專題06 正多邊形與圓、弧長與扇形面積、圓錐的側面積【考題猜想34題9種題型】（解析版）

06正多邊形與圓、弧長與扇形面積、圓錐的側面積（34題9種題型）一、正多邊形與圓有關的計算（共7小題）1．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點，且BM＝CN，連接OM、ON（1）求圖1中∠MON的度數(shù)（2）圖2中∠MON的度數(shù)是，圖3中∠MON的度數(shù)是（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關系是____【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)圓內接正三角形的性質可得，再根據(jù)圓內接正三角形的性質可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，最后根據(jù)角的和差、等量代換即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓內接正方形的性質可得，再根據(jù)（1）同樣的方法可得；先根據(jù)圓內接正五邊形的性質可得中心角，再根據(jù)（1）同樣的方法可得；（3）根據(jù)（1）、（2）歸納類推出一般規(guī)律即可得．【詳解】（1）如圖，連接OB、OC，則，是內接正三角形，中心角，∵點O是內接正三角形ABC的內心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）如圖1，連接OB、OC，四邊形ABCD是內接正方形，中心角，同（1）的方法可證：；如圖2，連接OB、OC，五邊形ABCDE是內接正五邊形，中心角，同（1）的方法可證：，故答案為：，；（3）由上可知，的度數(shù)與正三角形邊數(shù)的關系是，的度數(shù)與正方形邊數(shù)的關系是，的度數(shù)與正五邊形邊數(shù)的關系是，歸納類推得：的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關系是，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形的中心角、三角形全等的判定定理與性質等知識點，熟練掌握正多邊形中心角的求法是解題關鍵．2．（2022秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的中心為原點O，頂點在x軸上，半徑為．求其各個頂點的坐標．【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）【分析】過點E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出結論．【詳解】解：過點E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，∵OE=OD，∠EOD=，∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，點E的坐標為（1，），又由題意知點D的坐標為（2，0），由圖形的對稱性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F(xiàn)（－1，）．故這個正六邊形ABCDEF各個頂點的坐標分別為A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）．【點睛】本題考查了正六邊形的對稱性，直角三角形30°的角所對的邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練運用這些性質．3．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．4．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內接正六邊形，__________．【答案】(1)圖見解析，32(2)圖見解析，【分析】（1）只需要作直徑、，并使得即可；（2）如圖所示，取格點B，C，D，E，F(xiàn)，然后順次連接A、B、C、D、E、F得到正六邊形，再求出求面積．【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形即為所求；，故答案為32；（2）解：如圖所示，正六邊形即為所求；過點O作于H，∵正六邊形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質與判定，熟知正多邊形和圓的相關知識是解題的關鍵．5．（2022秋·寧夏吳忠·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形是半徑為R的圓內接四邊形，若，求正方形的邊長與邊心距．【答案】正方形ABCD的邊長為，邊心距為．【分析】過點O作，垂足為E，利用圓內接四邊形的性質求出，然后在中，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：過點O作，垂足為E，∵正方形是半徑為R的⊙O內接四邊形，，，．在中，，由勾股定理可得，，，，即半徑為6的圓內接正方形ABCD的邊長為，邊心距為．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，以及勾股定理，正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正n邊形每個中心角都等于．6．（2022秋·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考期末）圓周率的故事我國古代數(shù)學家劉徽通過“割圓術”來估計圓周率的值——“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，可以理解為當正多邊形的邊數(shù)越來越多時，該正多邊形與它的外接圓越來越“接近”，這樣就可以用正多邊形的周長替代它的外接圓的周長，從而估算出圓周率的值．（1）對于邊長為a的正方形，其外接圓半徑為_________，根據(jù)故事中的方法，用該正方形的周長4a替代它的外接圓周長，利用公式，可以估算_________．（2）類比（1），當正多邊形為正六邊形時，估計的值．【答案】（1），；（2）3【分析】（1）由正方形的邊長AB=a，用勾股定理得求AC=，由直徑等于正方形對角線長可得，由正方形的周長4a等于它的外接圓周長，可求得即可；（2）設正六邊形的邊長AB=m，可知正六邊形的周長為6m，其外接圓半徑為m．由C=，可得即可．【詳解】（1）正方形的邊長AB=a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，，∴AC=，∴正方形的對角線長為，，，∵用該正方形的周長4a替代它的外接圓周長，C=，∴，故答案為；；（2）解：設正六邊形的邊長AB=m，則該正六邊形的周長為6m，其外接圓半徑為m．∵C=，∴，所以估算值為3．【點睛】本題考查估算出圓周率的值問題，掌握用正多邊形的周長替代它的外接圓的周長，從而估算出圓周率的值是解題關鍵．7．（2023春·浙江臺州·九年級?？计谥校├罾蠋煄ьI班級同學進行拓廣探索，通過此次探索讓同學們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對應的內切圓的周長C的比值，稱作這個正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長為1，求得其內切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計算，結合圓周率的誕生，簡要概括．【答案】(1)(2)，(3)隨著n的增大，越來越接近于1，見解析【分析】（1）根據(jù)“正圓度”的定義進行求解即可；（2）設正方形邊長和正六邊形的邊長都為1，求出此情形下對應的內切圓半徑，再根據(jù)“正圓度”的定義進行求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）所求可知隨著n的增大，越來越接近于1，再由張衡和祖沖之對圓周率的研究即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：；（2）解：假設正方形邊長1，∴此時正方形的內切圓半徑為，∴；設正六邊形的邊長為1，內切圓圓心為O，則，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴；（3）解：，隨著n的增大，越來越接近于1．由張衡、祖沖之的研究，精進的取值的方法可知：正多邊形，邊長數(shù)越多，越接近于圓，因此當邊長增多時，其周長L也與對應的內切圓周長更接近，其比值更接近于1．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，正確理解題意是解題的關鍵．二、計算扇形的弧長（共3小題）8．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，半徑弦，垂足為點D，連．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到QUOTE，則根據(jù)等弧所對的圓周角相等即可證明結論；（2）先利用（1）的結論得到，再根據(jù)圓周角定理得到，則可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵半徑弦，∴QUOTE，∴．（2）解：∵，∴，∵,∴為等邊三角形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質、扇形的面積公式等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．9．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，內接于⊙O，交⊙O于點D，交于點E，交⊙O于點F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長（結果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得，等量代換可得，即可得出答案；（2）連接，由（1）中結論可計算出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計算出的度數(shù)，再根據(jù)弧長計算公式計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，由（1）得，∵，∴，∴的長．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，圓的性質與弧長公式，考查化歸與轉化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學素養(yǎng)．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，直角坐標系中一條圓弧經過網格點，，．(1)該圓弧所在圓的圓心坐標為______．(2)求弧ABC的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理結合網格的性質可得答案；（2）借助網格求出圓心角度數(shù)和半徑，再利用弧長公式進行計算即可．【詳解】（1）解：由垂徑定理可知，圓心是AB、BC中垂線的交點，由網格可得該點P(2，0)，故答案為：(2，0)；（2）解：連接AC，根據(jù)網格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，∠AOP=∠PQC=90°，由勾股定理得，AP==PC，∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，∴AP2+CP2=AC2，∴∠APC=90°，∴弧ABC的長為，答：弧ABC的長為π．【點睛】本題考查弧長的計算、垂徑定理，勾股定理及其逆定理等知識，掌握垂徑定理以及網格特征是確定圓心坐標的關鍵，求出弧所在圓的半徑和相應圓心角度數(shù)是求弧長的前提．三、求某點的弧形運動路徑長度（共3小題）11．（2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的三個頂點都在網格的格點上，網格中的每個小正方形的邊長均為一個長度單位，以點O建立平面直角坐標系，若繞點O逆時針旋轉后，得到（A和是對應點）

(1)畫出；(2)點坐標為______，點坐標為______；(3)點A的運動路徑長為______．【答案】(1)見解析(2)，(3)【分析】（1）分別作出點A、B繞點O逆時針旋轉后得到的對應點、，順次連接點O、、即可得到；（2）根據(jù)（1）中的圖形寫出點、的坐標即可；（3）根據(jù)點A的運動路徑是以點O為圓心，長為半徑，圓心角為的弧長，勾股定理求出，利用弧長公式求出點A的運動路徑長即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）由圖可知，點的坐標為，的坐標為，故答案為：，（3）點A的運動路徑是以點O為圓心，長為半徑，圓心角為的弧長，,∴點A的運動路徑長為．故答案為：【點睛】此題考查了圖形的旋轉的作圖、弧長公式、勾股定理等知識，熟練掌握旋轉的作圖和弧長公式是解題的關鍵．12．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，將線段AB繞原點O逆時針旋轉到．(1)求點的坐標；(2)求點B運動的路徑長．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，作軸于點，軸于點，可證明，得，，則點的坐標是；（2）由旋轉得，，以點為圓心，的長為半徑作，根據(jù)弧長公式求出的長，就是點運動的路徑長．【詳解】（1）解：連接、，作軸于點，軸于點，則，將線段繞原點逆時針旋轉到，，，，在和中，，，，，，點在第二象限，點的坐標是．（2）由旋轉得，，以點為圓心，的長為半徑作，則點運動的路徑長為的長，作軸于點，，，，，，點運動的路徑長是．【點睛】此題重點考查圖形與坐標、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、弧長公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．13．（2022秋·江蘇·九年級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，且AO=4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點過P點作PE⊥OC于點E，設△OPE的內心為M，連接OM(1)求∠OMP的度數(shù)；(2)隨著點P在半圓上位置的改變，∠CMO的大小是否改變，說明理由；(3)當點P在半圓上從點B運動到點C時，直接寫出內心M所經過的路徑長．【答案】(1)135°(2)不改變，理由見解析(3)【分析】（1）由內心的定義可知∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，求出∠MOP與∠MPO的和為45°，利用三角形的內角和定理即可求出∠OMP的度數(shù)；（2）連接CM，證△COM≌△POM，即得出∠CMO=∠OMP=135°，可知∠CMO的大小不改變，為135°；（3）連接AC，證明△ACO為分別為等腰直角三角形，求出CQ=，∠CQO=90°，分析得出當點Q在半徑OC的右側的半圓上時，點M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上，根據(jù)弧長公式即可求出M所經過的路徑長．【詳解】（1）解：∵OC⊥AB，∴∠OEP=90°，∴∠EOP+∠EPO=90°，∵M為△OPE的內心，∴∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，∴∠MOP+∠MPO=（∠EOP+∠EPO）=45°，∴∠OMP=180°-（∠MOP+∠MPO）=135°；（2）∠CMO的大小不改變，理由如下：如圖2，連接CM，在△COM和△POM中，，∴△COM≌△POM（SAS），∴∠CMO=∠OMP=135°，∴∠CMO的大小不改變，為135°；（3）如圖3，連接AC，CM，∵CO⊥AB，∴OA=OC，∴△ACO為等腰直角三角形，∴AC=AO=，取AC中點Q，連接OQ，則∠CQO=90°，∴CQ=AC=，∴當點P在半徑OC的右側的半圓上時，點M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上，所對圓心角為90°，∴=，∴內心M所經過的路徑長為．【點睛】本題考查了三角形內心的定義，全等三角形的判定，弧長公式等，解題關鍵是能夠根據(jù)題意判斷出當點P在半徑OC的右側的半圓上時，點M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上．四、求扇形面積（共4小題）14．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，是的弦，，P是優(yōu)弧上的一個動點（不與點A和點B重合），組成了一個新圖形（記為“圖形”），設點P到直線的距離為x，圖形的面積為y．(1)求y與x之間的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)記扇形的面積為，當時．①在圖2中，作出一個滿足條件的點P；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②在第①題所作圖中，連接，再畫一條線，將圖形分成面積相等的兩部分．（畫圖工具不限，寫出必要的文字說明．）【答案】(1)．自變量x的取值范圍是．(2)①圖見詳解②見詳解．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理做輔助線，分別求出、、，然后由面積的和差關系建立等式即可；（2）①扇形的面積為，當時,那么根據(jù)同底等高即可；②扇形的面積為，當時，也就是畫一條線把平分，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可作圖．【詳解】（1）解：∵在中，是的弦，∴．∵，∴是等邊三角形，．如圖1，過點O作，垂足為C．則．在中，．根據(jù)勾股定理，得．∴．又∵，是等邊三角形且邊長是2，∴．又∵點P到直線的距離為x，，∴．∴圖中的陰影部分的面積．自變量x的取值范圍是．（2）解：①如圖2所示，點（或）即為所求（只要求作出一種情形即可）；②以點的情況為例，過點O作，垂足為C，延長交于點D．連接，則折線即為所求．弧線的畫法：以點的情況為例，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點F．則即為所求．【點睛】本題考查圓章節(jié)的垂直定理性質以及三角形扇形面積公式等知識內容，掌握面積等量代換是解題作圖的關鍵．15．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表．其中《方田》章給出計算弧田面積的公式為：弧田面積（弦×矢+矢2）．如圖，弧田由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角為，弦長的弧田．（1）計算弧田的實際面積．（2）按照《九章算術》中弧田面積的公式計算所得結果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方米?（取近似值為3，近似值為1.7）【答案】（1）弧田的實際面積為；（2）按照《九章算術》中弧田面積的公式計算所得結果與（1）中計算的弧田實際面積相差．【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性質求解AO與AB的長度，接著算出的面積，再通過扇形面積公式求解扇形AOB的面積，最后利用割補法求解弧田面積．（2）利用題中的公式求解出弧田面積，然后讓該結果與題（1）中的結果相減，求出兩者之差．【詳解】（1）解：弦AB，由垂徑定理可知：平分AB，并且OD還平分．，在中，對應的角的為設，則．由勾股定理可知：解得（舍去），．，扇形AOB的面積為弧田實際面積為．（2）解：由題（1）可得圓心到弦的距離等于1，故矢長為1．按照題中弧田的面積公式得：弧田面積為，∴兩者之差面積之差為．【點睛】本題主要是考查了扇形面積公式以及圓和直角三角形的相關性質，注意此題利用了割補法求解弧田面積，這是初中數(shù)學求解面積常用的方法之一，一定要熟練掌握．16．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，弓形是由和弦所圍成的圖形，弓形的高是的中點到的距離，點是所在圓的圓心，，弓形的高為．(1)求的半徑；(2)經測量的度數(shù)約為，則弓形的面積為__________．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點作于點，交于點，設的半徑為，根據(jù)垂徑定理可得，，從而得出，然后利用勾股定理建立關于的方程，最后解方程即可；（2）弓形面積看成扇形面積減去三角形面積即可．【詳解】（1）解：過點作于點，交于點，設的半徑為，∵點為圓心，，弓形的高為．∴，點是的中點，∴，，在中，，∴，解得：．∴的半徑為．（2）∵，，∴．∴弓形的面積為．故答案為：．【點睛】本題考查垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理，扇形的面積，三角形的面積等知識，運用了分割法求不規(guī)則圖形面積的解題方法．解題的關鍵是過圓心作弦的垂線構造直角三角形求出圓的半徑．17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，AB為的直徑，點C、D在上，且，，．(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)勾股定理求出，由求出，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）求出，然后根據(jù)扇形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：∵AB為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴；（2）解：∵AB為直徑，，∴，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，圓周角定理，扇形的面積計算等知識點，能求出的長和的度數(shù)是解此題的關鍵．五、求圖形旋轉后掃過的面積（共3小題）18．（2022春·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考期中）如圖所示，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的頂點A，B，C在小正方形的頂點上．將△ABC向下平移2個單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點C1順時針旋轉90°得到△A2B2C1．(1)在網格中畫出△A1B1C1和△A2B2C1；(2)計算線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域的面積．【答案】(1)見解析(2)2π【分析】（1）利用網格特點和平移的性質畫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1，則可得到△A1B1C1；然后利用網格特點和旋轉的性質畫出點A1、B1的對應點A2、B2，則可得到△A2B2C1；（2）線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域是扇形，于是根據(jù)扇形面積公式可計算出線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域的面積．(1)解：如圖，△A1B1C1和△A2B2C1為所作；(2)解：由圖可知，線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域的面積為：【點睛】本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了扇形面積公式，需要熟練掌握．19．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，其中點A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1．（1）畫出△A1OB1；（2）在旋轉過程中點B所經過的路徑長為______；（3）求在旋轉過程中線段AB、BO掃過的圖形的面積之和．【答案】（1）畫圖見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)網格結構找出點A、B繞點O逆時針旋轉90°后的對應點A1、B1的位置，然后順次連接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧長公式計算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根據(jù)AB所掃過的面積=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO掃過的面積=S扇形B1OB，然后計算即可得解．【詳解】解：（1）△A1OB1如圖所示；（2）由勾股定理得，BO=，所以，點B所經過的路徑長=，故答案為：；（3）由勾股定理得，OA=，∵AB所掃過的面積=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OBBO掃過的面積=S扇形B1OB，∴線段AB、BO掃過的圖形的面積之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=．【點睛】考點：1.作圖-旋轉變換；2.勾股定理；3.弧長的計算；4.扇形面積的計算．20．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在10×10的正方形網格中（每個小正方形的邊長都為1個單位），的三個頂點都在格點上．(1)建立如圖所示的直角坐標系，請在圖中標出的外接圓的圓心的位置，并填寫：①圓心的坐標：（_______，_______）；②的半徑為_______．(2)將繞點逆時針旋轉得到，畫出圖形，并求線段掃過的圖形的面積．【答案】(1)圖見詳解；①，；②(2)圖見解析；線段掃過的圖形的面積為【分析】（1）作、的垂直平分線，兩垂直平分線相交于一點，即為的外接圓的圓心，①根據(jù)圖形，結合網格的特點，即可得出點的坐標，②再根據(jù)點的坐標和網格的特點，結合勾股定理，即可求出外接圓的半徑；（2）根據(jù)網格的特點，把分別旋轉，得出對應線段，然后連接，即可得出，再根據(jù)勾股定理，結合網格的特點，分別求出和的長，再根據(jù)旋轉推出的面積等于的面積，再根據(jù)線段掃過的圖形的面積為，根據(jù)扇形和三角形的面積公式代入計算即可．【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求，①圓心的坐標：，②的半徑為：；故答案為：①，；②（2）解：如圖即為所求圖形，∵由勾股定理得：，，∵將繞點逆時針旋轉得到，∴的面積等于的面積，∴線段掃過的圖形的面積．【點睛】本題考查了坐標與圖形，確定外接圓的圓心、勾股定理、畫旋轉圖形、扇形的面積，解本題的關鍵在充分利用數(shù)形結合思想解答問題．六、求不規(guī)則圖形面積（共5小題）21．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，易得，由，易得，等量代換得，利用平行線的判定得，由切線的性質得，得出結論；（2）連接，利用（1）的結論得，易得，得出，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論．【詳解】（1）證明：連接，，，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°．∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°．∵OA=OE，∴∠AOE=90°．的半徑為4，，，．【點睛】本題主要考查了切線的性質，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當?shù)妮o助線，利用切線性質和圓周角定理，數(shù)形結合是解答此題的關鍵．22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結果保留π）．【答案】（1）直線BC與⊙O相切，證明見解析；（2）【分析】（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；（2）在直角三角形OBD中，設OF=OD=x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數(shù)，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出陰影部分面積．【詳解】解：（1）BC與⊙O相切．理由如下：連接OD．∵AD是∠BAC的平分線∴∠BAD=∠CAD．∵OD=OA∴∠OAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵BC過半徑OD的外端點D，∴BC與⊙O相切；（2）設OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2．根據(jù)勾股定理得：，即，解得：x=2，即OD=OF=2∴OB=2+2=4．Rt△ODB中∵OD=OB∴∠B=30°∴∠DOB=60°∴S扇形DOF==則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF==．故陰影部分的面積為．23．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l經過⊙O上一點C，點A、B在直線l上，且OA＝OB，CA＝CB．(1)直線l與⊙O相切嗎？請說明理由；(2)若OC＝AC，⊙l的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)相切，理由見解析(2)4-π【分析】（1）連接OC，證明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根據(jù)切線的判定定理即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=AB，再分別計算△AOB的面積和扇形的面積，相減可得結果．【詳解】（1）解：相切，理由：如圖，連接OC，在△AOC≌△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OCA=∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切；（2）∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，∴AC=BC=2，∴AC=OC=BC=AB，∴∠AOB=90°，∴△AOB的面積為×2×4=4，扇形面積為：=π，∴陰影部分的面積=△AOB的面積-扇形面積=4-π．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，扇形面積的計算，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．24．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠ACB＝60°．(1)求∠P的度數(shù)；(2)若⊙O的半徑長為4cm，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)∠P的度數(shù)為60°(2)圖中陰影部分的面積為【分析】(1)先證明∠APB=180°?∠AOB，根據(jù)∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解決問題；(2)連接OP，如圖，根據(jù)切線的性質和切線長定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，則根據(jù)四邊形內角和得到∠AOB=180°?∠APB=120°，再在RtPAO中利用含30度的直角三角形三角函數(shù)關系得到AP=，則S△PAO=，然后根據(jù)扇形面積公式，利用陰影部分的面積=S四邊形AOBP?S扇形AOB進行計算．【詳解】（1）解：如圖，連接OA、OB∵PA、PB是⊙O切線∴PAOA，PBOB∴∠PAO=∠PBO=90∵∠APB+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360∴∠APB=180?∠AOB∵∠ACB=60∴∠AOB=2∠ACB=120∴∠APB=180?120=60（2）解：如圖，連接OP∵PA，PB是⊙O的兩條切線∴OAAP，OBPB，OP平分∠APB∴∠PAO=∠PBO=90，∠APO=×60=30∴∠AOB=180?∠APB=180?60=120在RtPAO中，∵OA=4cm，∠APO=30∴tan30=∴AP=（cm）∴S△PAO=×4×=（cm2）∴陰影部分的面積=S四邊形AOBP?S扇形AOB=2×?=（cm2）【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系；會利用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積．解題的關鍵是輔助線的添加．25．（2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知扇形紙片，，半徑．(1)求扇形的面積及圖中陰影部分的面積；(2)如圖2，在扇形的內部，與，都相切，且與只有一個交點，此時我們稱為扇形的內切圓，試求的面積；(3)如圖3，在扇形紙片中，剪出一個扇形，若用剪得的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，能否從剪下的余料中，再剪出一個圓作為這個圓錐的底面，并使得這個圓錐的表面積最大，若能，請求出這個圓錐的表面積；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)能，當時，有最大值【分析】（1）根據(jù)扇形和等邊三角形的面積公式即可求解；（2）設與相切于點，連接，，根據(jù)相切兩圓的性質得到、、三點共線，根據(jù)直角三角形的性質得到，再利用圓的面積公式即可求解；（3）設圓錐的底圓的半徑為，表面積為，根據(jù)圓的面積公式和二次函數(shù)性質即可求解．【詳解】（1），半徑，，，，是等邊三角形，，陰影部分的面積．（2）設與相切于點，連接，，相切兩圓的連心線必過切點，、、三點共線，，，在中，，，，的半徑．．（3）設圓錐的底圓的半徑為，表面積為，又，，當時，有最大值．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，三角形面積的計算，等邊三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．七、求圓錐的側面積（共3小題）26．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考期中）實踐操作如圖，是直角三角形，，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中表明相應的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）①作的平分線，交于點；②以為圓心，為半徑作圓．綜合運用在你所作的圖中，（2）與⊙的位置關系是；（直接寫出答案）（3）若，，求⊙的半徑．（4）在（3）的條件下，求以為軸把△ABC旋轉一周得到的圓錐的側面積．【答案】（1）解解析；（2）相切；（3）；（4）.【分析】（1）先作基本圖形（作一個角的平分線）得到點O，然后作⊙O；（2）作OE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質可得OE=OC，則可根據(jù)切線的判定定理得到AB為⊙O的切線；（3）設⊙O的半徑為r，則OC=OE=r，先利用勾股定理計算出AB=13，再利用三角形面積公式得到S△AOB+S△AOC=S△ABC，代入，然后解方程即可；（4）根據(jù)圓錐的側面積公式可得結論．【詳解】(1)如圖1所示;(2)直線AB與⊙O相切，理由是：如圖1，作OE⊥AB于E，∵AO平分∠BAC，而OE⊥AB，OC⊥AC，∴OE=OC，∴AB為⊙O的切線；故答案為相切；(3)設⊙O的半徑為r,則OC=OE=r,在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=12，∴AB==13，∵S△AOB+S△AOC=S△ABC，∴×13r+×5r=×5×12,解得r=，即⊙O的半徑為.(4)如圖2,S側=π?AC?AB=π×5×13=65π.【點睛】本題考查圓的綜合題和尺規(guī)作圖，解題的關鍵是掌握尺規(guī)作圖、切線的判定定理、圓錐的側面積公式和勾股定理.27．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期中）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形EAF圍成圓錐時，AE、恰好重合，已知這種加工材料的頂角．(1)求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留π）【答案】(1)1：2(2)【分析】（1）根據(jù)弧EF的兩種求法，可得結論．（2）根據(jù)求解即可．【詳解】（1）由圓錐的底面圓周長相當于側面展開后扇形的弧長得：．∴．∴，ED與母線AD長之比為（2）∵∴答：加工材料剩余部分的面積為【點睛】本題考查圓錐的計算，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．28．（2021秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）某種規(guī)格小紙杯的側面是由一半徑為、圓心角是的扇形剪去一半徑的同心圓扇形所圍成的（不計接縫）（如圖1）．（1）求紙杯的底面半徑和側面積（結果保留）；（2）要制作這樣的紙杯側面，如果按照圖2所示的方式剪裁（不允許有拼接），至少要用多大的矩形紙片？（3）如圖3，若在一張半徑為的圓形紙片上剪裁這樣的紙杯側面（不允許有拼接），最多能裁出多少個？【答案】（1）底面半徑為，側面積為；（2）需要長為，寬為的矩形紙片；（3）9個【分析】（1）要求底面半徑，需先求底面周長，而底面周長為圖（1）中的弧長，相關數(shù)據(jù)代入弧長公式即可.而側面積即為圖（1）中的扇環(huán)，將大扇形面積減去小扇形面積即得；（2）連接，可證得即為長方形的長，而所在的為正三角形，再過作，交于，交于，根據(jù)垂徑定理可證得即為長方形的寬，求出長，再求即得長；（3）本小題容易想到的是直接在圓環(huán)上能裁出6個，此時中間還有一個以為半徑的小圓，考慮到圓環(huán)的半徑為，正好為小圓半徑的一半，故可先在小圓中構造一個邊長為的正六邊形，再取三條互不相鄰的邊的中點，故在此正六邊形中裁出3個扇環(huán)，故總共9個.【詳解】（1），底面周長為底面半徑為側面積為扇環(huán)的面積，故答：紙杯的底面半徑為，側面積為.（2）連接，過作，交于，交于，是等邊三角形又也是等邊三角形即為長方形的長，由垂徑定理知，即為長方形的寬所需長方形的兩邊長分別為和.（3）扇形的圓心角為在以為圓心，為半徑的大圓和以為半徑的小圓組成的圓環(huán)中可剪出6個圓環(huán)（即小紙杯的側面）剩下的一個半徑的圓中可按照如下方法剪圓環(huán).作六邊形，顯然邊長為，將、、兩邊延長，分別相交于點、、，則以、、為圓心為半徑畫弧，三條弧相切于、、的中點，顯然又可剪3個最多可剪出9個紙杯的側面（如圖所示）八、求圓錐的底面半徑（共3小題）29．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網格中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A、B、C，請在網格圖中進行下列操作：（1）利用網格確定該圓弧所在圓的圓心D點的位置，則D點坐標為；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑為(結果保留根號)，∠ADC的度數(shù)為；（3）若扇形DAC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐底面半徑．(結果保留根號)．

【答案】（1）D(2，0)；（2），90°；（3）【分析】（1）由題意利用垂徑定理可作AB和BC的垂直平分線，兩線的交點即為D點，可得出D點坐標；（2）由題意知在△AOD中AO和OD可由坐標得出，利用勾股定理可求得AD和CD，過C作CE⊥x軸于點E，則可證得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度數(shù)；（3）根據(jù)題意先求得扇形DAC的面積，設圓錐底面半徑為r，利用圓錐側面展開圖的面積=πr?AD，即可求得r．【詳解】解：（1）如圖1，分別作AB、BC的垂直平分線，兩線交于點D，∴D點的坐標為（2，0），故答案為：（2，0）；（2）如圖2，連接AD、CD，過點C作CE⊥x軸于點E，則OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，即⊙D的半徑為2，且CE=2，DE=4，∴AO=DE，OD=CE，在△AOD和△DEC中，，∴△AOD≌△DEC（SAS），∴∠OAD=∠CDE，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴∠ADC=90°，故答案為：2；90°；（3）弧AC的長=π×2=π，設圓錐底面半徑為r則有2πr=π，解得：，所以圓錐底面半徑為．【點睛】本題主要考查垂徑定理和全等三角形的判定和性質、扇形和圓錐的有關計算等知識的綜合應用，熟練掌握確定圓心的方法，即確定出點D的坐標是解題的關鍵，注意在求圓錐底面半徑時利用圓錐的側面積計算公式．30．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一張四邊形的紙片中，，，，以點為圓心，為半徑的圓分別與交于點．(1)求證：與相切；(2)過點B作的切線；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)若用剪下的扇形圍成一個圓錐的側面，能否從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個圓作為這個圓錐的底面？【答案】(1)見解析(2)見解析(3)能，理由見解析【分析】（1）過點作于點，勾股定理求得可得是的半徑，即可得證；（2）作線段的垂直平分線，交于點，作直線，則即為所求，根據(jù)作圖可得，根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可求解；（3）根據(jù)弧長公式求得的長，繼而求得圓錐的底面半徑，連接交于點，過點作于點，交于點，過點作于點，則與相切，繼而求得的半徑，比較與的大小，進而比較與圓錐底面半徑的大小即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點，∵，∴，∵的半徑為，∴是的半徑，又，∴是的切線；（2）如圖，作線段的垂直平分線