湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含答案

2023年湖北省新高考協(xié)作體高二3月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為（）A. B.C D.2.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離等于4，則直線MF的傾斜角為（）A B. C. D.3.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極大值4.在等比數(shù)列中，是函數(shù)極值點(diǎn)，則a5＝（）A.或 B. C. D.5.正方形的面積及周長都隨著邊長的變化而變化，則當(dāng)正方形的邊長為3cm時(shí)，面積關(guān)于周長的瞬時(shí)變化率為（）A. B. C. D.6.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若直線與圓相切，則（）A.90 B.70 C.120 D.1007.高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（）A.2023 B.4046 C.2022 D.40448.布達(dá)佩斯伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)到直線CQ距離是B.C.平面ECG與平面的夾角余弦值為D.異面直線CQ與BD所成角的正切值為二、多選題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯(cuò)選得0分）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.10.已知雙曲線，且p，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列，則（）A.C的實(shí)軸長為4B.C的離心率為C.C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為D.過焦點(diǎn)與C相交所得弦長為4的直線有3條11.已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)最大C.使的n的最大值為16D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為第9項(xiàng)12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，滿足，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則（）A. B.C.在處取得極小值 D.無最大值三、填空題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知，，，，若四點(diǎn)共面，則＝_______．14.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．15.已知雙曲線右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)O對稱．若，且的面積為4，則雙曲線的離心率___________．16.在一個(gè)正三角形的三邊上，分別取一個(gè)距頂點(diǎn)最近的十等分點(diǎn)，連接形成的三角形也為正三角形（如圖1所示，圖中共有2個(gè)正三角形）．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個(gè)更小的正三角形，如此重復(fù)n次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形（圖有多個(gè)正三角形），這個(gè)過程稱之為迭代，也叫遞推．在邊長為3的正三角形三邊上，分別取一個(gè)三等分點(diǎn)，連接成一個(gè)較小的正三角形，然后遞推得到如圖3所示的圖形（圖中共有n個(gè)正三角形），則圖中至少__________個(gè)正三角形的面積之和超過．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，___________．請?jiān)冖?；②成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．.19.已知函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20.已知橢圓的離心率為，焦距為．（1）求C的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P，Q均在第一象限），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP，OQ的斜率分別為，；線段PQ的長度為，已知，，依次成等比數(shù)列，求直線l的方程．21.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：是等差數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3，求的取值范圍.22.已知函數(shù)（1）若，求的極小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大整數(shù)值．2023年湖北省新高考協(xié)作體高二3月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式即可.【詳解】解：數(shù)列，，，，，所以第項(xiàng)為，所以通項(xiàng)公式為，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D2.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離等于4，則直線MF的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用焦半徑公式求拋物線方程，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的斜率，即可求解.【詳解】依題意可知，∴，，由條件可知，，∴，即，，，∴傾斜角．故選：C3.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)處取得極大值D.函數(shù)在處取得極大值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A、B；根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C、D的結(jié)論．【詳解】在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯(cuò)誤，故選：A.4.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則a5＝（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知：是方程的兩根，利用韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，即是方程的兩根，則有，由為等比數(shù)列可知：，因?yàn)?，且，所以，則有，所以，故選：.5.正方形的面積及周長都隨著邊長的變化而變化，則當(dāng)正方形的邊長為3cm時(shí)，面積關(guān)于周長的瞬時(shí)變化率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意先求出面積y與周長x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)的概念即可求解.【詳解】易得正方形的面積y與周長x的函數(shù)關(guān)系為，求導(dǎo)得，邊長為3，即，故．故選：B.6.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若直線與圓相切，則（）A.90 B.70 C.120 D.100【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，由直線與圓相切可得，即可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)即可求得的值.【詳解】圓C的圓心為，半徑，由直線與圓相切得：圓心到直線的距離，整理得，即，所以為等差數(shù)列．在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，所以，則，即．故選：C.7.高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（）A.2023 B.4046 C.2022 D.4044【答案】B【解析】【分析】根據(jù)倒序相加法，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由，∵函數(shù)，∴，令，則，∴，∴．故選：B8.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)到直線CQ的距離是B.C.平面ECG與平面的夾角余弦值為D.異面直線CQ與BD所成角的正切值為【答案】A【解析】【分析】通過空間向量的基底運(yùn)算可得B的正誤，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得A,C,D的正誤.【詳解】，所以選項(xiàng)B正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，,對于A,，，設(shè)，則點(diǎn)到直線CQ的距離，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B,,；設(shè)平面ECG的法向量的一個(gè)法向量為，則，令可得為，同理可求平面的法向量為，，所以選項(xiàng)C正確；對于D，因?yàn)?，，所以，所以，所以選項(xiàng)D正確．故選：A.二、多選題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯(cuò)選得0分）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A,,故A錯(cuò)誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C正確，對于D，，故D錯(cuò)誤，故選：BC10.已知雙曲線，且p，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列，則（）A.C的實(shí)軸長為4B.C的離心率為C.C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為D.過焦點(diǎn)與C相交所得弦長為4的直線有3條【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求出雙曲線的方程，結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷，A,B通過方程可得正誤，C通過點(diǎn)線距可得正誤，通過最短弦長和對稱性可得D的正誤.【詳解】因?yàn)閜，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列，所以，，即，．所以C的方程可化為，則，，即，．對于A，C的實(shí)軸長為4，故A正確；對于B，離心率為，故B錯(cuò)誤；對于C，不妨設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條漸近線的方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C正確；對于D，交于同一支時(shí)弦長最小值為，交于兩支時(shí)弦長最小值為．根據(jù)對稱性可知過焦點(diǎn)與C相交所得弦長為4的直線有5條，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)最大C.使的n的最大值為16D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為第9項(xiàng)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)性質(zhì)與前項(xiàng)和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】∵等差數(shù)列，，∴，又∵，∴，，∴，A正確；∵，，∴當(dāng)，，，，所以當(dāng)時(shí)最大，B正確；∵，∴，，使的n的最大值為15，C錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，，時(shí)，；當(dāng)，，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且遞減，且遞減，∴最小，故D正確．故選：ABD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，滿足，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則（）A. B.C.在處取得極小值 D.無最大值【答案】AD【解析】【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得新函數(shù)的單調(diào)性，解得函數(shù)的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】解：設(shè)，則，可設(shè)，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A正確；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得極小值，無最大值，B、C均錯(cuò)誤，D正確．故選：AD.三、填空題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知，，，，若四點(diǎn)共面，則＝_______．【答案】8【解析】【分析】四點(diǎn)共面，則存在唯一的λ、μ使得，據(jù)此即可求出x.【詳解】∵，，，，∴，，，∵四點(diǎn)共面，則有，即解得．故答案為：8.14.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．【答案】######【解析】【詳解】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，則，因?yàn)?，?dāng)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是．故答案為：.15.已知雙曲線右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)O對稱．若，且的面積為4，則雙曲線的離心率___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到和，從而得到，結(jié)合對稱性得到，利用雙曲線定義得到，求出離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)，設(shè)其左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以，由的面積為4，所以，得，又，故，所以．又由雙曲線的對稱性可得，由雙曲線的定義可得，所以，故離心率.故答案為：.16.在一個(gè)正三角形的三邊上，分別取一個(gè)距頂點(diǎn)最近的十等分點(diǎn)，連接形成的三角形也為正三角形（如圖1所示，圖中共有2個(gè)正三角形）．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個(gè)更小的正三角形，如此重復(fù)n次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形（圖有多個(gè)正三角形），這個(gè)過程稱之為迭代，也叫遞推．在邊長為3的正三角形三邊上，分別取一個(gè)三等分點(diǎn)，連接成一個(gè)較小的正三角形，然后遞推得到如圖3所示的圖形（圖中共有n個(gè)正三角形），則圖中至少__________個(gè)正三角形的面積之和超過．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)第n個(gè)正三角形的邊長為，面積為，第個(gè)正三角形的邊長為，面積為，然后結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)第n個(gè)正三角形的邊長為，面積為，第個(gè)正三角形的邊長為，面積為，易得，由條件可知：，，又由圖形可知：，所以，，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為．由，解得，所以n最小值為7．故答案為：7四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用中位線定理證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出與平面的法向量，從而利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【小問1詳解】連接直線BD，設(shè)直線BD交直線AC于點(diǎn)O，連接EO，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，底面是正方形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以直線平面．【小問2詳解】根據(jù)題意，以DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角正弦值為．18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，___________．請?jiān)冖?；②成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．.【答案】（1），（2），【解析】【分析】首先由，可得為首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.對于（1），當(dāng)選①②時(shí)，代入，可得數(shù)列通項(xiàng)公式，若選③，由可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；對于（2），由（1）可知，則，后利用錯(cuò)位相減法可得答案.【小問1詳解】，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．若選①：由，得，即，解得．所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．若選②：由成等比數(shù)列，得，解得，所以，．若選③：因?yàn)?，解得，所以，．【小?詳解】，則，則，，兩式相減得：，故，．19.已知函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可構(gòu)造方程求得的值，結(jié)合可求得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)值和極值可求得在區(qū)間上取值情況，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】∵，∴，解得：，∴，則，∴在點(diǎn)處的切線方程為：，即．【小問2詳解】由（1）知：，則，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，∴，，由，有，即函數(shù)與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，則有實(shí)數(shù)m的取值范圍為．20.已知橢圓的離心率為，焦距為．（1）求C的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P，Q均在第一象限），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP，OQ的斜率分別為，；線段PQ的長度為，已知，，依次成等比數(shù)列，求直線l的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式、焦距的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程中，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的差別式，結(jié)合直線斜率的公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、橢