l=-3

21.【答案】(-2,2)

【解析】令/'。)=3/-3=0,得工=±1,可得極大值為/(-1)=2,極小值為了⑴=一2.

y=/(x)的大致圖象如圖所示，觀察圖象，得當(dāng)一2＜。＜2時(shí)恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).

22.【答案】1一3

2

【解答】解：依題意A=l，《=?-(-1)=萬，.,.T=2；r,(o=F=l,.,.y(x)=sin(x-￡),故當(dāng)％=￡時(shí)，

2332zr66

/U)=0.

nn工/o

二陰影面積為J：(-/(x))d、=J；一sin(x-^)dx=cos(x-^)|6=l~~^

23.【答案】2

【解析】由y=/'(%)無零點(diǎn)，知函數(shù)/(%)為單調(diào)函數(shù)，由/(/(回一2*+[7)=|知/(%)-2'+5

為常數(shù)，設(shè)/(幻-2'+/=/,則可得/(xy—5+f且/⑺=|02'->/=3=>1=1,故

f(x)=2'--+1,則L(/(x)+x)dx=(2'~—+x+l)dx=J⑵一3+x)dx+x|[=2.

24.【解答】解：(I)若m=2,則f(x)=2x-9xa+12x,

Vf,(x)=6x?-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-1)(x-2),

令f'(x)>0,則x<l或x>2,

故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-8,i),(2,+8);

(II)f(x)=2x-3(m+1)x2+6mx,

f'(x)=6(x-1)(x-m),

①當(dāng)時(shí)，f(x)在(-1,1)遞增,

f(x)1Mx=f(1)=3m-1<4,故m<3IWmV三；

33

②當(dāng)-l<m<l時(shí)，f(x)在(-1,m)遞增，在(m,1)遞減，

f(x)oa/=f(m)=-m'+3m'<4,

BPm'-3m：+4>0>(m+1)(m-2)~‘>0恒成立*-l<m<l；

③當(dāng)-1時(shí)，f(x)在(-1,1)遞減，

f(x)(-1)=-9m-5<4,

綜上，m的范圍是-

25.【解析】(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

,,/、c_12or2+(?+2)x+l(2x+l)(ox+l)

/(x)=2ax+a+2+-=---------------=-----------,

XXX

令g(x)=ar+l,%>0,

當(dāng)a20時(shí)，g(x)>0,/'(x)>0,則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，xw(0,-‘)時(shí)，g(x)>0，r(x)>0,則/(x)在(0,-,)上單調(diào)遞增；

aa

xe(-L,+8)時(shí)，g(x)<0,f\x)<0,則/(%)在(一L,+oo)上單調(diào)遞減.

aa

綜上，當(dāng)a20時(shí)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增：當(dāng)a<0時(shí)，/(%)在(0,—工)上單調(diào)遞增，在(一工,用)

aa

上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知,當(dāng)a20時(shí),/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(l)=2a+2>0,不可能滿足題意，舍去.

當(dāng)。<0時(shí)，f(x)在(0,-工)上單調(diào)遞增，在(一,,+8)上單調(diào)遞減，

aa

若/(x)?0恒成立，則/(幻皿，=/(_!)=_L_l+ln(-L)<0,

aaa

令，=-L則f(x\mK=f(t)=t-l+lnt<0,

a

解得即0<-工<1,故aV—1,

a

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-1].

26.【解答】解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=&(x2-x),

則-⑶=X2-X2(x>0),令f'(X)=0，則X=［，

.?.當(dāng)0<x<31時(shí)，/V)<0；當(dāng)3時(shí)，/r(x)>0.

.??/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,I),單調(diào)遞增區(qū)間為(1